极限存在定理和两个重要极限

1、第五节第五节 极限存在定理和两个重要极限极限存在定理和两个重要极限 极限存在定理极限存在定理 两个重要极限两个重要极限 小结小结 思考思考一、极限存在定理一、极限存在定理1.夹逼定理夹逼定理定理定理 1 1 如果数列如果数列nnyx ,及及nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 nn ,1 aynnn时时恒恒有有当当,max21nnn 取取恒恒有有时时当当,nn , ayan即即,2 aznn

2、n时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限定理定理 2 2 如果当如果当)(00 xux ( (或或mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00axhaxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于a. . 注意注意: :,.nnnnyzyz利用夹逼定理求极限关键是构造出与并且与的极限是容易求的定理定理1和和定理定理2称为称为夹逼定理夹逼定理

3、.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界定理单调有界定理满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列定定理理 3 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限. 几何解释几何解释:am例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,

4、1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32aa 2131,2131 aa解解得得(舍去舍去).2131lim nnxac二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxaobo 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinacxabxbdx 弧弧于是有于是有xobd.aco ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xoab的圆心角为的圆心角为扇形扇形,bdoab的高为的

5、高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 1

6、1nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,1lim (1).xxex由此推导出10lim(1)xxxe例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11

7、(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 三、小结三、小结1.两个定理两个定理2.两个重要极限两个重要极限夹逼定理夹逼定理; 单调有界定理单调有界定理 .; 1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 思考题思考题求极限求极限 xxxx193lim 思考题解答思考题解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e错误错误._3cotlim40 xxx、一、填空题一、填空题:._sin

8、lim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、练练 习习 题题._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10 、xxaxax)(lim3 、二、求下列各极限二、求下列各极限:nnnn)11(lim42 、 5 5、nnnn1)321(lim 三、三、 利用极限存在准则证明数列利用极限存在准则证明数列,.222,22, 2 的极限存在，并求的极限存在，并求出该极限出该极限 . .一、一、1 1、 ； 2 2、