专升本微积分综合训练题PPT课件

1、12, 0, 111),1arcsin()(,1 , 1arcsinsin)(:22 xxxxxxxxf即应满足故而的定义域为的反函数由于分析 _)(30, 903,)()2(122 xfxxxxxf的反函数函数)09( ,99, 0930)2()90( , 9003)1(.,:22 yyxxyyxyyxxyyxyx由由最后用分段形式表示的取值范围围确定相应的取值范并要由求分段函数的反函数分段分析 09,990 ,09,990,xxxxyyyyyx即从而第1页/共120页2)()( ;)( ;)( ;)()()(,)(,)()3(ADCBAxgfxgxf按定义不难判定为以上都不对非奇非偶函数奇

2、函数偶函数是则是奇函数是偶函数设不增不减函数有增有减函数单调减少函数单调增加函数则少函数调减内分别是单调增加和单在与)(;)()(;)()(,),()()()4(DCBABxgfxgxf_)10(,2 , 1)43()5(的定义域为则的定义域为已知xfxf 10, 1)10(1010101,10, 1)(101243121:的定义域为即由的定义域为即由分析xxfxxfxxx 第2页/共120页3_)(,)1()(2)()6(2 xfxxfxfxf则满足方程若函数)12(31)()1()1(2)()1()(2,)1()1(2)(,)1()()1(21:,:22222 xxxfxxfxfxxfxf

3、xxfxfttftftx程组解方即得令先换元函数给出的条件中出现复合分析332)( ;32)( ;2)( ;3)()()(, 3)(lim, 12)(lim,)()7(2323232023 xxxDxxxCxxBxxAxfxxfxxxfxfxx则且为多项式设)(, 0)(lim3)(lim()22)(12)(lim:002323Cxfxxfxxxfxxxfxxx满足上述条件的只有由由分析 第3页/共120页4173)3(,20)()()(:_3,210)8( 于是分析时的需求价格弹性为则某商品需求函为pppQppQppp)()();()();()();()()()()(lim,)()9(000

4、00000 xfbDxfaCxfbaBxfbaAhbhxfahxfxxxfh 则可导在点设函数成立故分析)(),()()()()(lim)()()(lim:0000000Bxfbahbabhxfahxfbahbhxfahxfhh )(,00, 00,1sin)()10(则处连续但不可导在已知函数 xxxxxxfa第4页/共120页5), 0)0()(2)(; 10)(; 1)(; 0)(BfaDaCaBaA应选利用 无法判断且可导且可导不可导处则在点且的某邻域内连续在已知函数)(; 0)0(,)(; 0)0(,)(;)()()(0, 2)()(lim, 1)(lim,0)(),()11(200

5、DfCfBAxfxxgxfxxgxxgxfxx 0)0()(lim, 0)0()(lim2)()(lim1)(lim:00200 fxfgxgxgxfxxgxxxx分析第5页/共120页622)1()()(lim)()()(lim)()()(lim02020 xgxxfxgxgxxfxgxfxxgxxx00)0()(lim0)(lim, 2)(0)0()(lim000 xfxfxgxgxfxfxxx必有)(, 0)0(Bf应选即 0)(lim)(lim)( ; 0)(lim0)(lim)(0)(lim)(lim)( ; 0)(lim0)(lim)()(,), 0()()12(0000 xfxf

6、DxfxfCxfxfBxfxfAxfyxxxxxxxx存在由由存在由由则内有界在设第6页/共120页7)(.)()(lim,2cos1sin1)(0)(lim,), 0()(,sin1)();(),(, 01coslim, 0sinlim,cos)(,sin)(.:22200BAxgxxxxxxgxfxgxxxgDCxxxxfxxfxxxx应选不正确不存在有界在显然取从而排除有取答案通过举反例来确定正确分析 . 0)(, 0)()(; 0)(, 0)()(; 0)(, 0)()(; 0)(, 0)()()(), 0()(, 0)(, 0)()0 ,(),(),()()13( xfxfDxfxf

7、CxfxfBxfxfAxfxfxfxfxf内有在则内有在若第7页/共120页8)(, 0)(, 0)(.)(,)(0)(, 0)(;,)()()(:Cxfxfxxfxxfxfxfyxfxfxf应选而有从轴的右方是下降下凹的的图形在根据对称性知轴左方且上升下凹的图形在知由轴图形对称是偶函数知由分析 5 , 0,5, 15, 1)(;1 , 0,)(2 , 0,)1(1)(;3 , 2, 65)()()14(322 xxxyDxeyCxyBxxyAx满足罗尔定理条件的是下列函数在给定区间上.)();1()0()( ;)()(, 0)3()2(,),(:不可导不连续因此选且显然连续可导对于分析Dff

