最新经典试题系列高考题选编(选择题,填空题部分)圆锥曲线的方程

1、1高考题选编高考题选编-圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程一选择题一选择题1 （广东卷）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是0024xyyxsyx35x32zxya. b. c. d. 6,157,156,87,8解：解：由交点为，42442sysxxysyx)4 , 0(), 0(),42 ,4(),2 , 0(cscssba（1）当时可行域是四边形 oabc，此时，；43 s87 z（2）当时可行域是oa此时，故选 d.54 sc8maxz2 （湖北卷）已知平面区域 d 由以为顶点的三角形内部边界组成。若在区域 d(1,3),(5,2),(3,1)abc上有无穷多个点可使目标函数 z

2、xmy 取得最小值，则( , )x ym a2 b1 c1 d4解：解：依题意，令 z0，可得直线 xmy0 的斜率为，结合可行域可知当直线 xmy0 与直1m线 ac 平行时，线段 ac 上的任意一点都可使目标函数 zxmy 取得最小值，而直线 ac 的斜率为1，m1，选 c3 （湖南卷）若圆上至少有三个不同点到直线 :的距离为,则2244100 xyxyl0axby2 2直线 的倾斜角的取值范围是 la. b. c. d.,12 45,12 12,6 3 0,2解：解：圆整理为，圆心坐标为(2，2)，半0104422yxyx222(2)(2)(3 2)xy径为 3，要求圆上至少有三个不同的

3、点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应20:byaxl22小于等于， ， ， ，222|22 |2abab2( )4( ) 1aabb 023( )23ab ， ，直线 的倾斜角的取值范围是，选 b.( )akb 2323kl12512，4 （全国卷 i）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦222210 xxyy 3,2p值为a b c d1235320解：解：圆的圆心为 m(1，1)，半径为 1，从外一点向这个圆作两条切222210 xxyy (3,2)p2线，则点 p 到圆心 m 的距离等于，每条切线与 pm 的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切521值为，该角的余弦值等于

4、，选 b.1242tan1314355 （四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料 a 和原料 b 分别为、千克，生产乙产品每千克需用原1a1b料 a 和原料 b 分别为、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为、元。月初一次性购进本月2a2b1d2d用原料 a、b 各、千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大。1c2c在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为千克、千克，月利润总额为元，那么，用于求xyz使总利润最大的数学模型中，约束条件为12zd xd y（a） （b） （c） （d）12112200a xa ycb xb ycxy11122200a xb yca x

5、b ycxy12112200a xa ycb xb ycxy12112200a xa ycb xb ycxy解解：设全月生产甲、乙两种产品分别为千克，千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润xyz最大的数学模型中，约束条件为，选 c.12zd xd y12112200a xa ycb xb ycxy6.（湖北理 10）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐1xyabab，22100 xy标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有a60 条 b66 条 c72 条 d78 条解：解：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的22100 xy整数点共有 12

6、个，分别为，前 8 个点中，过任 6, 8 ,6, 8 , 8, 6 8, 6 ,10,0 , 0, 10意一点的圆的切线满足，有 8 条；12 个点中过任意两点，构成条直线，其中有 4 条直线垂直21266c轴，有 4 条直线垂直轴，还有 6 条过原点（圆上点的对称性） ，故满足题设的直线有 52 条。综上可xy知满足题设的直线共有条，选 a528607.（湖北文 8）由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线，则切线长的最小值为a.1 b.2 c. d.327解：解：切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半

7、径为 1，故切线长的最小值为，选 c.222|103|71822 rd8.（浙江理 4 文 5）要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪 都能喷洒到水假设每3个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 3456解解：因为龙头的喷洒面积为 36，正方形面积为 256,故至少三个龙头。由于，故三个113216r 龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水。当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于，故可以保证整个草坪能喷洒到水。答案:b.2128 2r 9.（2009 宁夏海南卷文）已知圆1c：2(1)x+2(1

