高考数学总复习：第十一篇 第6讲 离散型随机变量的分布列

1、抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第6讲离散型随机变量的分布列讲离散型随机变量的分布列【2014年高考会这样考年高考会这样考】1在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念在理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分的基础上，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列布列2考查两点分布和超几何分布的简单应用考查两点分布和超几何分布的简单应用.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(1)将随机现象中试验将随机现象中试验(或观测或观测)的每一个可能的结果都对应的每一

2、个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量；取值能够一一列于一个数，这种对应称为一个随机变量；取值能够一一列举出来，这样的随机变量叫作离散型随机变量举出来，这样的随机变量叫作离散型随机变量(2)设离散型随机变量设离散型随机变量X的取值为的取值为a1，a2，随机变量随机变量X取取ai的概率为的概率为pi(i1，2，)，记作：，记作：P(Xai)pi(i1，2，)，或把上式列成表，或把上式列成表1离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列Xaia1a2P(Xai)p1p2抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考上式及表称为离散型随机变量上式及表称为离散型随机变

3、量X的分布列，具有性质：的分布列，具有性质：pi_0；p1p2_如果随机变量如果随机变量X的分布列为的分布列为其中其中0p 两点分布两点分布抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3超几何分布列超几何分布列抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 一类表格一类表格离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表离散型随机变量的分布列实质是进行数据处理的一种表格第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行格第一行数据是随机变量的取值；第二行数据是第一行数据代表事件的概率利用离散型随机变量的分布列，很数据代表事件的概率利用离散型随机变量的分布列

4、，很容易求出其期望和方差等特征值容易求出其期望和方差等特征值【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 两条性质两条性质(1)第二行数据中的数都在第二行数据中的数都在(0,1)内；内；(2)第二行所有数的和等于第二行所有数的和等于1.三种方法三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列；由统计数据得到离散型随机变量分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量分布列；由古典概型求出离散型随机变量分布列；(3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列列抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向

5、揭秘揭秘3年高考年高考A取到产品的件数取到产品的件数 B取到正品的概率取到正品的概率C取到次品的件数取到次品的件数 D取到次品的概率取到次品的概率解析解析A中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；中取到的产品件数是一个常量而不是一个变量；B、D中的概率也是一个定值；而中的概率也是一个定值；而C中取到的次品数可能是中取到的次品数可能是0,1,2，是随机变量，是随机变量答案答案C考点自测考点自测110件产品中有件产品中有3件次品，从中任取件次品，从中任取2件，可作为随机变量件，可作为随机变量 的是的是 ()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2设某项试验的成功率是失

6、败率的设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量倍，用随机变量X去去 描述描述1次试验的成功次数，则次试验的成功次数，则P(X0)等于等于 () 解析解析设设X的分布列为的分布列为X01Pp2p答案答案D抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3(2013西安模拟西安模拟)一盒中有一盒中有12个乒乓球，其中个乒乓球，其中9个新的，个新的，3个旧的，从盒中任取个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则是一个随机变量，则P(X4)的值的值为为 ()答案答案A抓住抓住3个考点个考点突破突破3

7、个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考A25 B10 C7 D6解析解析X的可能取值为的可能取值为123,134,14523，15642,25734,358,459.答案答案C4袋中有大小相同的袋中有大小相同的5只钢球，分别标有只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号五个号码，任意抽取码，任意抽取2个球，设个球，设2个球号码之和为个球号码之和为X，则，则X的所的所有可能取值个数为有可能取值个数为()抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考5(教材习题改编教材习题改编)一实验箱中装有标号为一实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的的5只白只白鼠，若从中任取鼠，若从中任取1只，

8、记取到的白鼠的标号为只，记取到的白鼠的标号为Y，则随，则随机变量机变量Y的分布列是的分布列是_解析解析Y的所有可能值为的所有可能值为1,2,3,4抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例1】 (2012广东改编广东改编)某班某班50位学生期中考试位学生期中考试数学成绩的频率分布直数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成方图如图所示，其中成绩分组区间是：绩分组区间是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100考向一由统计数据求离散型随机变量的分布列考向

9、一由统计数据求离散型随机变量的分布列抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求图中求图中x的值；的值；(2)从成绩不低于从成绩不低于80分的学生中随机选取分的学生中随机选取2人，该人，该2人中成绩在人中成绩在90分以上分以上(含含90分分)的人数记为的人数记为，求，求的分布列及数学期望的分布列及数学期望审题视点审题视点 (1)抓住总面积和为抓住总面积和为1即可算得即可算得x的值的值(2)的可能的可能取值为取值为0,1,2，算出其概率，即可列出，算出其概率，即可列出的分布列，从而求出的分布列，从而求出的期望的期望解解(1)由频率分布直方图知由频率分布直方图知(0.