8、CBAffA 第8页/共120页9不增不减有增有减单调减少单调增加内在区间函数)( ;)( ;)( ;)()()1 , 1(1)()15(2DCBAxxxf )(,)1 , 1()(,)1 , 1()(,)1()2()(.:2Cxfxfxxxxf应选内有增有减在故有正有负内在显然利用一阶导数判定分析 ),(),)()()()();,(),)()()()();,(),)()()()();,(),)()()()()(,),(,),()()16(2222112121112121xaaxfafxfDxxxxfxfxfCbxxbfxfbfBbaabfafbfAxxbaxxbaxf 使则至少存在一点且任意

9、两点内是区间和内可导在区间若函数第9页/共120页10成立从而条件满足拉格朗日中值定理内连续可导则在其任一子区间在开区间内可导若函数分析)(,)(:Cxf _, 1, ,5100)17(取值范围是则商品价格的对值大于如果商品需求弹性的绝求量和价格分别表示需其中设商品的需求函数为PQPQ 20,10(,20, 05100)(,2010,20, 1510051510051|51005|1|51005| )(| ,51005)()()(, 5)(5100:围是所以商品价格的取值范得最高价格为根据或解得或由题设由由分析 pppQppppppppppppppQppQppQpQ 第10页/共120页11_

10、)(ln,)()18( dxxxfexfx则若cxxeexfexfcxfxdxfdxxxfxxx 1,1)(ln)()(ln)(ln)(ln)(ln:1lnln所以原式由分析43)(;34)(;23)(;32)()(,2cosln322tan)()19(DCBAkxxkxf 则的一个原函数是设)(,34,2tan342tan2tan34)2(2cos2sin32)2cosln32()(:Ckxxkxxxxxf应选即由分析 第11页/共120页12_)(, 0)1(,)(1)()20( xffxfxf则且的弹性函数为函数|ln)(, 00)1(,|ln1)(1)(1)(,)(1)()(,)()(

11、:xxfcfcxdxxxfxxfxfxxfxfxxfxfxxfExEy 所以得由从而知由分析.)(,)()(;)(,)()(;)(,)()(;)(,)()()(,)()(,)()21(必为单调增加函数是单调增加函数时当必为周期函数是周期函数时当必为奇函数是偶函数时当必为偶函数是奇函数时当则的原函数是是连续函数设xFxfDxFxfCxFxfBxFxfAxfxFxf第12页/共120页13 xdttfxFxf0)()()(:的原函数通常表为连续函数分析.,),(,)(),()()()(,0:,0:,)()(:)(00说明其不成立其它可举反例应选是偶函数于是令对于AxFxFduufduufxFxux

12、tdudtutdttfxFAxaxx _)(,)(11)()22(101032 dxxfdxxfxxxf则设函数3)()(414)(arctan)(11)()(:101010310101010310210 dxxfdxxfdxxdxxfxdxxfxdxxdxxf两边积分得性利用定积分为常数的特分析第13页/共120页14 _)(1,arcsin)()23(dxxfcxdxxxf则设cxdxxxdxxfxxxfcxdxxxf 23222)1(311)(111)(,arcsin)(:得两边求导对分析)()(;)(;)(;)()(),(),()24(00正确连续的关系的结论偏导数存在直接利用可微有连

13、续的偏导数偏导数存在连续有极限该点处数在处可微的充分条件是函在点函数D，、DCBAyxyxfz )()4, 0()4, 0(lim,sinsin),()25(022 yfyfyxyxfy 则设第14页/共120页1521)(;214)(; 0)(;21)(DCBA )(,21)4, 0(,sinsin2cossin2),()4, 0()4, 0()4, 0(lim:220Dfyxyyyxffyfyfyyyy应选而分析 )1(21,:_)26(42020020220222222 edyyedxedydyedxedyedxyyyxyyxy故积分的次序所以要改换二次的原函数不是初等函数由于被积函数分

14、析第15页/共120页16)1,2:(_)1(1)27(202的半园面积它等于半径为利用定积分几何意义答 dxx_)(, 5)(, 3)()28(215251 dxxfdxxfdxxf则设253)()()()()(:5251255121 dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf分析_23,211)29(22上的平均值为在区间函数xxy 1213121231:232122 dxxxy分析第16页/共120页17_, 41)30(22 DdxdyyxD则为若D120 34:,:22rRSDD的面积为园环为区域如图分析第17页/共120页18二、计算题计算题在选拔考试中占了相当比重,如果计算过关了,

15、也就胜算在握.考生要熟练掌握基本运算的方法与技巧.具体有以下几个方面:利用变量代换求极限极限利用等价无穷小代替求利用罗比塔法则求极限利用重要极限求极限未定式的极限无理式的极限有理分式的极限)4( ;)3(;)2( ;)1(),1 ,0 ,0 ,00,(. 3);,(. 2);,(. 100 nxnx求极限01第18页/共120页19224111314lim34lim)3(lim. 1 nnnnnnnnnnnnnnn同除有理化1211lim)21()1(lim)1(lim)1(1lim. 2220220020020222222 xxxeexxedtetdtetxxxxxxxtxxtxx第19页/

