专题一特殊的平行四边形

1、专题一：特殊的平行四边形 矩形 菱形 正方形一、学法指引矩形 菱形 正方形是特殊的平行四边形，因此它们既具有平行四边形的一般性质，又具有自己的特殊性质，要求掌握各自的性质，判定，并能运用性质、判定解决相关问题同时注意它们的包含与被包含的关系。二、探究与思考 1）探究矩形的定义，性质，判定矩形的定义矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的特殊性质因为平行四边形的对角相等，邻角互补，而矩形有一个角是直角，所以矩形的四个角都是直角矩形性质1 矩形的四个角都是直角如图，在矩形abcd中，ac、bd相交于点o，显然abcdcb,所以ac=bd,矩形性质2 矩形的对角线相等直角三角形的性质：直角

2、三角形斜边上的中线等于斜边的一半由性质2有 ao=bo=co=do=ac=bd因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例1、已知：如图，矩形abcd的两条对角线相交于点o，aob=60，ab=4cm，求矩形对角线的长例2、已知：如图 ，矩形 abcd中，ab长8 cm ，对角线比ad边长4 cm求ad的长及点a到bd的距离ae的长例3、如图，四边形abcd中，acbd于点o，efachg，ehbdfg，点e、f、g、h分别在四边形的边上。求证：fh=eg讲中练1填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则矩形两

3、条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 2下列说法错误的是（ ） a、矩形的对角线互相平分 b、矩形的对角线相等c、有一个角是直角的四边形是矩形 d、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）a、2对 b、4对 c、6对 d、8对4已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为 _cm， cm， cm， cm5、如图，矩形abcd中，aebd，垂足为e，dae=3bae，则bae= ，eac= 。6、已知如图，o是矩形abcd对角线的交点，ae平分bad，aod=120，求aeo的度数7、如图 （a

4、），在矩形 abcd中，两条对角线交于点 o,aod 120， ab 4求：（1）矩形对角线长；（2）bc边的长;（3）若过o垂直于bd的直线交ad于e，交bc于f（图4-31（b）求证： efbf， of=cf；（4）如图4-31（c），若将矩形沿直线mn折叠，使顶点 b与d重合，m，n交ad于m，交bc于n求折痕mn长矩形的判定： 判定一：有一个角是90的平行四边形 判定二：有三个内角是直角的四边形 判定三：对角线相等的平行四边形由判定一、三可知要证明一个四边形是矩形，一般先证明它是平行四边形，再证明有一个角是直角。例4、如图，在abc中，点d在ab上，且ad=cd=bd，de、df分别是

5、bdc、adc的平分线。四边形fdec是矩形吗？为什么？例5、如图，abcd的4个内角平分线围成的四边形pqrs是矩形吗？为什么？例6、如图，矩形abcd的对角线ac、bd相交于点o，e、f、g、h分别是oa、ob、oc、od的中点。四边形efgh是矩形吗？为什么？讲中练1、正确的打“”，错误的打“”（1）四个角相等的四边形是矩形（ ）。（2）对角线相等的四边形是矩形（ ）。（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ）。（4）一组对边平行另一组对相等且对角线相等的四边形是矩形（ ）。2、四边形abcd的对角线ac、 bd相交于点o，下列条件中能识别它为矩形的是( )a、aoco， bodo，

6、 abbc b、aoco， bodo， abdcc、abcd， adbc， aoco d、aobocodo3、【问题一】如图，四边形abcd中，ab，bc，cd6，且abc1350，bcd1200，你知道ad的长吗？【问题二】把矩形abcd沿bd折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形abde是什么图形，并证明你的猜想。4、如图，以abc的三边为边在bc的同一侧分别作三个等边三角形，即abd、bce、acf。请回答下列问题（不要求证明）：（1）四边形adef是什么四边形？（2）当abc满足什么条件时，四边形adef是矩形？（3）当abc满足什么条件时，以a、d、e、f为顶点的四边形不存在 2）菱

7、形，正方形 菱形，正方形的定义、性质ac b 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 正方形定义：一组邻边相等的矩形叫正方形菱形的性质：1、四边都相等 2、对角线互相垂直平分 d正方形性质：1、四边都相等 2、对角线相等且互相垂直平分例7、如图在菱形abcd中，bad=2b，求b的度数，并说明abc是等边三角形。例8、如图所示，正方形abcd中，p是对角线bd上一点，pebc于e，pfcd于f。请猜想 ef与pa的数量关系、位置关系，并说明理由。菱形，正方形的判定cboefda例9、如图，矩形abcd的对角线ac、bd相交于点o，作cfbc交ad的延长线于f，e是cf的中点，试说明四边形