8、)y=1，圆2c与圆1c关于直线10 xy 对称，则圆2c的方程为（a）2(2)x+2(2)y=1 （b）2(2)x+2(2)y=1（c）2(2)x+2(2)y=1 （d）2(2)x+2(2)y=1解解:设圆2c的圆心为（a，b） ，则依题意，有111022111abba ，解得：22ab ，对称圆的半径不变为 1，故选 b。.10.（2010 重庆理数）直线 y=323x与圆心为 d 的圆33cos ,13sinxy 0,2交与 a、b两点，则直线 ad 与 bd 的倾斜角之和为a. 76 b. 54 c. 43 d. 53解解:数形结合301,302 由圆的性质可知21,3030,故431

9、1.（2010 安徽理数）动点,a x y在圆221xy上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 秒旋转一周。已知时间0t 时，点a的坐标是13( ,)22，则当012t 时，动点a的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是a、0,1b、1,7c、7,12d、0,1和7,12解解:画出图形，设动点 a 与x轴正方向夹角为，则0t 时3，每秒钟旋转6，在0,1t上,3 2 ，在7,12上37,23，动点a的纵坐标y关于t都是单调递增的。12 （福建卷）已知双曲线(a0,bb0）的离心率为32，过右焦点 f 且斜率为k（k0）的直线于 c 相交于 a、b 两点，若3affb 。则 k =（a

10、）1 （b）2 （c）3 （d）2解解:b：1122( ,), (,)a x yb xy，3affb ， 123yy ， 32e ，设2 ,3at ct，bt，222440 xyt，直线 ab 方程为3xsyt。代入消去x，222(4)2 30systyt，21212222 3,44sttyyy yss ，2222222 32, 344sttyyss ，解得212s ，2k .50.（2010 四川理数）椭圆22221()xyabab 的右焦点f，其右准线与x轴的交点为 a，在椭圆上存在点 p 满足线段 ap 的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是（a）20,2 （b）10,2 （c）

11、2 1,1 （d）1,12解解:由题意，椭圆上存在点 p，使得线段 ap 的垂直平分线过点f，即 f 点到 p 点与 a 点的距离相等16而|fa|22abccc,|pf|ac,ac,于是2bcac,ac,即 acc2b2acc2.222222accacacacc1112caccaa 或 ,又 e(0,1),故 e1,1251.（2010 福建文数）若点 o 和点 f 分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点 p 为椭圆上的任意一点，则op fp 的最大值为a2 b3 c6 d8解解: 由题意，f（-1，0） ，设点 p00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为

12、00(1,)fpxy ，00(,)opxy ，所以2000(1)op fpx xy =00(1)op fpx x 203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x ，因为022x ，所以当02x 时，op fp 取得最大值222364，选 c。52.（2010 全国卷 1 文数） 已知1f、2f为双曲线 c:221xy的左、右焦点，点 p 在 c 上，1fp2f=060，则12| |pfpf (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8解解: cos1fp2f=222121212|2|pfpfffpfpf22221212121201212222 221cos60222

13、pf pfpfpfpf pfffpf pfpf pf,12| |pfpf 4.解析二: 由焦点三角形面积公式得：120220121260113cot1 cot3sin6022222f pfsbpf pfpf pf,12| |pfpf 4.53.（2010 四川文数）椭圆222210 xyaabb的右焦点为 f，其右准线与x轴的交点为a在椭圆上存在点 p 满足线段 ap 的垂直平分线过点 f，则椭圆离心率的取值范围是17（a） （0，22 （b） （0，12 （c）21，1） （d）12，1）解：解：由题意，椭圆上存在点 p，使得线段 ap 的垂直平分线过点f，即 f 点到 p 点与 a 点的距

