一阶线性电路暂态分析的三要素法

1、第三章电路的暂态分析 第一章 讨论电路的基本概念和基本定律 。 如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、 电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与 计算电路的基础。 第二章 介绍几种常用的电路分析方法。 有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变换、叠加原理、和戴维宁定理。 第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。 介绍：用“三要素法”分析暂态过程。稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流恒定 或周期性变化。换路：指电路接通、断开或结构和参数发生变化。 先讨论暂态过程产生的原因-动态元件、换路定律。 后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。暂态：电路从一个

2、稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡 状态。动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系 是通过导数或积分来表达的。 换路发生很长时间后重新达到稳态。 含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即：换路瞬间：设为 t=0。换路前终了瞬间：以 t=0表示。换路后初始瞬间：以 t=0+表示。换路定则：电感元件的储能不能跃变221llliw电容元件的储能不能跃变221cccuw 状态变量 在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。独立初始值 【例例3.13.1】设：开关设：开关s s闭合前闭合前l l元件和元件和c c元件均未储能。元件均未储能。 试试：确定确

3、定s s闭合后闭合后电路中各电流与电压的初始值。电路中各电流与电压的初始值。解：由t=0-的电路得：4r3+u6vt =02sr1r24ucc+icil t=0-iluluc(0+)=0il (0+) =0uc(0-)=0il(0-) =0电容元件短路。电感元件开路由换路定则得：则：画出t=0+时的等效电路独立初始值2(0)(0)414lcur ivv由t=0+的等效电阻电路126(0)(0)124cuiiaarr+ur1i+ulilr2 r3uc+ic (0+) t=0+求出各独立初始值246v(0+)(0+)(0+)(0+)1. 零状态响应2. 零输入响应3. 全响应 换路前动态元件未储存

4、能量 ，即uc（0-）=0或il(0-)=0 ， 换路时，由电源激励所产生的电路响应。 换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零 。由初始储能引起的的电路响应。 指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的电路响应。 即：是零状态响应与零输入响应两者的叠加。rt=0 +u12 +ur +ulil 电感初始储能为零，电路响应仅由外加电源引起，为rl电路的零状态响应。s若s在2位置时，在t=0时将开关s合到1的位置。 电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故为rl电路的零输入响应。若s在1位置时，在t=0时将开关s合到2的位置。cccuturcuriu d

5、duscrt=0 +12 +ur +ucit 0时电路的微分方程为： 设:s在2位置时c已放电完毕，在t=0时将开关s合到1的位置。rc电路零状态响应根据kvl通解=特解+补函数cu cu 特解取换路后的稳态值，即uuucc )(补函数是齐次微分方程0dd ccuturc形式为：ptcuae 的通解scrt=0 +u12 +ur +uci(1)ttcuuueueuc零状态响应表达式：时间常数-s推导整理得：tucu0u0.632u零状态响应曲线物理意义:当t =时ueuuc632. 0)1 (1是电压uc增长到稳态值u的63.2所需的时间。rt=0 +u12 +ur +ulil根据kvlt0时

6、电路微分方程为: stilriudd 推导整理得：通解=特解+补函数uc零状态响应表达式：)e1(i-ltru时间常数-srl 此时，通过电感的电流il由初始值i0向稳态值零衰减，其随时间变化表达式为：rt=0 +u2 +ur +ulils1)e1(i-ltru tii-0e il零状态响应表达式：ti0i零状态响应曲线ur小结2）达稳态值的快慢取决于时间常数。（ =rc 或=gl）3）当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路,电感相当于短路。其等效电路为电阻性电路。 4）零状态线性：当输入增大倍，其零状态响应也增大倍。 1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均从初始值开始按相

7、同的指数规律变化，最后达稳态值。 teyty )0()(代入上式得0dd ccuturctucccdd rur 换路前电路已处于稳态 uuc )0(t =0时开关, 电容c 经电阻r 放电1s一阶线性常系数 齐次微分方程列 kvl方程：0 cruuuuc )0(+-sru21+ cicu0 tru+c 0 )0( etcutrctuuc e推导整理得：uc零输入响应曲线0uut时间常数 =rc当t = 时，uc = 36.8% u=0.368ui零输入响应曲线0ii0t0.368i0时间常数 =l/r当t= 时，il=36.8%i0 。 电路中 ur和ul可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系