16、共120页20),()1()(lim.13为常数其中knnCknkknn ekeknnnknnnnknnnknnnnknnkknnnnkkknnkknknkknkn!11!)1()1()11()21)(11(lim!)1()1()1()2)(1(lim!)1()(!)1()2)(1(lim:)(原式解第20页/共120页216sin6limsin6310sin200)31(lim)31(lim. 4eexxxxxxxxxxx 1lim1ln)1(lnlim)00(ln1limln1lim. 501lnlimln0ln0ln000 eeexxexxexxxxxxxxxxxxxxxxx)00(11

17、sin1lim. 620 xxexx)1, 0(sin14cossinlim2sin12cossinlim:)( 12200 xxxxexxxxxxxxexxxxx其中原式罗比塔法则解第21页/共120页22)1cos. 1sin, 0(21sin141limsin141limsin14coslimsin14sinlim0000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx其中212sinlim2sinlim:)(2020 xxxxxxx原式等价无穷小代替解21lim1sinlim211sin11)1(sinlim:32200022 xxexxxxexxxxxxx有理化原式解第22页/共120页

18、232321coslim2321coslim2sin3lim21cossin3lim)00()1ln()cos1(1cossin3lim. 702002020 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)1ln(; 2cos1 ,0(xxxx 时其中eeeeeeexexexxxxxxxxxxxxexeexxexexxxexxexxexxxxx 11lim)1ln(lim)1ln(10lim1010000lim:;)1(lim)1()1(lim. 8原式或用罗比塔法则第23页/共120页24311131)3(sin)6cos(lim31)3(csc3)6cos(lim)00(3cot)6sin(

19、lim3tan)6sin(lim. 92262666 xxxxxxxxxxxx 3133cos3sin3sinlim3cotsinlim)32tan(sinlim0,6,6,6:)(2000 ttttttttttxtxtxttt 原式令重要极限解第24页/共120页25xxxxxffxxfxf100)(1 lim4)0(, 0)(lim,)(.10 求且具有二阶连续导数设函数2)(lim)()(010002000202)(1lim)(1 lim2)(lim212)(lim)00()(lim,0)(,)(, 0)(lim0)(lim:eexxfxxfxfxxfxxfxfxfxfxxfxxfxxf

20、xfxxxxxxxxxx 于是由此所以有连续二阶导数因由解第25页/共120页26求各类一元函数的导数02重点会求复合函数和隐函数的一阶、二阶导数yxeyx 求设,1sin. 11tan)1sec1tan1(cos1)1(1cos1sin)1(1sec:1tan221tan221tanxxxexxxexxxeyxxx 解 xdttxdxd02)sin(. 2)( :元又有上限变量必须先换被积函数中既有积变量解第26页/共120页27 xxxduudxdduudxdutx02202sinsinsin原式0,2)(. 3 xxydyyxxfy求所确定由方程设函数dxdyyyxyyxyxxxy)12

21、(ln,12ln1,0,1)(2ln2:0 即并代入上式得时当由原方程知求导两边同时对解dyfexfyxf求可微其中设,)(ln. 4)( dxxfxfxfxedyxfxfxfxexfexfexxfyxfxfxfxf)(ln)()(ln1)(ln)()(ln1)()(ln1)(ln:)()()()( 解第27页/共120页28处的切线斜率在点求曲线且满足条件可导设函数)1(, 1()(, 12)1()1(lim,)(. 50fxfyxxffxfx 2222)1()1(lim)1()1(lim)1(12)1()1(lim:000 kxxffxfxffxxffxxx斜率由解yxxxxy 求设,1)

22、2(arcsin3. 6223xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyarcsin912223arcsin91)2()1(23arcsin9122)2(1213arcsin9)1)(2(1)2()(arcsin3arcsin)3(:22333222232222232222233 解第28页/共120页29)(,112ln2sin3)(. 7xffxxxxfx 求设)1)(12(23)2cos22sin3(ln3)11122(212cos232sin3ln3 )1ln()12ln(21)2(sin32sin)3()(: xxxxxxxxxxxxxfxxxxx解yx

23、xxyx 求设,)1(1. 83232232)1ln(2)1ln(31ln)1(1)1(33)1(ln)1211(31)1(1)1(ln)(:xxxxxxxxxxxxeeyxxxxxx 解第29页/共120页300,11)sin(. 9 xyxyxyy求所确定的函数是由方程设2, 0111,1, 00)(1)()cos(:, 1, 111010sin:,0:020 xxyyyxxyyyxyxyxyyyx得代入将得求导方程两边对即得代入函数时当解第30页/共120页31可导问题中常数的确定连续极限、03的值确定已知baxbaxfx,)(),;(lim. 1)( 运算依据: mnmnmnbabxb

