空间几何体的结构及其三视

1、第七章 立 体 几 何第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图1.1.多面体的结构特征多面体的结构特征多面体多面体结结 构构 特特 征征棱棱柱柱棱柱的侧棱都棱柱的侧棱都_且且_，上下底面是，上下底面是_且且_的多边形的多边形棱棱锥锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个_的三角形的三角形棱棱台台棱台可由棱台可由_棱锥底面的平面截棱锥得到，棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是其上下底面是_且且_的多边形的多边形平行平行相等相等平行平行全等全等公共顶点公共顶点平行于平行于平行平行相似相似2.2.旋转体的结构特征旋转体的结构特征旋转体旋转体结结 构构 特特 征征

2、圆柱圆柱圆柱可由圆柱可由_绕其任意一边旋转得到绕其任意一边旋转得到圆锥圆锥圆锥可以由直角三角形绕其圆锥可以由直角三角形绕其_旋转得到旋转得到圆台圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由中点连线旋转得到，也可由_于圆锥底面的平于圆锥底面的平面截圆锥得到面截圆锥得到球球球可以由半圆或圆绕球可以由半圆或圆绕_旋转得到旋转得到矩形矩形直角边直角边平行平行直径直径3.3.三视图三视图(1)(1)名称名称: :几何体的三视图有几何体的三视图有:_:_、_、_._.(2)(2)画法画法: :画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画

3、成虚线；画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线；三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、方、_方、方、_方观察几何体得到的正投影图方观察几何体得到的正投影图. . (3) (3)规则规则: :画法规则：长对正、高平齐、宽相等；画法规则：长对正、高平齐、宽相等；摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的下方摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的下方. .正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图正前正前正左正左正上正上4.4.空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用_

4、画法来画，其规则是：画法来画，其规则是：(1)(1)原图形中原图形中x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴两两垂直，直观图中轴两两垂直，直观图中,x,x轴、轴、yy轴的夹角为轴的夹角为_，zz轴与轴与xx轴和轴和yy轴所在轴所在平面平面_._.(2)(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中_，平行于，平行于x x轴和轴和z z轴的线段长度在直观图中长度轴的线段长度在直观图中长度_，平行，平行于于y y轴的线段长度在直观图中长度为轴的线段长度在直观图中长度为_._.斜二测斜二测4545( (或或135135) )垂直垂直仍平行于坐标仍平行于坐标轴轴原来的一半原

5、来的一半不变不变判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”).”).(1)(1)有两个面平行有两个面平行, ,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. . ( ) ( )(2)(2)有一个面是多边形有一个面是多边形, ,其余各面都是三角形的几何体是棱锥其余各面都是三角形的几何体是棱锥. . ( ) ( )(3)(3)一个棱柱至少有一个棱柱至少有5 5个面个面, ,面数最少的一个棱锥有面数最少的一个棱锥有4 4个顶点个顶点, ,顶点最少的一个棱台有顶点最少的一个棱台有3 3条侧棱条侧棱.( ).( )(4)(4)用斜二测画

6、法画水平放置的用斜二测画法画水平放置的aa时时, ,若若aa的两边分别平行的两边分别平行于于x x轴和轴和y y轴，且轴，且a=90a=90，则在直观图中，则在直观图中,a=45,a=45.( ).( )(5)(5)正方体、球、圆锥各自的三视图中正方体、球、圆锥各自的三视图中, ,三视图均相同三视图均相同.( ).( )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形是平行四边形, ,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行. .如图如图 , ,该几何体并不是棱柱该几何体并

7、不是棱柱. .(2)(2)错误错误. .尽管几何体满足了一个面是多边形尽管几何体满足了一个面是多边形, ,其余各面都是三角其余各面都是三角形形, ,但不能保证三角形具有公共顶点但不能保证三角形具有公共顶点. .(3)(3)正确正确. .面数最少的棱柱为三棱柱面数最少的棱柱为三棱柱, ,有有5 5个面个面; ;面数最少的棱锥为面数最少的棱锥为三棱锥三棱锥, ,有有4 4个顶点个顶点; ;顶点最少的棱台为三棱台顶点最少的棱台为三棱台, ,有有3 3条侧棱条侧棱. .(4)(4)错误错误.a.a应为应为4545或或135135. .(5)(5)错误错误. .正方体的三视图由于正视的方向不同正方体的三