8、确定。0 )0( etiillt同理可推导：tii0i时间常数 =l/r当t=时，uc=63.2%u。0.632u/r零状态响应曲线零输入响应曲线0ii0t0.368i0时间常数 =l/r当t= 时，uc=36.8%u0 。)e1( trui tii e0ur 电路中 ur和ul可根据电阻和电感元件两端的电压电流伏安特性关系确定。当0cu t0cu) 53(t cu0.368u0.135u0.050u0.018u0.007u0.002u 2 3 4 6 51e 2e 3e 4e 5e 6e t e t e小结：4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1. 一阶电路的零输入响应

9、是由储能元件的初值引起的响 应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2. 衰减快慢取决于时间常数 rc电路 = rc , rl电路 = l/r3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 teyty )0()(uc全响应: 电源激励和储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。)0()e1(e 0tuuurctrctcr1 u1c +1+uc u2 +2t=0s) 0()e1(e 0 tuuurctrctc) 0( )e( 0 tuuurct稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量全响应稳态值初始值 tffftf e)()0()()(状态变量的三要素uc(0 +)uc( )=rcil(0 +)

10、il( )=gl设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f (t) 则：f (0+) 待求响应的初始值 f () 待求响应的稳态值 待求响应的时间常数任意变量f (t )的三要素可以证明：f (t )完全由此三要素决定。即：含源电阻网络动态元件r0suc( )cu tr0sil()li t tffftf e)()0()()()(tf tffftf e)()0()()(对于任何形式的直流一阶电路，【三要素法】稳态值初始值时间常数稳态值 f(0+)、f()和 )(tf)(f)0 (f)0()0()( 6320 fff.即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 【i c()=0、 u l()=0】v555

11、510)( cu6666)( lima3 (1)稳态值 的计算)( f例：uc+-t=0c10v1 fs5k+-lit =03666mas 画换路后t=的等效电路（电容c 视为开路,电感l视为短路）。 在t= 的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。 1) 由t=0-等效电路求)0()0( lciu、2) 根据换路定则求出独立初始值)0()0()0()0( llcciiuu3) 画t=0+时等效电阻电路，求所需非独立初始值量)0( i)0( u或电容元件视为短路。;0u 其值等于，若 0)0( cu(1) 若， 0)0(0 uuc电容元件用恒压源代替， 0 )0 (0 iil0)0( li若若其

12、值等于i0 , , 电感元件视为开路。(2) 若 , 电感元件用恒流源代替 ， 注意：)0( f(2) 初始值 的计算 cr0 0rl 注意：r03210)/(rrrr u0+-cr0cr0 r1r2r3r1u+-t=0cr2r3s例 在下图中，已知u1=3v，u2=+6v，r1=1k ，r2=2k，c= 3f ，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t 0 时的 uc(t),并画出变化曲线。 uc(0+)、uc()和 r2r1 u1c +1+uc u2 +则：电容相当于开路。2t=0sv2)0()0(2112 rruruuccv4)(2122 rruruc解先确定三要素因：t0时电路已处于稳态，

13、当t0电路处于稳态时，r2 u1c +1+ucu2 +2t=0sr1v2)0()0( ccuuv4)( cuscrrm2332)/(21 tccccuuuu-e)()0()( v)0( ttcu500-e24 例 在下图中，已知u1=3v，u2=+6v，r1=1k ，r2=2k，c= 3f ，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t 0 时的 uc(t),并画出变化曲线。解先确定三要素210/rrr 解 u1c +1+ucu2 +2t=0sr1r2t (s)uc (v)402uc(t)变化曲线 vtcu500-e24 sm2 v2)0( cuvuc4)( 例 在下图中，已知u1=3v，u2=+6v，r1=1k ，r2=2k，c= 3f ，t0时电路已处于稳态。用三要素法求t 0 时的 uc(t),并画出变化曲线。a11128220)0(21 rruis05. 0126 . 02 rl t=0 +uilr1r2128220v0.6h 例图中，如在稳定状态下r1被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15a？ 1）确定i (0+) 解先应用三要素法求电流i3）确定时间