24、xbaxaxammmnnnx, 0,lim00110110babaxxxx,),1(lim).1(2求 第31页/共120页3221, 1021010)21()1(lim1111)21()1(lim11)21()1(lim:222222222 baabaaabxaxbaxxxbabxaxbaxxxbxabxaxxx同除有理化原式解的值确定已知bacxbaxfx,)(),;(lim. 20)( 第32页/共120页33运算依据:0),;(, 0)()30),;(, 0)()20),;(, 0)()1 baxfxbaxfxbaxfxxx则若则若则若 的值求若baxbaxxx, 51lim).2(2

25、1 6, 75)2(15)1()(lim0)(lim:2121 baabaxbaxxbaxxxx由解的值求已知babxaxxx, 0)3sin(lim).3(230 )29, 3:( ba答第33页/共120页34 )(lim)(lim)()(lim)()(lim:,. 30000000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxx则有下列式子成立处连续设在点连续问题中常数的确定处连续在点为何值时00,cossin0, 40,)cos1()(,)4(022 xxxdxtxBxxxxAxfBAx第34页/共120页358, 34)0(24)0(1,0)(1)coscos(limcossinlim)

26、(lim2)cos1(lim)(lim:200200200 ABfAfBxxfBxxBxdttxBxfAxxAxfxxxxxx解得有处连续在由解处连续在为何值时问设0)(,0,2sin0,)()5(2 xxfaxxxxeaxfx)1:( a答第35页/共120页36可导问题中常数的确定. 4运算依据: )()()()(lim)(lim:,)(000000 xfxfxfxfxfxxxfxxxx则下列等式成立处可导在点设)(,),()2;),()10,0, 00,)(,).6(2xfxcbxxxaxxfcba 并求内可导在内连续在函数为何值时问第36页/共120页37因而有足连续这一条件须满内可导

27、的必要条件是必在为任意实数解,),()()2.0, 0)0()(lim)(lim0)0()(lim)(lim)1:00200 xfbcafcbxxffaaxxfxxxx 0,0, 00,)(2xbxxxxxfb现确定常数第37页/共120页38 0, 00,2)(, 0),0()0(,0)(,lim)0()(lim)0(, 0lim)0()(lim)0(00200 xxxxfbffxxfbxbxxfxffxxxfxffxxxx此时即必须处可导在若由处可导在使求设2)(,2,2,)()7( xxfbaxbaxxexfx),.2,(22ebeax 处可导必左右导数相等在可导必连续第38页/共120

28、页39讨论函数的性态05 利用导数讨论函数的增减极值,凹向拐点以及渐近线,函数作图问题.增减极值的用一阶导数,凹向拐点的用二阶导数.填写下表对函数21)1(xxy 第39页/共120页40单调减少区间单调增加区间极值点极值上凹区间下凹区间拐点渐近线), 0(),2,( )0 , 2( 2 41 ), 0(),0 , 3( )3,( )92,3( 00 yx和第40页/共120页41并填写下表的图形作函数,1)2(2xxy 解:2113.第41页/共120页42单调增加区间单调增加区间单调减少区间调减少区间极值点极值点极值极值上凹区间上凹区间下凹区间下凹区间拐点拐点渐近线渐近线)1 , 0(),

29、 1( 1 x21),3( )3, 0()43,3(0 y第42页/共120页43定积分的计算不定积分、06cxxdxdxxxxcxxdxdxxx 221)(arctan)(arctanarctan2)1(arctan)2(ln12)ln1()ln1(ln11)1(cxxxxxxxdxdxx 4ln22)1(ln21ln)1()3(222)1arctan2,1( ;1)2()4(cxtxxxdx 原式令第43页/共120页44cxxcxxxxxdxxxxdxdxxx ln11ln1)1(ln1)1(ln1)1()1(ln1ln)5(2 cxxdxxxdxxxdx22arcsin)2(44)4(

30、)6(22cxcttdtxxdxtxcxxxdxxdx 2arcsin22arcsin242)4(,:32arcsin2)(22)4(:2222则令解解第44页/共120页45)2)3()3(81368(23arctan4)136ln(211368136)136(211365)7(22222222 xxdxxdxcxxxxxdxxxxxddxxxx其中 xedxxexedxxexdedxxedxxexedxxxexxxxxxxxx1111111)1(1()1()8(22cxxxttdtdtdttttdttttdttxxxdx 22222111coscoscoscossin1sin1cos)si

31、n1(cossin1)1()9(令第45页/共120页46)(),0(1)()10(2xfxxxf求设 cxxfcttftxtxcxxfcxxfxdxfcxdxxfxxfx 2)(,2)(,2)()(212)(,)(,1)(:2222222即令即得两边积分由解)(6)0()()11(xffxexfx的函数且求满足 7,6)0(,)(: cfcexexdedxxexfxxxx得代入将两边积分解7)( xxexexf第46页/共120页47ceedeedeeedxeexxxxxxxxx )1ln()111(11)12(2) )1ln(,:( xxxedete或用分部积分法原式本题也可用换元法令注3