8、视图由于正视的方向不同, ,其三视图的形状其三视图的形状可能不同可能不同, ,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同圆锥的侧视图与俯视图显然不相同. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (4) (3) (4) (5) (5) 1.1.下列结论中正确的是下列结论中正确的是( )( )(a)(a)各个面都是三角形的几何体是三棱锥各个面都是三角形的几何体是三棱锥(b)(b)以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥的曲面所围成的几何体叫圆锥(c)(c)棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能棱锥的

9、侧棱长与底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥是六棱锥(d)(d)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线【解析】【解析】选选d.d.当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故锥，故a a错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故b b错误；错

10、误；以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故c c错误，错误，所以选所以选d.d.2.2.用任意一个平面截一个几何体用任意一个平面截一个几何体, ,各截面都是圆面各截面都是圆面, ,则这个几何则这个几何体一定是体一定是( )( )(a)(a)圆柱圆柱 (b)(b)圆锥圆锥(c)(c)球体球体 (d)(d)圆柱、圆锥、球体的组合体圆柱、圆锥、球体的组合体【解析】【解析】选选c.c.由几何体的结构特征可知由几何体的结构特征可知, ,该几何体一定是球体该几何体一定是球体. . 3.3.一个几何体的正视图和侧视图如图所示一个几何体的正视图和侧视图如图

11、所示, ,则这个几何体的俯则这个几何体的俯视图不可能是视图不可能是( )( )【解析】【解析】选选d.d.该几何体的正视图和侧视图都是正方形该几何体的正视图和侧视图都是正方形,其其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体及底面是等腰直角可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体及底面是等腰直角三角形且其腰长等于棱柱高的直三棱柱三角形且其腰长等于棱柱高的直三棱柱, ,但不可能是一个底面但不可能是一个底面长与宽不相等的长方体长与宽不相等的长方体. .4.4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形示的一个正方形, ,则原来的图

12、形是则原来的图形是( )( )【解析】【解析】选选a.a.由直观图的画法规则可知由直观图的画法规则可知, ,平行于平行于x x轴的线段长度轴的线段长度不变不变, ,平行于平行于y y轴的线段长度减半轴的线段长度减半. .5.5.若一个三棱柱的三视图如图所示若一个三棱柱的三视图如图所示, ,其俯视图为正三角形其俯视图为正三角形, ,则这个三棱柱的高和底面边长分别为则这个三棱柱的高和底面边长分别为_,_._,_.【解析】【解析】由三视图的画法可知由三视图的画法可知, ,该三棱柱的高为该三棱柱的高为2,2,底面正三底面正三角形的高为角形的高为 , ,则底面边长为则底面边长为4.4.答案答案: :2

13、42 42 3考向考向 1 1 空间几何体的结构特征空间几何体的结构特征【典例【典例1 1】(1)(1)给出下列命题给出下列命题: :棱柱的侧棱都相等棱柱的侧棱都相等, ,侧面都是全等的平行四边形侧面都是全等的平行四边形; ;用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥, ,棱锥底面与截面之间的部分是棱台棱锥底面与截面之间的部分是棱台; ;若三棱锥的三条侧棱两两垂直若三棱锥的三条侧棱两两垂直, ,则其三个侧面也两两垂直则其三个侧面也两两垂直; ;若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面若四棱柱有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面, ,则该四棱则该四棱柱为直四棱柱柱为直四棱柱; ;存在每个面都是直角三角

14、形的四面体存在每个面都是直角三角形的四面体; ;棱台的侧棱延长后交于一点棱台的侧棱延长后交于一点. .其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( )( )(a)(a) (b) (b)(c)(c) (d) (d)(2)(2)给出下列命题给出下列命题: :在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点, ,则这两点的连线是则这两点的连线是圆柱的母线圆柱的母线; ;在圆台的上、下底面的圆周上各取一点在圆台的上、下底面的圆周上各取一点, ,则这两点的连线是则这两点的连线是圆台的母线圆台的母线; ;圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.

