3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册

1、第二章一元二次函数、方程和不等式第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式基本不等式第第1课时基本不等式课时基本不等式填写下表:ab 与 的大小关系 1 416 22 abab2abab2121814情境导学情境导学ab 与 的大小关系 1 416810 0,b0,那么(当且仅当a=b时取“=”).ab2ab答案答案用比较法证明:-=()2+()2-2=(-)20,当且仅当=,即a=b时取“=”.2abab12abab12abab问题2:你能给出它的证明吗?教材研读1.如果a0,b0,那么 ,当且仅当 时,等号成立.其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.ab2ab

2、2ababa=b2.变形:ab,a,br,当且仅当a=b时,等号成立.a+b2,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.思考:不等式a2+b22ab与不等式成立的条件一样吗?22ababab2ab提示提示不一样.a2+b22ab成立的条件是a,br,成立的条件是a0,b0.ab2ab探究一对基本不等式探究一对基本不等式 (a0,b0) (a0,b0)的理解的理解例例1 (多选)下面给出的四个推导过程正确的是()a.a、b为正实数,+2=2b.ar,a0,+a2=4c.x、yr,xy0,+=-2=-2d.不等式a+2=2,当且仅当a=,即a=1时等号成立baabb aa b4a4aaxyyx

3、-xyyx-xyyx1a1aa1aac解析解析 a.a、b为正实数,、为正实数,符合基本不等式的条件,故a的推导正确.b.ar,a0,不符合基本不等式的条件,b的推导错误.c.由xy0时才成立,且等号成立的条件是a=1.故选ac.baabxyyxxyyxxyyx1a1aa思维突破思维突破1.基本不等式(a0,b0)反映了两个正数的和与积之间的关系.ab2ab2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a、b都是正数;(2)“当且仅当”的含义:当a=b时,的等号成立,即a=b=;仅当a=b时,的等号成立,即=a=b.ab2ab2abab2abab2abab跟踪训练跟踪训练

4、1.下列不等式的推导过程正确的是 (填序号).若x1,则x+2=2;若x1,所以x+2.中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件.1x1x1x探究二利用基本不等式比较大小探究二利用基本不等式比较大小例例2若0a1,0b1,且ab,试找出a+b,a2+b2,2,2ab中的最大者.ab解析解析0a1,0b2,a2+b22ab,最大者应从a+b,a2+b2中选择.a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),0a1,0b1,a(a-1)0,b(b-1)0,a2+b2-(a+b)0,即a2+b20,b0.跟踪训练跟踪训练2.比较大小: 2(填“”“0,b0,a+b=1,求证: 9.易错辨

5、析:利用基本不等式证明不等式时,易出现的错误有两个,一是不注意基本不等式的使用条件;二是证明步骤不完整,如例3中容易忘掉说明等号成立的条件.11a11b证明证明a0,b0,a+b=1,1+=1+=2+,同理,1+=2+,1aababa1bab=5+25+4=9.9当且仅当a=b=时等号成立.11a11b2ba2abbaab11a11b12易错点拨易错点拨利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略:从基本不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.(2)注意事项:多次使用基本不等式时,要注

6、意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法;对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型后再使用.变式训练变式训练3.(1)(变结论)例3的条件不变,证明:+8;(2)(变结论)例3的条件不变,证明:+.1a1b1ab21aa21bb252证明证明(1)+=+=2,a+b=1,a0,b0,+=+=2+2+2=4当且仅当a=b=时等号成立,+8当且仅当a=b=时等号成立.(2)由a2+b2-=0,得a2+b2 (当且仅当a=b时等号成立).a+b=1,1a1b1ab1a1babab11ab1a1babaabbabba121a1b1ab122()2ab2( - )2a b2

7、()2ab+= 当且仅当a=b=时等号成立.21aa21bb2112abab212ababab232baab2322b aa b25212+当且仅当a=b=时等号成立.21aa21bb252121.下列不等式成立的是()a.ab b.abc.a+b2 d.a+b2 222ab222ababab解析解析 a2+b2-2ab=(a-b)20,a2+b22ab,ab,故选a.222aba课堂检测课堂检测2.设0ab,则下列不等式中正确的是()a.ab b.abc.ab d.abab2abab2abab2abab2ab解析解析 因为0ab,所以由基本不等式得,且=b,又a=,故a2)中等号成立的条件是

8、()a.x=3 b.x=-3 c.x=5 d.x=-59-2x解析解析 易知不等式等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).9-2xc4.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 .2abab解析解析 x2=,y2=a+b=.a+b2(a0,b0,且ab),x20,y0,xy.22abab2abababx3.素养探究:在利用基本不等式证明不等式时,要进行整体考虑,即先将不等式化简或变形,再根据已知条件构造出基本不等式.该类题目能够很好地提升学生的逻辑推理素养.-bc aa-ca bb-ab cc证明证明 +=+-3-bc aa-ca bb-ab ccbacacbabacbc素养演练素养演练=+-3.a、b、c都是正数,+2,即+2(当且仅当a=b时,“=”成立).同理可证:+2(当且仅当a=c时,“=”成立),+2(当且仅当b=c时,“=”成立).两边分别相加得+6(当且仅当a=b=c时,“=”成立).baabcaaccbbcbaabb aa bbaabcaaccbbcbaabcaaccbbc又a、b、c不全相等,不能同时取到等号,取不到等号.+6,即+6.+3.baabcaaccbbcbacacbabacbc-bc aa-ca bb-a