32、5211111)13(21230 tdttttxdxxx令)3121(2sincoscos1tan1tan1tan11)14(342234223122 dtttdtttttxdxxx令第47页/共120页4821)( 2121)15(2101021021032222 dxeexdexdxexxxxx分部积分432ln11312132)16(102102102 xxdxxxdxxx 1131)17(dxx求广义积分)()11(lim)11(lim21lim21lim21limlim.10,1 , 1:22021012012013013001103332122112211发散原式的瑕点为上在解 x

33、xdxxdxxdxxdxxxx第48页/共120页498)42(212)2(arctan212)2(84)18(002202 xxdxxxdx14)20(21sin)sin(cos)()()()(,sincos)sin()(:)(,sin)()19(22222222 xxxxxdxxfxxfxxdfdxxfxxxxxxxxfdxxfxxxxf解求有一个原函数设第49页/共120页50分元函数的偏导数与全微三求二)(70会求一般函数的一阶二阶偏导数,全微分;会求复合函数(含抽象的复合函数)一阶偏导数与全微分,会求隐函数的一阶偏导数与全微分,二阶偏导数及偏导数值.dzyxzxy求,)1( )ln(

34、ln:1yxyyxyyxyyxxzxyxyxy 解)(ln)ln()(lnln1dyyxxdxyxyyxdyyzdxxzdzyxxyxxyxyxxyzxyxyxyxy 第50页/共120页51的二阶偏导数求yxzsin)2(2 yxxyzyxyxzyxyzyxzyxyzxxxzcos2;cos2,sinsin2.cos;sin2:22222222 答yzxzyxvyxuuvz ,3),sin(,)3(22求设)cot()3(23)sin(1:2222yxyxxyxxvvzxuuzxz 解第51页/共120页521)cot()3(2)sin(12222 yxyxyyxyvvzyuuzyz再来求偏

35、导此题也可化为显函数注)sin(3:22yxyxz dzyxxyfz求设),()4( )(1),(,:2yxvzxuzyvvzyuuzyzyvzyuzxvvzxuuzxzvufzyxvxyu 则设解第52页/共120页53dyvzyuzxdxyzyuzydz)1()1(2 dzyxuuuxyz求设),(,)5( zuxy,:yuxyuuzyzyzxuyxuuzxzxz 解dyyuxdxxuydyyzdxxzdz)()( 处的全微分点在所确定的函数求由方程)1, 0 , 1(),(2)6(222 yxfzzyxxyz第53页/共120页5412),(:)1,0, 1(222222)1,0, 1(

36、)1,0, 1(222 zyxzxyzyxxyzFFxzzyxxyzzyxFzx令解2)1,0, 1(222222)1,0, 1()1,0, 1( zyxzxyzyxyxzFFyzzydydxdz2 第54页/共120页55xzgfxygyxxyfz 求均可微其中设,),(),()7()1(),(,:vgvufzyxvxyu 则令解zuvxyvvuvvuvvugxyfyf ygyxyfyf yyvgyfyfxvvzxuuzxz 22221111)1(1第55页/共120页56yxfyxyxyxyxf 222,arctanarctan),()8(求已知2222222222211)(112,arc

37、tan21)(1)()(1arctan2:yxyxxxyxyxfyxyxyyxyxyxyxxyxxf 解dxduxzeyexzzxyyzyxfuzxy求所确定和方程分别由有连续偏导数设,00)(),(,),()9( uxyz第56页/共120页57)( ,0)( ,110:2xzexxzzxezdxdzxzeyexyyxeyedxdyyedxdzzfdxdyyfxfdxduzzzxyxyxyxy 其中由其中由解zfxxzzyfxyyxfdxdu 12代入得第57页/共120页58)(80直角坐标与极坐标系下求二重积分 DxydxdyxyxyxyD求所围成的区域直线为曲线设,2, ,).1(20

38、122xy xy xy2 1D2D 2122102221210221821)2()2(,.:2212dxyxdxyxxydydxxydydxxydxdyxydxdyxydxdyDDDxxxxxxxxDDD如图所示解第58页/共120页5925,)2(22)(22 yxDdxdyeDyx是圆域其中求)1()(210 ; 50:.,sin,cos:25205022050)(22222 erdeddrredrdrdedxdyerDrdrddxdyryrxrrDrDyx 则令解围成的区域是由圆其中求RyyxDdyxRD 2222,)3( 第59页/共120页60R.2R030sin02222230;s