15、.其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是( )( )(a)(a) (b) (b) (c) (c) (d) (d)【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助常见的根据棱柱、棱锥、棱台的定义或借助常见的几何模型作出判断几何模型作出判断.(2).(2)根据母线的定义和性质作出判断根据母线的定义和性质作出判断. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选c.c.错误错误, ,因为棱柱的侧面不一定是全等的因为棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形平行四边形; ;错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥, ,才能才能得到棱台得到棱台; ;正确正确,

16、,根据面面垂直的判定定理判断根据面面垂直的判定定理判断; ;正确正确, ,因为因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱, ,又垂直于底面又垂直于底面; ;正确正确, ,如图所示如图所示, ,正方体正方体acac1 1中的三中的三棱锥棱锥c c1 1-abc,-abc,四个面都是直角三角形四个面都是直角三角形; ;正确正确, ,由棱台的概念可知由棱台的概念可知. .因此因此, ,正正确命题的序号是确命题的序号是. .(2)(2)选选d.d.根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知根据圆柱、圆台的母线的定义和性质可知, ,只有只有是正是正确的确的, ,所以选所以选d

17、.d.【拓展提升】【拓展提升】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. .(2)(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可的，只要举出一个反例即可.

18、.【变式训练】【变式训练】(1)(1)如果四棱锥的四条侧棱都相等如果四棱锥的四条侧棱都相等, ,就称它为就称它为“等等腰四棱锥腰四棱锥”, ,四条侧棱称为它的腰四条侧棱称为它的腰, ,以下以下4 4个命题中个命题中, ,是假命题的是假命题的是是( )( )(a)(a)等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等(b)(b)等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补(c)(c)等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆(d)(d)等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【解

19、析】【解析】选选b.b.因为因为“等腰四棱锥等腰四棱锥”的四条侧棱都相等的四条侧棱都相等, ,所以它所以它的顶点在底面上的射影到底面的四个顶点的距离相等的顶点在底面上的射影到底面的四个顶点的距离相等, ,故故a,ca,c正正确确, ,且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等, ,故故d d正正确确,b,b不正确不正确, ,如底面是一个等腰梯形时结论就不成立如底面是一个等腰梯形时结论就不成立. .(2)(2)下列命题中，正确的是下列命题中，正确的是( )( )(a)(a)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱(b)(b)侧面都

20、是等腰三角形的棱锥是正棱锥侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥(c)(c)侧面都是矩形的四棱柱是长方体侧面都是矩形的四棱柱是长方体(d)(d)底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱正棱柱【解析】【解析】选选d.d.认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故多边形的形状两方面去分析，故a,ca,c都不准确，都不准确，b b中对等腰三角中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确. .考向考向 2 2 空间几何体的三视图空间几

21、何体的三视图【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013四川高考四川高考) )一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的直观图可以是则该几何体的直观图可以是( () )(2)(2)如图如图, ,在四棱锥在四棱锥p-abcdp-abcd中中, ,底面底面abcdabcd为正方形为正方形,pc,pc与底面垂直与底面垂直. .若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为若该四棱锥的正视图和侧视图都是腰长为1 1的等腰直角三角形的等腰直角三角形, ,则该四棱锥中最长的棱的长度为则该四棱锥中最长的棱的长度为( )( )(a)1 (b) (c) (d)2(a)1 (b) (c)

22、 (d)223【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)结合三视图进行判断结合三视图进行判断, ,特别要注意虚线的标注特别要注意虚线的标注. .(2)(2)根据三视图的画法求出四棱锥根据三视图的画法求出四棱锥p-abcdp-abcd中最长棱的长度中最长棱的长度. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选d.d.根据几何体的三视图中正视图与侧视图根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致一致, ,并且俯视图是两个圆并且俯视图是两个圆, ,可知只有选项可知只有选项d d适合适合, ,故选故选d.d.(2)(2)选选c.c.在四棱锥在四棱锥p-abcdp-abcd中中, ,连接连接ac,ac,由正视图和侧视

23、图可得由正视图和侧视图可得pc=bc=cd=1,pc=bc=cd=1,故故 最长的棱为最长的棱为ac2,22papcac3.【互动探究】【互动探究】若本例题若本例题(2)(2)中的四棱锥中的四棱锥p-abcdp-abcd为正四棱锥为正四棱锥, ,且且正视图和侧视图是边长为正视图和侧视图是边长为1 1的正三角形的正三角形, ,求该四棱锥的侧棱长求该四棱锥的侧棱长. .【解析】【解析】如图如图, ,由条件知由条件知, ,正四棱锥的底边正四棱锥的底边ab=1,ab=1,高高po= .po= .则在正方形则在正方形abcdabcd内内,ob= ab= ,ob= ab= ,故侧棱长故侧棱长 222232

