行列式克莱姆法则

1、11.2行列式行列式一一. 行列式的定义行列式的定义1. 二阶行列式与三阶行列式二阶行列式与三阶行列式2. n阶行列式阶行列式二二. 行列式的性质行列式的性质三三. 行列式按行（列）展开定理及其推论行列式按行（列）展开定理及其推论四四. 方阵乘积的行列式方阵乘积的行列式五五. 克莱姆法则克莱姆法则用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、二阶行列式的引入;21222112

2、1122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定,且为一个数且为一个数. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二

3、二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 11a12a22a12a主对角线主对角线次对角线次对角线2211aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式.2112aa二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列列的的数数表表行行个个数数排排成成设设有有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa

4、333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正

5、号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .2-43-122-4-21d 计计算算三三阶阶行行列列式式按对角线法则，有按对角线法则，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2

6、()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解解得得由由052 xx3.2 xx或或补充定义一阶行列式为：补充定义一阶行列式为：1111aa11122122aaaaa11221221aaaa111213212223313233aaaaaaaaaa122331111221221321331132233223233131a a aa aa aaa a aaa a aa a a 112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a

7、222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa观察：有什么观察：有什么特点？特点？2. 类似地，定义四阶行列式为：类似地，定义四阶行列式为：11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaaa212324212224123133341331323441434441424421222314313233414243aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa22232411323334424344aaaaaaaaaa3.由归纳法，从上面可以看出，可以由归纳法，从上面可以看出，可以给出任意阶行列

8、式的定义：给出任意阶行列式的定义：(1)（余子式的定义）设（余子式的定义）设n-1阶方阵的行阶方阵的行列式已经定义，对于列式已经定义，对于n阶方阵阶方阵11121212221nnnnannaaaaaaaaaa去掉去掉a的第的第i行和第行和第j 列，其余元素不动所构成列，其余元素不动所构成的的n-1阶方阵的行列式阶方阵的行列式 称为称为元素元素 的余子式的余子式。ijaijm如：如：24314691025469,23560196mm 求 24469235,019m24314691025469,23560196mm 求 3169105469196m解：解：(2) n阶行列式阶行列式|a|的定义：的

9、定义：规定规定n阶行列式阶行列式|a|为下式的值：为下式的值：11111112121111( 1)( 1)iniinna ma ma ma m 记为记为：111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa111111121211111111( 1)( 1)( 1)iniinnnjjjja ma ma ma ma m （也将（也将|a|记为记为d或或dn）。）。也称之为行列式也称之为行列式|a|按第一行的展开式。按第一行的展开式。例例2.计算下列行列式计算下列行列式 ：11212212000nnnnaaaaaaa解：按第一行展开有解：按第一行展开有112221223233111223334

10、3441122112212000000000nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaaaa结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等于它的主对角线上的元素的乘积。于它的主对角线上的元素的乘积。二、行列式的性质二、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. tdd记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa2211说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中

11、行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性性质质2 2. .如如果果方方阵阵a a有有某某行行( (列列) )元元素素全全为为零零, , 则则 a a = = 0 0. .()jjrccii质r或换换两两则则变变号号记记性性3 3. .互互行行列列式式的的行行( (列列) ), , 行行列列式式. .作作: : 12112110126003003 02例: 2r1 r例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853.论论两两则则推推. . 如如果果行行列列式式有有行行( (列列) )

12、元元素素完完全全相相同同, ,a a = = 0 01112121212|mmmnnnnnaaakakakak aaaa 即:质质数数数数性性4.把4.把行行列列式式的的某某一一行行(列(列)中)中所所有有元元素素同同乘乘以以k,k, 等 等于于用用k乘k乘此此行行列列式式. .数数号论论则则推推. . 如如果果行行列列式式的的某某一一行行( (列列) )有有公公因因k k, ,可可以以把把k k 提提到到行行列列式式符符的的外外面面. .数乘行列式数乘行列式等于数等于数乘行列式的某一行乘行列式的某一行(列）的所有元素。列）的所有元素。2,例3: 设a为4阶方阵, 且 a求 3a4381 21

13、62解: a为4阶方阵, 则有 3aa质两对应则为性性5 5. . 如如果果行行列列式式有有行行( (列列) )的的元元素素 成成比比例例, ,此此行行列列式式零零. .证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 质两个两两项项则则性性6 6. . 如如果果行行列列式式的的某某一一行行( (列列) )的的元元素素可可表表示示成成和和的的形形式式, ,此此行行列列式式可可表表示示成成行行列列式式之之和和. . nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)

14、()()(2122222211111211 则则d等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 122211111122211111例如例如3,2,xycyababababeb例4: 求22xcyabaeb 22xcyabaeb解: 2()10ab2x cya e b2()xycyabeb+性质性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa1

15、2222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 d二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 d3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 21010446

16、14753124022010013211312 rr 2 3 312rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 12002134例 5 : 0021000421( 2)24rr 12000-33400210004说明：利