14、离相等. 而|fa|22abccc,|pf|ac,ac,于是2bcac,ac,即 acc2b2acc2222222accacacacc1112caccaa 或,又 e(0,1),故 e1,12.54.（2010 湖北理数）若直线 y=x+b 与曲线234yxx有公共点，则 b 的取值范围是a. 1,12 2 b. 1 2 2,12 2 c. 1 2 2,3 d. 12,3解：解：曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)xyy，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距离等于 2，解得12 212 2bb 且，因

15、为是下半圆故可得12 2b （舍） ，当直线过（0，3）时，解得 b=3,故12 23,b所以 c 正确.55.（2010 福建理数）若点 o 和点( 2,0)f 分别是双曲线2221(a0)axy的中心和左焦点,点 p 为双曲线右支上的任意一点,则op fp 的取值范围为a3-2 3,) b32 3,) c7-,)4 d7 ,)4解：解：因为( 2,0)f 是已知双曲线的左焦点，所以214a ，即23a ，所以双曲线方程为2213xy，设点 p00(,)xy，则有220001(3)3xyx，解得220001(3)3xyx，因为00(2,)fpxy ，00(,)opxy ，所以2000(2)o

16、p fpx xy =00(2)x x 2013x 2004213xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为034x ，因为03x ，所以当03x 时，op fp 取得最小值432 313 32 3，故op fp 的取值范围是32 3,)，选 b。二二. 填空题填空题181 （北京卷）已知点的坐标满足条件，点为坐标原点，那么的最小值等于( , )p x y41xyyxxo|po_.最大值等于_.解：解：画出可行域，如图所示：易得 a（2，2） ，oa，b（1，3） ，ob， ，c（1，1） ，2 210oc,故|op|的最大值为，最小值为.21022 （福建卷）已知实数、满足则的最大值是_.xy1,

17、1,yyx2xy解：解：已知实数、满足在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是 a(0，1)，b(1，0)，xy1,1,yyxc(2，1)， 的最大值是 4.2xy3 （湖南卷）已知则的最小值是_. 1,10,220 xxyxy 22xy解：解：由，画出可行域，得交点 a(1，2)，b(3，4)，则的最小值是 5.022011yxyxx22yx 4.（江西卷）已知圆 m：（xcos）2（ysin）21，直线 l：ykx，下面四个命题：（a）对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 m 相切；(b) 对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 m 有公共点；(c)对任意实数 ，必存在实数 k，使得直线 l 与

18、和圆 m 相切（d）对任意实数 k，必存在实数 ，使得直线 l 与和圆 m 相切其中真命题的代号是_.（写出所有真命题的代号）解：解：选（b） （d）圆心坐标为（cos，sin） ，.222|kcossin |1k |sin|sin|11k1kd（）（）5 （全国 ii）过点（1， ）的直线 l 将圆(x2)2y24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直2线 l 的斜率 k_.解解:由图形可知点 a在圆的内部, 圆心为 o(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最(1,2)22(2)4xy小,只能是直线,所以loa11222loakk 6 （天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，30axy2

19、2(1)(2)4xyabab2 3则_.a 19ablc解：解：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则30axy22(1)(2)4xyabab2 3圆心(1，2)到直线的距离等于 1，0 2|23|11aaa 7(重庆卷)已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点xy23033010 xyxyy zaxy0a 处取得最大值，则的取值范围为_.(3,0)a解：解：画出可行域如图所示，其中 b（3，0） ，c（1，1） ，d（0，1） ，若目标函数取得最zaxy大值，必在 b，c，d 三点处取得，故有 3aa1 且 3a1，解得 a128.（天津文理 14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程

20、2210 xy22(1)(3)20 xy,a bab_.解解:两圆方程作差得.30 xy9.（山东理 15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方20 xy221212540 xyxy程是_.解解：曲线化为，其圆心到直线的距离为22(6)(6)18xy20 xy所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为6625 2.2dyx2标准方程为(2,2).。22(2)(2)2xy10.（上海文 11）如图，是直线 上的两点，且两个半径相等的动圆分别与 相切于ab，l2abl点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面ab，caccbab积的取值范围是 s解解:如图，当外切于点 c