39、in0:sin:RrdrrRdrdrdrRdyxRRrDRrDRDD 的极坐标方程为区域解.2, 0,sin)4(所围成的区域是直线其中求 yxyxDdxdyyyID第60页/共120页61:区域如图解2 2 D1sinsinsin20020 ydydxdyyyxdxdyyyyD积分先对,2,)5(2所围成的区域是由曲线其中求xxyxyDdxdyyID ,2,)5(2所围成的区域是由曲线其中求xxyxyDdxdyyID dxydyydxdxdyyxxxxxxD 10223102)(32:22解第61页/共120页62154832)2(321023102 dxxdxxx,sin1:,)1(12,

40、:22txxxx 令作换元由于对右端第一个积分注 31212)6(xydyedxI求的草图画出由累次积分限解Dxyx,1231: 根据草图,更换积分次序:D1 21 xy第62页/共120页63)1(2142020112 edyyedxdyeIyyy如图中阴影部分其中求DdxdyeIDxy,)7( )1 , 1(xy yx 2110eedxeexdyedxIxxxxy2183)(:1211212 解 DxdxdyBAOD求形区域为顶点的三角和是以点设,)1 , 2()2 , 1(),0 , 0()8(第63页/共120页64解:画出积分区域的草图,并分块积分1D2D0AB122.,3,2,2,

41、得垂足坐标轴引垂线交点向过各为的方程相应和直线xxyxyxyABOBOA 232132102221 xxxxDDdyxdxdyxdxxdxdyxdxdyI第64页/共120页65三、应用题转体体积求平面图形的面积和旋几何应用101.画草图确定交点坐标; 如果有某边界是未知的必须先建立其方程,只有各边界曲线已知时,才可求面积、体积；2.根据图形形状确定对x积分还是对y积分或分块积分;3.求面积充分利用图形的对称性，整体与局部的关系，结合初等几何的知识求之;画草图时,要考虑参数的取值情况,不要遗漏.第65页/共120页66:00,1,:2两种情形和就要考虑所围图形面积与抛物线求直线例如 aaxyy

42、axy2xy )0( aaxy010 a第66页/共120页67的面积所围平面图形和直线求曲线Dyeyxy01,ln)1( 11xyln exy e12)2()(:10210 eyeedyeyeSyy解0VySxxyxxy体的体积轴旋转一周所得旋转并求平面图形绕图形的面积所围成的平面求曲线,3, 1, 0,2)2(2 第67页/共120页6823431)2(3231)2(:213223233222213212212121 SSSxxdxxxSxxdxxxSSSS如图解 01211611)11( dyyVyS体积为轴旋转一周所得旋转体绕平面图形0123xxy22 1S2S-1 30222643)

43、11(27 dyyVyS体积为轴旋转一周所得旋转体绕平面图形第68页/共120页69 921 VVV故所求旋转体体积.,3, 21)3(的旋转体的体积轴旋转所成此平面图形绕求此平面图形的面积及围成的平面图形与直线由曲线xxyxy 0221332514; 6ln5)12(:3212321 dxxVdxxSx解.,0,)4(旋转体的体积轴旋转所形成的图形绕面图形的面积及此平面求此平围成设平面图形由xxeyeyx 第69页/共120页70)1(2)(; 1)(:2102210 edxeeVdxeeSxxx 解01e), 1(e.,24,1)5(轴旋转的体积以及此平面图形绕面积所围成的平面图形的及求由

44、曲线xxxyxy 212)21, 2()2 ,21(2140)116(217)14(:22122221 dxxxVdxxxSx 解第70页/共120页71经济应用02经济应用主要是指一元、二元经济函数的最值问题.包括最优批量问题；成本、收益、利润问题；边际与弹性问题等。【最优批量问题】：:,1成则年总费用由两部分构货周期为进订货批量为年库存费用率为一次订货费用为平均单价为的年需用量为假设某企业对某种物资TQICPRQRC1)()1( 数批全年订货次每次订货费用订货费用第71页/共120页72PIQ 2)2(每单位库存费平均库存量库存费用1111min11*1*211222122360360:2

45、:)(2:021, 0,21:PRICPIRCPIRCPIRCCPIRCETCPIRQREPIRCQPIQRCdQdCQPIQRCC 最小总费用最优进货周期数次最优订购批最优订货批量由此可得令总费用第72页/共120页73.:)3(;)2(;)1(:批安生批量总量批数与总量的关系批量年库存费用率单价每件库存费批量的一半库存量注 、【成本、收入、利润问题】QQCCQQCQCQCQCCQCCQCQPLRQ，CCC)()()(:)()(:)()(:.1,)(,),)(101010010 平均成本边际成本为固定成本总成本函数为则量为销产价格为总利润为总收益为变动成本固定成本设总成本为第73页/共120