10、00630.01x0.054)101，解得，解得x0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为分的学生人数为(0.0180.006)105012，成绩在，成绩在90分以上分以上(含含90分分)的人数为的人数为0.00610503.因此因此可能取可能取0,1,2三个值三个值抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 求离散型随机变量的分布列的步骤：确求离散型随机变量的分布列的步骤：确定离散型随机变量所有的可能取值，以及取这些值时定离散型随机变量所有的可能取值，

11、以及取这些值时的意义；尽量寻求计算概率时的普遍规律；检查的意义；尽量寻求计算概率时的普遍规律；检查计算结果是否满足分布列的第二条性质计算结果是否满足分布列的第二条性质抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练1】 (2011北京改编北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组以下茎叶图记录了甲、乙两组 各四名同学的植树棵数各四名同学的植树棵数甲组乙组甲组乙组分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数求这两名同学的植树总棵数Y的分布列；的分布列；(2)每植一棵树可获每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数

12、学期望元，求这两名同学获得钱数的数学期望解解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4416，这两名同学植树总棵数，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为的取值分别为17,18,19,20,21，抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考设这名同学获得钱数为设这名同学获得钱数为X元，则元，则X10Y，则则EX10EY190.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求X的分布列；的分布列；(2)求求X的数学期望的数学期望EX审题视点审题视点 本题是一道有关古典概型的题目，对变量的取本题

13、是一道有关古典概型的题目，对变量的取值要做到不重不漏，计算要准确值要做到不重不漏，计算要准确考向二用古典概型求离散型随机变量的分布列考向二用古典概型求离散型随机变量的分布列【例例2】 (2012浙江浙江)已知箱中装有已知箱中装有4个白球和个白球和5个黑球，且规个黑球，且规定：取出一个白球得定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得分，取出一个黑球得1分现从该箱分现从该箱中任取中任取(无放回，且每球取到的机会均等无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变个球，记随机变量量X为取出此为取出此3球所得分数之和球所得分数之和抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个

14、考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 求随机变量分布列的关键是概率的计算，概求随机变量分布列的关键是概率的计算，概率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随率计算的关键是理清事件之间的关系，把实际问题中随机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概机变量的各个值归结为事件之间的关系，求出事件的概率也就求出了这个随机变量的分布列率也就求出了这个随机变量的分布列抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【训练训练2】 (2012安徽安徽)某单位招聘面试，每次从试题库中某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是随机调用一道试题，若调

15、用的是A类型试题，则使用后类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道该试题回库，并增补一道A类型试题和一道类型试题和一道B类型试题类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现使用后该试题回库，此次调题工作结束，试题库中现共有共有nm道试题，其中有道试题，其中有n道道A类型试题和类型试题和m道道B类型类型试题，以试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中表示两次调题工作完成后，试题库中A类型类型试题的数量试题的数量(1)求求Xn2的概率；的概率；(2)设设mn，求，求X的分布列和均值的分布列和均

16、值(数学期望数学期望)抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)设系统设系统A在在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量随机变量，求，求的概率分布列及数学期望的概率分布列及数学期望E考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列考向三由独立事件同时发生的概率求随机变量的分布列抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考审题视点审题视点 (1)依据题意及相互对立事件间的

17、概率关系列出依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 解决随机变量分布列问题时，首先应先根解决随机变量分布列问题时，首先应先根据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变据随机变量的实际意义，利用试验结果，找出随机变量的取值，再正确求出随机变量的各个取值对应的概量的取值，再正确

18、求出随机变量的各个取值对应的概率，同时要做到计算准确无误率，同时要做到计算准确无误抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求两种树各成活一株的概率；求两种树各成活一株的概率；(2)设设表示成活的株数，求表示成活的株数，求的分布列及数学期望的分布列及数学期望解解(1)记记“香樟成活一株香樟成活一株”为事件为事件A，“桂花成活一株桂花成活一株”为事为事件件B.则事件则事件“两种树各成活一株两种树各成活一株”即为事件即为事件AB.抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住

19、3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【命题研究命题研究】 通过对近三年高考试题分析可以看出，本通过对近三年高考试题分析可以看出，本部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机部分在高考中主要考查独立事件的概率、离散型随机变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率变量的概率分布、数学期望和方差的计算，以及概率统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主预测统计在实际问题中的应用，题型以解答题为主预测2014年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的年高考仍会坚持以实际问题为背景，结合常见的概率事件，考查离散型随机变量的分布列、期望和方概率事件，考查离散型随机变量的分布列、

20、期望和方差的求法，一般属中等难度题目差的求法，一般属中等难度题目规范解答规范解答16求解离散型随机变量分布列的答题技巧求解离散型随机变量分布列的答题技巧抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求这求这4个人中恰有个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；人去参加甲游戏的概率；(2)求这求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；人数的概率；(3)用用X，Y分别表示这分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，个人中去参加甲、乙游戏的人数，记记|XY|，求随机变量，求随机变量的分布列与数学期望的分布列与数学期望 E【

21、真题探究真题探究】 (本小题满分本小题满分13分分)(2012天津天津)现有现有4个人去参个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或或2的人去参的人去参加甲游戏，掷出点数大于加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏的人去参加乙游戏抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考教你审题教你审题 (1)本题是一个古典概型，根据上述规则可分别本题

22、是一个古典概型，根据上述规则可分别求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率，然后再利用二项求出每个人参加甲游戏和乙游戏的概率，然后再利用二项分布的概率公式求解分布的概率公式求解(2)4个人中参加甲游戏的人数大于个人中参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数含去参加乙游戏的人数含“3人参加甲游戏人参加甲游戏”和和“4人全部参加人全部参加甲游戏甲游戏”两个互斥事件，利用二项分布和互斥事件的概率两个互斥事件，利用二项分布和互斥事件的概率公式可求解公式可求解(3)分析出分析出的所有可能取值，求出各值对应的所有可能取值，求出各值对应的概率，建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期的概率，建立概率分布表，利用期

23、望的定义式求解数学期望望抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考阅卷老师手记阅卷老师手记 掌握离散型随机变量的分布列，需注意掌握离散型随机变量的分布列，需注意(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概的值的事件发生的概率看每一列，实际上是：上为率看每一列，实际上是：上为“事件事件”，下为事件发生的，下为事件发生的概率，只不过概率，只不过“事件事件”是用一个反映其结果的实数表示的是用一个反映其结果的实数表