21、时，最大，此时，两圆半径为 1，等于矩形 abo2o1的面12oo与ss积减去两扇形面积，随着圆半径的变化，c 可以向直线 靠近，2max12 1 2 (1 )242s l当 c 到直线 的距离。l0,0,(0,22dss时11.（江西理 16）设有一组圆下列四个命题：224*:(1)(3 )2()kcxkykkkn存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交20存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）解：解：圆心为（k-1，3k）半径为，圆心在直线 y=3（x+1）上，所以直线 y=3（x+1）必与所有22k的圆相交

22、，b 正确；由 c1、c2、c3的图像可知 a、c 不正确；若存在圆过原点（0，0） ，则有（因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在 k424222121029) 1(kkkkkk*)nk 使上式成立，即所有圆不过原点。填 b、d.12.（2010 全国卷 2 理数）已知球o的半径为 4，圆m与圆n为该球的两个小圆，ab为圆m与圆n的公共弦，4ab 若3omon，则两圆圆心的距离mn_.解：解：设 e 为 ab 的中点，则 o，e，m，n 四点共面，如图，4ab ，所以22aboer2 32，me= 3，由球的截面性质，有omme,onne，3omon，所以meo与neo全等，所以 mn 被 o

23、e 垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，me momn=23oe 13.（2010 全国卷 2 文数）已知球的半径为 4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆omnabm的n公共弦，若，则两圆圆心的距离_.4ab 3omonmn 解：解：on=3，球半径为 4，小圆 n 的半径为，小圆 n 中弦长 ab=4，7作 ne 垂直于 ab， ne=，同理可得，在直角三角形 one 中，33me ne=，on=3， ， ， mn=336eon3mon14 （江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上12ff且22221(00)abxyabab且且p异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题o1

24、的内切圆的圆心必在直线上； 2的内切圆的圆心必在直线上；12pffxa12pffxb3的内切圆的圆心必在直线上； 4的内切圆必通过点12pffop12pff0a且其中真命题的代号是_.（写出所有真命题的代号） 解：解：设的内切圆分别与 pf1、pf2切于点 a、b，与 f1f2切于点 m，则12pff|pa|pb|，|f1a|f1m|，|f2b|f2m|，又点 p 在双曲线右支上，所以|pf1|pf2|2a，故|f1m|f2m|2a，而|f1m|f2m|2c，设 m 点坐标为（x，0） ，则由|f1m|f2m|2a 可得（xc）（cx）2a 解得 xa，显然内切圆的圆心与点 m 的连线垂直于

25、x 轴，故 1、4 正确。omneab2115 （四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半2212516xyab8x部分于七个点，是椭圆的一个焦点，1234567,p pp pp p pf_.1234567pfp fpfp fp fp fp f解：解：如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分2212516xyab8x于七个点，是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，1234567,p p p p p p pf，同理其余两对的和也是，又，11711112| | 2pfp fpfpfa2a41|p fa =35.1234567pfp fpfp f

26、pfp fp f7a16.（江苏 15）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆xoyabc( 4,0)a (4,0)cb192522yx上，则_.sinsinsinacb解：解：利用椭圆定义和正弦定理 得 ,b=2*4=8,.1052 casinsinsinacb45810bca17.（重庆理 16）过双曲线的右焦点 f 作倾斜角为的直线，交双曲线于 p、q 两点，422 yx0105则|fp| |fq|的值为_.解：解：代入得(2 2,0),f0tan105(23).k :(23)(2 2).lyx 422 yx2(64 3)4 2(74 3)6032 30.xx设112212124 2