46、页74总成本、边际成本与平均成本的关系：已知其一，可求其二QQCQCCdQQCQCdQQCQCCccQCQdQCQCxx )()()()()()()0()()()(001011确定由其中)()()(:)()()(:)()(:.20需求函数平均收入函数边际收入函数总收入函数为QfPQQRQRQfQQfQRQfQPQQR 总收入、边际收入与平均收入的关系：已知其一，可求其二。第74页/共120页75QQRQRdQQRQRRCCQRdQQRQRx )()(,)()()0( ,)()()(0其中)()()()()(:)()()(:)()()(:.30平均成本平均收入平均利润边际成本边际收入边际利润总利

47、润函数为 QQCQQRQQLQLQCQRQLQCQRQL总利润、平均利润与边际利润的关系是已知其一,可求其二.第75页/共120页76?,),(,05. 0,10,10,. 136费之和最小使生产的准备费及库存能问应分几批生产即库存量为批量的一半是均匀的如果年销售率元而每件库存费为元加准备费每批生产需增件其年销量为某厂生产某种商品:,21005. 0)(10,10,:636之和为生产的准备费与库存费库存费元生产准备费为件则批量为设批数为解xxxx 第76页/共120页77.,5:.5, 0)5(, 5),(5,250;105 . 210), 0(,105 . 210224343库存费之和最小才

48、能使生产的准备费及批生产应分答点为极小值点也是最小值则得唯一驻点舍去令 xyxxxyxyxxxy.,30,2.,103. 23及全年订购次数试求最经济的订货批量元每次订货费为元费为已知这种材料每件库存消耗是均匀的这个厂对这种材料的件某厂每年需某种材料 )10,300:(次全年订购次数为件最经济的订货批量为答第77页/共120页78.,900400)(:. 32并求此最大平均收入的值的试求使平均收入为最大单位的收入为设某产品销售xxxxRx )(30,900, 0, 1900900400)(,:22不合题意舍去即令则设平均收入为解 xxyxyxxxxRyy340,30:.3403030)30(4

49、00,3001800)30(),(302303最大平均收入为位时单当产品销售答最大值为点为极大值点也是最大值则又唯一驻点 yxxyxx第78页/共120页79?,),(435)(:),(100,102)(. 42最大利润是多少利润最大少件时问每天生产这种商品多元收入函数为元固定成本为件的边际成本为设某产品每天生产xxxRxxCx 第79页/共120页800)45(),(45, 045)(10024510010235100104435)()()(.100104)(,100104)102()()(),(),(:22222002 LxxxLxxxxxxxxxxCxRxLxxxCCCxxdxxdxxC

50、xCxCxL又唯一驻点于是且则总成本函数为设利润函数为解第80页/共120页81元最大利润为利润最大件时每天生产答从而最大值为点为极大值点也是最大值则5 .912,45:5 .91210024545)45(,4522 Lx.,),( 1)0()2?,)18)():(;44)():():(. 5与产量的函数关系式总利润分别求出总成本万元若不变成本最大总利润求产量为多少时的函数的变化率是产量万元单位总收入的函数百台单位的变化率是产量万元单位设某产品的总成本 CLxxRxRxxCxC第81页/共120页82)(20)8()()(19)44()()1:51515151万元万元解 dxxdxxRRdxx

51、dxxCC答:产量由1百台增加到5百台时,总成本增加19万元;总收入增加20万元.,320:2 . 3, 045)2 . 3(),(2 . 3, 0)(;44)44()8()()()(),()()()2(总利润最大台时当产量为答为最大值点则又唯一驻点得令 xLxxLxxxxCxRxLxCxRxL第82页/共120页83)( 1854)(:)( 184)(:);( 1554)()()(,28)8()()(; 184)(, 184)44()()()3(2222002002万元的函数关系为总利润与产量万元的函数关系为总成本与产量万元从而则而 xxxLxxxxCxxxxCxRxLxxdttdttRxR

52、xxxCCCxxdxxdxxCxCxx第83页/共120页84.,150,21,005. 0,. 62可使产量最大如何购料问元购实这两种原料欲用元元和单价分别为两种原料的已知之间有关系式与的数量与所用两种原料设生产某种产品的产量，BAyxPyxBA )1502(005. 0),(.005. 01502:22 yxyxyxFyxPyx 令的最大值下求函数问是归结为在约束条件解 0150202005. 0001. 02yxFxFxyFyx 解方程组第84页/共120页85 150241502005. 002. 02yxyxyxxxy)(125025100005. 0:.,),(25,1002单位最

53、大产量为值点故唯一的驻点也是最大点因本身问题存在最大值唯一驻点解得 Pyx?,2,;,4110,26. 722212121212211可获得最大利润问两种商品生产多少时总成本函数是生产两种商品的为相应的价格对两种商品的需求量分别是其中设需求函数QQQQCPPQQPQPQ 第85页/共120页86212122212221212122212211221140262522040264)440()26(:QQQQQQQQQQQQQQCRLQQQQPQPQR 总利润总收益解125,35,)3 , 5(, 0, 036404,10)3 , 5(, 2)3 , 5(, 04)3 , 5()(3, 50402

