概率论与数理统计复习

1、1、随机事件的表示，由简单事件的运算表达复杂事件；2、概率的运算性质，如加法公式，减法公式，乘法公式等；3、条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式；4、事件独立性定义 例. 试用a、b、c 表示下列事件： a 出现； 仅 a 出现； 恰有一个出现； 至少有一个出现； 至多有一个出现； 都不出现； 不都出现； 至少有两个出现； abcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabcabacbca)()()()(abpbpapbap)()()()()(,bpapbpapbapba独立若)()()(,bpapbapba不相容若)()()(abpapbap加法公式加法公式减法公式减法公

2、式 例、p(a)=0.4，p(b)=0.3，p(ab)=0.6， 求 p(ab). )()()()()(0)(,)()()(apabpbpbapabpbpbpabpbapiniiniibbbbbpbpbapap两两不相容，且全概率公式, 0)(),()()(211niiiiiibpbapbpbapabp1)()()()()(贝叶斯公式条件概率条件概率乘法公式乘法公式111anbna bn ma bn m1、会由随机变量的已知分布律或密度函数求出其分布函数；2、六种重要分布的分布律和密度函数；3、有关正态分布的概率计算；4、会求随机变量函数的分布；xxxidxxfxxpxxpxfi)()()()

3、()()( )( )( )ibixabap xxp axbf bf af x dx一、分布函数、分布律、密度函数、概率之间关系一、分布函数、分布律、密度函数、概率之间关系例x 0 1 2p 1/3 1/6 1/2求 x 的分布函数.0, 01/3, 01( )1/2, 121, 2 xxf xxx解：例设 x 1,10( ) 1, 01 0, xxf xxx 其 它求 f(x).220,11,1022( )1,01221,1 xxxxf xxxxx解：离散型随机变量离散型随机变量：（0-1）分布）分布： px=1=p, px=0=1-p 二项分布二项分布：x b (n，p)：()(1),0,1

4、,kkn knp xkc ppkn泊松分布泊松分布:x p () ：, (0)0,1,2,!kep xkkk二、几种重要分布二、几种重要分布连续型随机变量：连续型随机变量：均匀分布：均匀分布：xu(a,b),1,( )0,a x bf xb a el s e,0( )0 xexf x，else，指数分布：指数分布：xexp()22()21( ),2xf xexr正态分布：正态分布：xn( , 2)标准正态分布：标准正态分布：221( )d ,2txxetx一般正态分布的标准化定理 设 x n(, 2),xy则 y n(0, 1).结论: 若 x n(, 2), 则( )xf x 设 x n(1

5、0, 4), 求 p(10x13), p(|x10|2).解: p(10x13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5p(|x10|2) = p(8x0, 令则有 e(y)=0, var(y)=1.()var()xe xxy称 y 为 x 的标准化.常见常见 分布分布 的数学期望和方差的数学期望和方差分布期望参数为p 的 0-1分布pb(n,p)npp()方差p(1p)np(1p)分布期望区间(a,b)上的均匀分布2ba exp()1n(, 2)12)(2ab 方差212 第4章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1、二维随机变量联合分布律和联合密度函数的基本性质；2、由联合分布

6、律或联合密度函数计算有关二维随机变量的某个概率；3、由联合分布求边缘分布；会判断两个随机变量的独立性；4、两个随机变量和及最大值最小值的分布计算公式；5、协方差，相关系数公式；gyxjigyxdxdyyxfyyxxpgyxpji),(),(),(),(),(一、联合分布函数（分布律，密度函数）、概率一、联合分布函数（分布律，密度函数）、概率若 (x, y) (23 )6,0, 0( , )0,xyexyf x y其 它试求 p(x, y)d, 其中d为 2x+3y6.dxyxfyfdyyxfxfyx),()(,),()(二、边际分布与独立性二、边际分布与独立性)()(),(,)()(),(,y

7、fxfyxfyxyypxxpyyxxpyxyxyxjijiji对任意对任意相互独立，当且仅当与已知 (x, y) 的联合密度为 ,0, 0;( , )0 ,.xyexyf x y 其 他问 x 与y 是否独立？()0d0( )00 x yxeyexf xx, 0( ) 0,0yeyf yy所以x 与y 独立。注意：f(x, y) 可分离变量.解: 边缘密度函数分别为:221212, , , , 则 x n ( )，211, y n ( ).222, 2、二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.3、 若 (x, y) 服从二元正态 n ( ) 则 x与y 独立的充要条件是 = 0.22121

8、2, , , , 设连续随机变量x与y 独立， 则 z=x+ y 的密度函数为( )( )()d =()( )dzxyxyfzfx fzxxfzy fyy三、两个随机变量和的分布的计算dyyyzfzfdxxzxfzfzz),()(),()(或设离散随机变量 x 与 y 独立，则 z=x+ y 的分布列为11)()() ()()( = liliiljjjp xxp yzxp xzyp yyp zz若 x b(n1, p)，y b(n2, p)，注意：若 xi b(1, p)，且独立，则 z = x1 + x2 + + xn b(n, p).且独立，则 z = x+ y b(n1+n2, p).若

9、 x p(1) ，y p(2)，且独立，则 z = x+ y p(1+2).若 x n( )，y n( ) ，注意： x y 不服从 n( ).211, 222, 则 z = x y n( ).221212, 221212, x y n( ).221212, xi n(i, i2), i =1, 2, . n. 且 xi 间相互独立, 实数 a1, a2, ., an 不全为零, 则22111 , iiinniiiniiiaaa xn( ,) (,) ( , )( , ) ( , )ijijijg x y p xx yye g x yg x y f x y dxdy 四、多维随机变量的特征数四

10、、多维随机变量的特征数()() ( ),()()( )2(, )()( )e xye x e yvar xyvar xvar ycov x yvar xvar y独立独立,( , )( )( )()( ) ( )( , )( )( )x ycov x ye xe xye ye xye x e ycov x yvar x var y 第五章 大数定律和中心极限定理1、掌握chebyshev不等式，2、知道大数定律的基本结论，3、会用中心极限定理求概率的近似值。定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）设设x1,x2, 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且e(xi)= d(xi)= ，i=1,2,，则，则2 分布近似服从) 1 , 0(21nnnxyniin定理定理2( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）n分布近似服从) 1 , 0()1 (npnpnpynn都是两点分布。每个iniinxx ,1已知某种疾病的发病率为已知某种疾