27、(74 3)6032 3( ,),(,).,.64 364 3p x yq xyxxxx又2212|1|2 2 |,|1|2 2 |,fpkxfqkx212126032 316(74 3)| | (1)|2 2()8| (84 3) |8|64 364 3(84 3)( 4)8 3.364 3fpfqkx xxx18.（辽宁理 14 文 16）设椭圆上一点到左准线的距离为 10，是该椭圆的左焦点，若点2212516xypfm22满足，则=_.1()2omopdf |om 解：解：椭圆左准线为，左焦点为（-3，0） ，p（，由已知 m 为 pf 中2212516xy325x)328,35点，m（

28、，所以.)324,32|om 2)324()32(2219.（2009 四川卷理）若221:5oxy与222:()20()oxmymr相交于 a、b 两点，且两圆在点 a 处的切线互相垂直，则线段 ab 的长度是_.解解: 由题知)0 ,(),0 , 0(21moo，且53|5 m，又21aoao ，所以有525)52()5(222 mm，452052 ab。20.（2009 重庆卷文）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)fcf c，若椭圆上存在一点p使1221sinsinacpffpf f，则该椭圆的离心率的取值范围为_.解解:因为在12pff中，由

29、正弦定理得211221sinsinpfpfpffpf f,则由已知，得1211acpfpf，即12apfcpf.设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,pfaex pfaex则00()()a aexc aex记0()(1)()(1)a caa exe cae e 由椭圆的几何性质知:0(1)(1)a exaae e 则，整理得2210,ee 解得2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率( 21,1)e解法二: 由解析 1 知:12cpfpfa, 212222222capfpfapfpfapfaca则即 . 由椭圆的几何性质知22222,20,apfacacccaca则既所以221

30、0,ee 以下同解析 1.21.（2009 重庆卷理）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)fcf c，若双曲线上存在一点p使1221sinsinpffapf fc，则该双曲线的离心率的取值范围是_.23解解:在12pff中，211221sinsinpfpfpffpf f,则由已知，得1211acpfpf，即12apfcpf，且知点p 在双曲线的右支上，设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,pfaex pfexa则00()()a aexc exa,解得0()(1)()(1)a caa exe cae e由双曲线的几何性质知0(1)(1)a

31、exaae e则，整理得2210,ee 解得2121(1,)ee ，又，故椭圆的离心率(1,21)e.解法二: 由解析 1 知12cpfpfa, 212222222capfpfapfpfapfaca则即 由椭圆的几何性质知22222,20,apfcacacacaca则既所以2210,ee 以下同解析 1.22.（2009 北京理）椭圆22192xy的焦点为12,f f，点p在椭圆上，若1| 4pf ，则2|pf _；12fpf的小大为_. 解解: 229,3ab，22927cab，122 7ff ，又1124,26pfpfpfa，22pf ，由余弦定理，22212242 71cos2 2 42

32、fpf ，12120fpf，故应填2, 120.23.（2009 江苏卷）如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,a a b b为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，f为其右焦点，直线12ab与直线1b f相交于点 t，线段ot与椭圆的交点m恰为线段ot的中点，则该椭圆的离心率为_.解解:直线12ab的方程为：1xyab；直线1b f的方程为：1xycb。二者联立解得：2()(,)acb actacac,则()(,)2()acb acmacac在椭圆22221(0)xyabab上，242222222()1,1030,1030()4()caccacaeeacac,解得：2 75e 24

33、.（2009 福建卷理）过抛物线22(0)ypx p的焦点 f 作倾斜角为45的直线交抛物线于 a、b 两点，若线段 ab 的长为 8，则p _. 解解:由题意可知过焦点的直线方程为2pyx，联立有22223042ypxpxpxpyx，又222(1 1 ) (3 )4824pabpp 。25.（2009 辽宁卷理）以知 f 是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),ap是双曲线右支上的动点，则pfpa的最小值为_.解解:注意到 p 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 f(4,0),于是由双曲线性质|pf|pf|2a4,而|pa|pf|af|5, 两式相加得|pf|pa|9,当且仅当 a、p、f三点共线时等号成立.答案 9.26.（20