24、22325pbpoob.442【拓展提升】【拓展提升】三视图的画法技巧三视图的画法技巧(1)(1)画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方观察，它的轮廓线是什么，然后再去画图左方和正上方观察，它的轮廓线是什么，然后再去画图. .(2)(2)对于简单几何体的组合体的三视图对于简单几何体的组合体的三视图, ,要确定正视、侧视、俯视的方向要确定正视、侧视、俯视的方向; ;要注意组合体是由哪些几何体组成要注意组合体是由哪些几何体组成, ,弄清楚它们的生成方式；弄清楚它们的生成方式；注意它们的交线的位置注意它们的交线的位置. .【变

25、式备选】【变式备选】(1)(1)已知正三已知正三棱柱的侧棱长与底面边长都棱柱的侧棱长与底面边长都是是2,2,给出以下给出以下a,b,c,da,b,c,d四种四种不同的三视图不同的三视图, ,其中可以正其中可以正确表示这个正三棱柱的三视确表示这个正三棱柱的三视图的有图的有( )( )(a)1(a)1个个 (b)2(b)2个个 (c)3(c)3个个 (d)4(d)4个个【解析】【解析】选选d.d.根据正三棱柱的位置根据正三棱柱的位置, ,以及画三视图的规则以及画三视图的规则, ,容易容易得出得出4 4种不同的三视图都正确种不同的三视图都正确. .(2)(2)一个几何体的正视图和俯视图如图所示一个几

26、何体的正视图和俯视图如图所示, ,则其侧视图的面则其侧视图的面积为积为( )( )(a)7 (b) (c)6 (d)(a)7 (b) (c)6 (d)132152【解析】【解析】选选b.b.由分析可知其侧视图由分析可知其侧视图如图所示如图所示, ,其上面是一个两直角边其上面是一个两直角边均为均为1 1的直角三角形的直角三角形, ,则侧视图的面则侧视图的面积为积为1132 31 1.22 考向考向 3 3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图【典例【典例3 3】(1)(1)如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图它的直观图. .(2)(2)如

27、图所示，如图所示，abcabc是是abcabc的直观图，且的直观图，且abcabc是边长为是边长为a a的正三角形的正三角形, ,求求abcabc的面积的面积. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)先由三视图确定几何体的结构，然后画出直先由三视图确定几何体的结构，然后画出直观图观图. .(2)(2)根据斜二测画法，作出根据斜二测画法，作出abcabc的边的边abab上的高在平面直观图中上的高在平面直观图中所对应的线段，并用平面几何的知识求其长度即可求得原所对应的线段，并用平面几何的知识求其长度即可求得原abcabc的面积的面积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)该几何体类似棱台，先画底

28、面矩形，中心该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后画上底面矩形，连线即成轴，然后画上底面矩形，连线即成. .画法：如图，先画轴，依次画画法：如图，先画轴，依次画x,y,zx,y,z轴，三轴相交于轴，三轴相交于点点oo，使，使xoy=45xoy=45，xoz=90 xoz=90. .在在zz轴轴上取上取oo=8 cm,oo=8 cm,再画再画x,yx,y轴轴. .在坐标系在坐标系xoyxoy中作直观图中作直观图abcdabcd，使得使得ad=20 cmad=20 cm，ab=8 cmab=8 cm；在坐标系；在坐标系xoyxoy中作直观图中作直观图a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1，使，使得得a a1 1d d1 1=12 cm=12 cm，a a1 1b b1 1=4 cm.=4 cm.连接连接aaaa1 1,bb,bb1 1,cc,cc1 1,dd,dd1 1，即得到所求直观图，即得到所求直观图. .(2)(2)如图所示，如图所示，abcabc是边长为是边长为a a的正三角形，的正三角形，作作cdabcdab交交yy轴于点轴于点dd，则，则dd到到xx轴的轴的距离为距离为 ，dab=45dab=45，ad=ad=3a26a2，由斜二测画法的法则知，由斜二测画法的法则知，在在abcabc中，中，ab=ab=aab=ab=a，ab