概率论与数理统计复习框架

1、x x -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 p(p(x=xx=xk k) ) a a 3a 3a 1/8 1/8 a a 2a 2a 袋中有两只白球三只黑袋中有两只白球三只黑球，有放回摸球两次，定义球，有放回摸球两次，定义x x为第一次摸得的白球数，为第一次摸得的白球数，y y为为第二次摸得的白球数，则第二次摸得的白球数，则( (x x, ,y y) )的联合分布列为的联合分布列为 例例xy010125925625625453525253y y的边缘分布列的边缘分布列x x的边的边缘分缘分布列布列xp015352所以所以x x 和和y y 的边缘分布列分别的边缘分布列分别为为yp0

2、1535226,( ,)0,.( ).xxyxyxfx yfx设 随 机 变 量和具 有 联 合 概 率 密 度其 他求 边 缘 概 率 密 度解yyxfxfxd),()( ,10时时当当 xyyxfxfxd),()( xxy2d6xy 2xy oxy)1 , 1().(62xx ,10时时或或当当 xx. 0d),()( yyxfxfx ., 0, 10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfxxy 2xy oxy)1 , 1(例例设设( (x, ,y ) )的联合分布律为的联合分布律为 且且x与与y 相互独立，试求相互独立，试求 和和 . . 1xy1 9131 23218191, 3

3、13, 1 ypxpyxp)91181)(18191(181 .61 又由分布列的性质又由分布列的性质, 有有1913118191 187 .92 解解 由由x与与y 相互独立，知相互独立，知解解例例设设( (x, ,y ) )的联合密度函数为的联合密度函数为 问问 x与与y是否相互独立？是否相互独立？ x, y的边缘密度分别为的边缘密度分别为,010)1(4d8)(21 其其他他xxxyxyxfxx，因为因为)()(),(yfxfyxfyx 所以所以 x, y 不相互独立不相互独立. .,010,08),( 其其他他yyxxyyxf,0104d8)(30 其其他他yyxxyyfyyxy011

4、的分布律为：的分布律为：设离散型随机变量设离散型随机变量 xxkp2101 1 . 04 . 03 . 02 . 0).(xe求：求：4 . 01 . 024 . 013 . 002 . 0)1()( xe求求)13( xe, ,2ex. . 41) 13() 13(iiipxxe 4122iiipxex.14 . 043 . 012 . 021 . 05 .14 . 013 . 002 . 011 . 04 .8 . 0)(e)(e yx.8 . 0)(e)(e yx，6 . 11 . 091 . 043 . 015 . 00)(e2 x,8 . 11 . 092 . 041 . 016 .

5、 00)(e2 y.96. 08 . 06 . 1)(e)(e)(d222 xxx.16. 18 . 08 . 1)(e)(e)(d222 yyy0xy1012.00.30.50cov(,).x y求求协协方方差差e0.5x e()xy0 0 0.20 1 0.3 1 0 0.5 1 1 00 0.50.5e( )0.3y 0.70.3)(e)(e)(e),(covyxxyyx 0.15 具有分布列为：设二维随机变量),(yxxy101 10310310310例例: : 设电站供电网有设电站供电网有1000010000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯概盏电灯，夜晚每一盏灯开灯概率都是率都是0.60.6，而假定各盏灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着，而假定各盏灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着的灯数在的灯数在58005800至至62006200之间的概率的近似值之间的概率的近似值 （ ）（ ）6000 ,2400 ,e xd x 10000,0.