8、oced是菱形。例10、如图所示，在rtabc中，c90，a、b的平分线交于点d，debc于e，dfac于f，试说明四边形cedf为正方形。拓展练习一、填空题1、一个菱形的周长等于20cm，菱形的一条对角线长为5cm，则菱形的四个内角分别是。2、如图所示，在边长为8的菱形abcd中，dab60，e为ab的中点，f是ac上一个动点，则efbf的最小值是。 （2题图） （5题图） （7题图） （9题图）3、正方形的对称轴有条，它的对称中心是。4、正方形的边长为4cm，则周长为，面积为。5、如图，正方形abcd和正方形oefg的边长均为4，o是正方形abcd的旋转对称中心，则图中阴影部分的面积是6、

9、已知：矩形abcd中，ab2cb，点e中dc上，且aeab，则ebc。7、如图所示，在正方形abcd中，m是bc上一点，连结am，作am的垂直平分线gh交ab于g，交cd于h，若am10cm，则gh。8、菱形的一个内角为120，较短的对角线长为10cm，那么菱形的周长为cm。9、如图所示，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，a、b、c、d都是小正方形的顶点，则四边形abcd的面积为。10、正方形abcd中，对角线的长是10cm，点p是ab上任意一点，则点p到ac、bd的距离之和是二、选择题1、同学们玩过万花筒，它是三块等宽、等长的玻璃片围成的。如图所示的是看到的万花筒的一个图案，图中所

10、有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形(四边相等)aefg可以看成是把菱形abcd以a为中心得到的。a、顺时针旋转60b、逆时针旋转60c、顺时针旋转120d、逆时针旋转120 （1题图） （6题图） （7题图）2、在四边形abcd中，o是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是。a、acbd，abcd，abcd b、adbc，acc、aobocodo，acbd d、acco，bodo，abbc3、正方形具有而菱形没有的性质是。a、对角线互相平分 b、每条对角线平分一组对角c、对角线相等 d、对边相等4、在正方形abcd所在平面内找一点p，使p点与a、b、c、d中两点都连在一个

11、等边三角形，那么这样的p点有。a、5个 b、12个 c、9个 d、15个5、能判定一个四边形是菱形的条件是。a、对角线互相平分且相等b、对角线互相垂直且相等c、对角线互相垂直且两组对角相等d、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角6、如图所示，菱形abcd的边长与正三角形aef的边长相等，且e、f分别在bc、cd上，则bad的度数是。a、80 b、90 c、100 d、1207、如图所示，以正方形abcd中ad边为一边向外作等边ade，则aeb。a、10b、15c、20d、12.58、如图所示，在平行四边形abcd中，ad2dc，m、n分别在ab两边的延长线上，且有maabbn，则mc与dn的

12、关系是。a、相等b、垂直c、垂直且相等d、不能确定 （8题图） （9题图）9、如图所示，在正方形abcd中，h是bc延长线上一点，使cech，连结dh，延长be交dh于g，则下面结论错误的是。a、bedhb、hbec90c、bgdhd、hdcabe90能力升级1、已知：如图所示，在正方形abcd和正方形aefg有一具公共顶点a，把正方形aefg绕a点旋转到如图所示位置，连结dg、be。试说明：dgbe。2、已知：如图所示，在正方形abcd中，e、f分别是ad、dc的交点，af、be交于点g，连结cg，试说明：cgb是等腰三角形。3、已知：如图所示，e、f分别是正方形的边bc、dc上的点，且ea

13、f45，求证：bedfef4、如图所示，在正方形abcd中，m为ab上任意一点，mndm，bn平分cbe，试说明：mdmn。5、已知：如图所示，abcd是正方形，过b作bfac，e是bf上一点，四边形aefc是菱形，试说明：fca5f。6、如图所示，abcd是正方形，aedb，bebd，be交ad于f，试说明：def是腰三角形。7、如图所示，已知正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o，e是ac上一点，过a作ageb，垂足为g，ag交bd于f，请说明oeof对于上述命题，若点e在ac的延长线上，ageb交eb的延长线于点g，ag的延长线交db的延长线于点f，其他条件不变，如图所示，请你想一想

14、，结论“oeof”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。8、如图所示，点m是矩形abcd的边ad的中点，点p是bc边上一动点，pemc，pfbm，垂足分别为e、f。当矩形abcd的长与宽满足什么条件时，四边形pemf为矩形，请猜想并说明理由。在中，当点p运动到什么位置时，矩形pemf变为正方形？为什么？9、如图所示，在矩形abcd中，ab24cm，bc12cm，点p沿ab边从点a开始向点b以2cm/s的速度移动，点q沿da边从点d开始向点a以1cm/s的速度移动。如果p、q同时出发，用t(s)表示移动时间(0t12)，那么：当t为何值时，qap为等腰直角三角形；求出此时四边形qapc的面积，并提出一个与计算结果有关的结论。10、如图所示，在abcd中，对角线ac的垂直平分线与ad、bc、ac分别交于e、f、o，试说明四边形afce是菱形。11、如图所示，菱形abcd中，e是ab的中点，deab，aba，beh。求：abc的度数；ac的长；菱形abcd的面积。12、如图所示，o是菱形abcd对角线的交点，作deac，cebd，de、ce交于点e，四