平行线的判定及性质

1、 授课主题平行线 教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作ab要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行(3)在同一平面内，两条直线的位置关

2、系只有相交和平行两种特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系2平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：32abcd（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：12abcd（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁

3、内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：42180abcd（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.要点三、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行” (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离要点诠释：

4、（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.（2）命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”（3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.2.定理：定理是从真命题（

5、公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.要点诠释：（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可要点六、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2

6、. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、平行线例1下列说法正确的是 ( ) a不相交的两条线段是平行线. b不相交的两条直线是平行线.c不相交的两条射线是平行线. d在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.【答案】d 例2在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且

7、只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：( ) a1个 b2个 c3个 d4个【答案】b 【解析】正确的是：（1）(3).【变式1】下列说法正确的个数是 ( )（1）直线a、b、c、d，如果ab、cb、cd，则ad.（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行 a1个 b .2个 c3个 d4个【答案】b 类型二、两直线平行的判定例3. 如图，给出下列四个条件：（1）acbd； （2）dacbca； （3）abdcdb；（4）adbcbd,其中能使adbc的条件有

8、（ ）.a（1）（2） b（3）（4） c（2）（4） d（1）（3）（4）【答案】c 【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) a第一次向左拐30，第二次向右拐30 b第一次向右拐50，第二次向左拐130 c第一次向右拐50，第二次向右拐130 d第一次向左拐50，第二次向左拐130例4. 如图所示，已知b25，bcd45，cde30，e10试说明abef的理由 解法1：如图所示，在bcd的内部作bcm25，在cde的内部作edn10 b25，e10(已知)， bbcm，eedn(等量代换) abcm，efdn(内错角相等，两直

9、线平行) 又 bcd45，cde30(已知)， dcm20，cdn20(等式性质) dcmcdn(等量代换) cmdn(内错角相等，两直线平行) abcm，efdn(已证)， abef(平行线的传递性)解法2：如图所示，分别向两方延长线段cd交ef于m点、交ab于n点 bcd45， ncb135 b25， cnb180-ncb-b20(三角形的内角和等于180) 又 cde30， edm150 又 e10， emd180-edm-e20(三角形的内角和等于180) cnbemd(等量代换) 所以abef(内错角相等，两直线平行)【变式3】已知，如图，be平分abd，de平分cdb，且1与2互余

10、，试判断直线ab、cd的位置关系，请说明理由解：abcd，理由如下： be平分abd，de平分cdb， abd21，cdb22 又 1+290， abd+cdb180 abcd(同旁内角互补，两直线平行)【变式4】已知，如图，abbd于b，cdbd于d，1+2=180，求证：cd/ef【答案】证明：abbd于b，cdbd于d，abcd又1+2=180，abefcd/ef类型三、平行线的性质例5如图所示，如果abdf，debc，且165那么你能说出2、3、4的度数吗?为什么 解： debc， 4165(两直线平行，内错角相等) 2+1180(两直线平行，同旁内角互补) 2180-1180-651

11、15 又 dfab(已知)， 32(两直线平行，同位角相等) 3115(等量代换)【变式5】如图，已知，且1=48，则2 ，3 ，4 .【答案】48，132，48【变式6】如图所示，直线l1l2，点a、b在直线l2上，点c、d在直线l1上，若abc的面积为s1，abd的面积为s2，则( ) as1s2 bs1s2 cs1s2 d不确定【答案】b类型四、命题例6判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的? 还是错误的? 画直线ab；两条直线相交，有几个交点；若ab，bc，则ac；直角都相等；相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角【答案】不是命题；是命题；是正确的命题；是错误

12、的命题【变式8】把下列命题改写成“如果，那么”的形式 （1）两直线平行，同位角相等；（2）对顶角相等；（3）同角的余角相等.【答案】 解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.类型四、平移例7(湖南益阳)如图所示，将abc沿直线ab向右平移后到达bde的位置，若cab50，abc100，则cbe的度数为_【答案】30【变式9】 (上海静安区一模)如图所示，三角形fde经过怎样的平移可以得到三角形abc( ) a沿ec的方向移动db长 b沿bd的方向移动bd长 c沿ec的方向移动cd长 d沿bd的方向移

13、动dc长【答案】a类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示，abef，那么bac+ace+cef( ) a180 b270 c360 d540【答案】c 【解析】过点c作cdab， cdab， bac+acd=180(两直线平行，同旁内角互补)又 efab efcd dce+cef=180(两直线平行，同旁内角互补)又aceacd+dcebac+ace+cefbac+acd+dce+cef=180+180=360【课后作业】一、选择题1.下列说法中正确的有( ) 一条直线的平行线只有一条 过一点与已知直线平行的直线只有一条 因为ab，cd，所以ad 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直

14、线平行a1个 b2个 c3个 d4个2如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( ) a相等 b互补 c互余 d相等或互补3如图，能够判定debc的条件是 ( ) adce+dec180 bedcdcb cbgfdcb dcdab，gfab4一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 ( ) a第一次向右拐40，第二次向右拐140 b第一次向右拐40，第二次向左拐40 c第一次向左拐40，第二次向右拐140 d第一次向右拐140，第二次向左拐405如图所示，下列条件中，不能推出abce成立的条件是 ( ) aaace bbac

15、e cbecd db+bce1806.( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)(4)）:从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行a. b. c. d. 二、填空题7. 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是_8如图，df平分cde，cdf55，c70，则_9规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3，a100，若a1a2，a2a3，a3a4，按此规律，a1和a100的位置是_10已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40

16、，则另一个角的度数是 11直线同侧有三点a、b、c，如果a、b两点确定的直线 与b、c两点确定的直线都与平行，则a、b、c三点 ，其依据是 12. 如图，abef于点g，cdef于点h，gp平分egb，hq平分chf，则图中互相平行的直线有 三、解答题13.如图，160，260，3100，要使abef，4应为多少度?说明理由14小敏有一块小画板(如图所示)，她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?15如图，把一张长芳形纸条abcd沿af折叠，已知adb20，那么baf为多少度时，才能使abbd?16如图所示，由12，bd平分abc，可推出哪两条线段平行

17、，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】a 【解析】只有正确，其它均错2. 【答案】d 3. 【答案】b 【解析】内错角相等，两直线平行4. 【答案】b5. 【答案】b 【解析】b和ace不是两条直线被第三条直线所截所得到的角6. 【答案】c 【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点p的折痕与虚线垂直二、填空题7. 【答案】0或1或2或3个；8. 【答案】bc， de；【解析】cfd180705555，而fdecdf55，所以cfdfde9. 【答案】a1a100；【解析】为了方便，我们可以记为a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a97a98a99a100，因为a1a2a3，所以a1a3，而a3a4，所以a1a4a5同理得a5a8 a9，a9a12 a13，接着这样的规律可以得a1a97a100，所以a1a10010.【答案】 40或14011.【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用12.【答案】abcd，gphq；【解析】理由： abef，cdef agechg90 abcd abef egb290 gp平分egb 1egb45 pgh1+2135 同理ghq135， pghghq gphq三、解答