17、用性质说明：利用性质7，可将行列式，可将行列式化为上三角行列式化为上三角行列式475025252例 6: 已 知 204,527,255三 数 都 能 被 17整 除 ,试 证 明 :不 计 算 行 列 式 的 值 ,三 阶 行 列 式 也 能 被 17整 除 .4 75025252解: 12310100rrr204527255025252250502204527255522225所以, 它可被17整除.例7 利用性质计算下列行列式:246427327(1)1040543443 -342721621100246132710401443-3421621100246 1 3277680 116-5

18、88 0 2942131( 1)( 1)rrrr 100124632707681160-58829412cc100 768116-588294122cc 1001000116029429,400,000 2111113111(2) 1141111151111161+1111111+2111 111+3111111+4111111+5/2,/3,/4,/52 3 4 5 2345cccc且行列式外234511111 + 12345111111 +23451111 11 +2345111111 +2345111111 +2345所有列的元素之和相等125ccc111112345111111 +23

19、451111 11 +2345111111 +2345111111 +23452 3 4 5 (2) 111123453 9 411111234501000 = 3 9 40010000010000012151rrrr (3)11aabadacb+bdc1b+cd1c+d1234cccc1()111aabcdbacb dc11d11所有列的元素之和相等0aababbbbabbbbbb练习:b3(3 )()ab ab三三. 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开定理及其推论定理及其推论( 1)i jijijam n阶行列式阶行列式|a|的元素的元素 的余子式为的余子式为 ，令：令：ijaijm

20、ija叫做叫做 的代数余子式。的代数余子式。ija12002134例 : 00210004323 2321 0 0( 1)23 400 4aa =0的代数余子式为: 11221iiiiininnijijjaa aa aa aa a (i=1,2,n) 11221jjjjnjnjnijijiaa aaaa aa a , (j=1,2,n) 按第按第i 行展开行展开按第按第j 列展列展开开说明：利用此性质，可对行列式进行说明：利用此性质，可对行列式进行 降阶运算降阶运算-称之为降阶法。称之为降阶法。选取零元素较选取零元素较多的行（多的行（ 列）列）展开展开定理定理1.3 n阶行列式阶行列式|a|的

21、值等于它的任一行的值等于它的任一行 （列）的元素与其相应的代数余子（列）的元素与其相应的代数余子 式乘积之和。式乘积之和。即：即：例例13351110243152113 d03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxd 12xx , )(12 jijixx）式式成成立立时时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxx

22、d)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi )()()(211312jjininnxxxxxxxxd ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行

23、（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,aaaaaajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaaaaa 证证行行展展开开，有有按按第第把把行行列列式式jadij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaaaaa 可可得得换换成成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiaaaaaajninjiji 同理同理).(, 02211jiaaaaaanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余

24、子式的重要性质 ;,0,1jijiddaaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiddaaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中例例3 计算行列式计算行列式277010353 d解解27013 d.27 按第一行展开，得按第一行展开，得27005 77103 0532004140013202527102135 d例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 d66027013210 6627210 .1080124220 53241413252 53204140132021352152 13rr 122 rr 四四. 方阵乘积

25、的行列式方阵乘积的行列式定理两个定理两个n阶方阵阶方阵a与与b乘积的行列式等于这乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积，即两个方阵的行列式的乘积，即|ab|=|a|b|推论推论1 设设a1， a2， am是是m个个n阶方阵，阶方阵，则则| a1 a2 am |=| a1| a2 | | am |定义定义11.9 如果如果|a| 0，则称，则称n阶方阵阶方阵a为非奇为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。异方阵，否则称为奇异方阵。推论推论2 设设a，b是两个是两个n阶方阵，则阶方阵，则ab为奇为奇异方阵的充分必要条件是异方阵的充分必要条件是a，b中至少有一中至少有一个是奇异方阵。个是奇异方阵。方阵方阵

26、a的行列式的行列式|a|的运算性质：的运算性质：(2)(1)(3)naaabaaa b ,0,a bna aaaebbb beabab设为 阶方阵, 满足及求例例4：:,()()()aaaae bbbbea bbb ab ba ab aab ba a 解 2220,(1)0100abbabaa ba ba a baa baa b 又因 及=,代入上式, 有 又由于小结小结 (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用

27、性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值行列式的行列式的6个性质个性质3. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具. ;,0,. 41jijiddaaijnkkjki当当 ;,0,1jijiddaaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其其中中思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnndn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211naaa 思考题解答思考题

28、解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成naaa11211 n001030100211111 .11!2 njjn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不不全全为为零零若若常常数数项项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;,21全全为为零零若若常常数数项项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念五、克莱姆法则如果线性方程组如果线性方程组)1(22112222212111

29、212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaad212222111211 0 .ddx,ddx,ddx,ddxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jddjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaad11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 d定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 1齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 20002211222