近世代数---2011版新大纲

1、近世代数课程教学大纲一、课程基本信息课程名称近世代数（中文）课程名称Abstruct Algebra课程类型专业必修课（英文）学 分4总学时68适用对象（数学与应用数学专业、2年级等）考核方式（闭卷笔试，平时成绩占总成绩的百分比30%-40%）先修课程高等代数二、课程简介近世代数也常称为抽象代数。近世代数研究各种代数运算系统的运算性质，并用来解决代数学及其它数学、科学以及工程技术中的问题的一门学科。本课程是介绍近世代数中三个基本的代数运算系统：群、环、域，介绍它们的运算性质及一些应用。三、课程目标本课程是数学与应用数学专业四年制本科生必修课。通过本课程的学习，除使学生掌握群、环、域的基础知识外

2、，更力图强调掌握近世代数中的思想和方法。锻炼学生的抽象的严格化的代数方法，提高学生的抽象思维、逻辑推理以及运算的能力，为进一步学习代数后继课程打下良好的基础，同时为研究其它数学、物理学、通讯和计算机科学等领域提供不可缺少的代数知识。四、教学内容及要求第一章基本概念1、教学内容（ 1） 集合及其运算（ 2） 卡氏积；二元关系；映射及映射的合成；单射、满射、可逆映射；映射可逆的充分且必要条件。（ 3） 等价关系及其性质；元素的分类与等价类；映射与集合的分类的关系。2、教学要求（ 1） 正确理解集合以及有关的概念，这些概念之间的关系，掌握集合的运算和运算性质。（ 2） 正确理解映射、映射的合成以及各

3、种特殊类型的映射的概念，掌握它们的性质以- 1 -及它们之间的关系。（ 3） 正确理解二元关系、等价关系、等价类等概念，掌握利用等价关系对集合的元素进行分类的基本方法。第二章 群论1、教学内容（ 1） 二元运算、半群、单位元、可逆元及其性质。（ 2） 群的定义及其性质；交换群、有限群；元素的周期；群的阶。（ 3） 循环群的定义及其性质；同构映射及其性质。（ 4） 变换群、置换群的定义及其性质。子群、子群的陪集的定义及其性质。（ 5） 不变子群的定义及性质；商群；不变子群与商群的关系。（ 6） 群的同态的定义及性质；同态基本定理。2、教学要求（ 1） 正确理解半群、群、子群、不变子群、子群的陪集

4、、商群等概念及基本质。（ 2） 熟悉几种类型的群：循环群、变换群、置换群等。（ 3） 熟悉子群、不变子群、子群的陪集、商群等之间的关系。（ 4） 熟悉群的同构、同态概念及其性质以及它们对群的分类的作用。第三章环与域1、教学内容（ 1） 环的定义及性质：交换环、整环、除环、域。（ 2） 子环、理想、商环的定义、性质及它们之间的关系；环的同构；环的同态及同态基本定理。（ 3） 剩余类环，一元多项式环。（ 4） 最大理想与素理想。（ 5） 商域的定义及性质。2、教学要求（ 1） 熟悉环和域的概念及性质。（ 2） 熟悉几种类型的环：整环、除环、域等。（ 3） 熟悉环的子环、理想、商环等概念及其基本性质

5、以及它们之间的关系。（ 4） 熟悉几种具体的环：多项式环、剩余类环等。（ 5） 熟悉环的同构、同态等概念及其基本性质，了解环的同态基本定理及其用。第四章 整环里的因子分解1、教学内容（ 1） 整环里的几个概念：整除、单位、相伴元、真因子素元、唯一分解。（ 2） 唯一分解环的定义及其基本性质。（ 3） 主理想环的定义及基本性质。（ 4） 欧氏环的定义及其基本性质。（ 5） 多项式的因子分解。（ 6） 因子分解与多项式的根。2、教学要求（ 1） 熟悉素元、唯一分解等概念；熟悉唯一分解环、主理想环、欧氏环等及它们之间的关系。- 2 -（ 2） 了解多项式环的因子分解，因子分解与多项式的根。五、课时分

6、配表序号近世代数课时分配小计理论实践其他1第一章 基本概念6282第二章 群论206263第三章 环与域164204第四章整环里的因子分解10414总课时68521668六、教材及参考书 （小标题：黑体/小四，正文内容：宋体/小四）教材：1近世代数基础（高等教育出版社， 2008 年出版，张禾瑞著）参考书：1. 近世代数 （高等教育出版社， 1979 年出版，吴品三编）2. 近世代数基础 ( 高等教育出版社， 1998 年出版 , 刘绍学编 )3. 近世代数引论 ( 中国科学技术大学出版社， 2002 年出版，冯克勤等 ) 4近世代数初步 ( 高等教育出版社， 2002 年出版，石生明编 )七、教学策略与方法的建议在实际教学中， 可灵活机动地穿插该课程在现代科学技术中的一些经典和最新应用。例如：群在组合计数和现代物理学中