54、10)(02624)(221122211222121最大利润为时获得利润最大和为别即两种商品的生产量分处取极大值也是最大值在点因此且求得唯一驻点 AACBLCLBLAQQQQQLQQQLQQQQQQ第86页/共120页87四、证明题(一)证题依据:闭区间连续函数的性质;点导数的定义;微分与积分中值定理;变上限积分函数的可导性;定积分与二重积分的性质;换元积分与分部积分法等.(二)证明题常见类型及证题方法函数奇偶性的证明.10定义、性质、图形.)(,)()2( ;)(,)()1(:,)2()(,),()(. 10为非减则非增若也是偶函数则为偶函数若证明且内连续在设函数xFxfxFxfdttxxF

55、xfx 第87页/共120页88为偶函数令证明)(),()()2()()2()()()2()()2()()1(:0000 xFxFdttftxduufuxudufuxutdttfdttxxFxxxx ), 0()(0)()()()()()()(2)()()(,)(2)()(0)(,)()2(0000 xxfxffxxxfxfxxfdttfxxfxxfdttfxFdtttfdttfxxFxFxFxxxx 非增积分中值定理即证非减要证第88页/共120页89.,)0(0)(:20可根据单调性定义的函数对不能求导及函数的性态理合用微分与积分中值定并结转化为证明证明函数的单调性 xF.), 0()()

56、(,), 0)(, 0)0(. 2内单调增加在区间试证函数内单调增加在设 xxfxgxff.)(,)()(0)()(, 0)()()(:2来证明分子大于零的单调性再利用理于是想到用微分中值定不能直接比较大小与由于只要证即证分析xfxfxfxfxfxxxfxfxxg 第89页/共120页90.), 0()(, 0)()()(,0,), 0)()()()()()()()(), 0(),()()()0()(,)(, 0, 0:22内单调增加在区间即从而时故当上单增在又于是有应用拉格朗日中值定理上对在区间对证 xgxgfxfxxfxfxfxfxxfxxxfxfxxgxfxxffxfxftfxx .,)

57、, 0()(1)(0)(,), 0(, 0)(. 30为正数其中内的单调性在试讨论函数且内可导在上连续在设kadttfxxFxfaaxfkx .)(,0,)(:的正负条件下即讨论的单调性讨论分析xFkxF 第90页/共120页91.), 0()(, 0)(, 0)(, 0, 00),()()(1)()(1)(1)(:202内单调减少在因此积分中值定理证明axFxFxfxkkxfkxfxkkxfxkxfxkdttfxkkxfxxFkx .)(,)(, 0,)()(. 40的增减性试讨论且单调增加的连续函数为处处有定义其中设xFufadyyxfxFa .,)(,)(:证明或根据单调性的定义来必须经

58、过换元再求导求导不能直接对是个抽象的复合函数分析xFxF第91页/共120页92.)(, 0)(,)(, 0)()()(,)()(:1为单调增加的函数所以即处处单调增加又显然由于令证xFxFufaxxaxfaxfxFdttftyxxFaxx 调增加的函数为单亦即故有又有由题意对单调性定义证)(),()(, 0)()()()()()(, 0)()(,:)(2120120102121221xFxFxFdyaxfaxfdyyxfdyyxfxFxFayxfyxfxxaaa .,), 00. 00,)(1)(, 0)0(,), 0)(. 50单调不减且上连续在若若在函数试证单调不减且上连续在设函数 xx

59、dttftxxFfxfxn第92页/共120页93.), 0)(, 0)(,), 0)(), 0(,)()()()()()()(), 0(,), 0)()0(0)(lim)(lim)(lim,)(,0,:212010000上单调不减在故知上单调不减在由积分中值定理有对于上连续在故又连续时当显然证明 xFxFxfxxfxfxxxfxxfxxdttftxfxxFxxFFxfxxdttftxFxFxnnnnxnnnxxnxx 第93页/共120页94)(30图形凹向增减极值函数的性态分中值定理微分与积零点存在定理方程根的存在性证明、.),()(),()2(;,)()()1(:,),()(. 1定区间

60、上用罗尔定理再在给使得构造一个辅助函数应用零点存在定理异号与证明面考虑可从两方内至少有一个实根在要证函数xfxxbfafbaxf .)()()2(; 0)(0)(,),()()1(:,),()(. 2有时也用反证法异号与或即上单调在一般要证明两点内有唯一实根在要证明bfafxfxfbaxfbaxf 第94页/共120页95.,),()()()()(,:1,),()(. 3121121或罗尔定理在定理个子区间上应用零点存在这个然后且满足个闭区间构造分点定条件适当选取必须根据题目给个实根内有在要证明函数kbfxfxfxfafkxxxkkbaxfkk .)(),(,)(,)(,)(. 1的一个根有方