§4基变换与坐标变换

1、4 基变换与坐标变换线性空间的基变换，基的过渡矩阵设 V/K 是 n 维线性空间，设2LL将其写成矩阵形式( 1,2 ,L ,n)定义 4.11 我们称矩阵, n 和 1,2 ,L ,n 是两组基，且t11 1 t212Lt n1 n ,t12 1 t222Ltn 2 n ,LLLLLLLLLt1n 1 t2 n2Ltnn n .t11t12Lt1nt21t22Lt2n1, 2,L ,n) 21nMMMtn1tn2Ltnnt11 t12Lt1n1n(t22Mt21Mt2nM1, 2 ,Ltn1tn2tnn为从2, L ,n 到 1,2 ,L ,n的 过渡矩阵 。命题 4.6设在n 维线性空间

2、V/K 中给定一组基2,L , n。T是 K上一个 n阶方阵。命( 1, 2 ,L , n )2,L , n )T.则有n是 V/K 的一组基，当且仅当T 可逆。证明：若 1,2,L , n 是线性空间 V/K 的一组基，则2 ,L , n 线性无关。考察同构映射:V K n在 1,2 ,L, n下的坐构造方程k1 ( 1) k2 ( 2 ) L kn0，其中 ki K,(i 1,2,L ,n) ，( k1 1k2 2kn n) 0 ，k1 k2 L kn 0 。于是 ( 1), ( 2),L , ( n) 线性无关。( 1), ( 2),L , ( n) 构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵

3、可逆； 反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程k1 1 k2 2 L kn n 0，其中 ki K ,(i 1,2,L ,n)，两边用 作用，得到k1 ( 1) k2 ( 2) L kn ( n) 0 。k1 k 2 L kn 0 ， 证毕。二 向量的坐标变换公式； K n 中的两组基的过渡矩阵1、向量的坐标变换公式设 V/K 有两组基为 1, 2,L , n和 1, 2,L , n ，又设 在 1, 2,L , n下的坐标为 a1,a2,L , an ，即( 1, 2 ,Ln)a1在 1, 2,L , n下的坐标为 (b1,b2,L ,bn) ，即b1( 1, 2 ,Ln)b2Mbnn)T.现在

4、设两组基之间的过渡矩阵为T，即( 1, 2 ,L , n ) ( 1, 2 ,L记a1b1a2b2 ，X2 ， YMManbn于是( 1, 2,L , n)X ( 1, 2,L , n)Y ( 1, 2,L , n)TY ( 1, 2,L , n)(TY) 。 于是，由坐标的唯一性，可以知道 X TY ，这就是 坐标变换公式 。2、 Kn 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设 K n 中两组基分别为2LL2LL(a11 , a12 ,L , a1n), (a21,a22,L ,a2n ), LLLLLL (an1,an2,L ,ann ).(bn1,bn2,L,bnn).2 ,L ,n)( 1, 2 ,L , n)T .按定义， T的第i 个列向量分别是 i 在基 1, 2,L , n 下的坐标。(b11,b12,L , b1n), (b21,b22,L , b2n), LLLLLL2,L,n和 1,2 ,La11a12La1na21a22La2nMMMan1an2Lannb11b12Lb1nb21b22Lb2nMMMbn1bn2Lbnn1n看作列向量分别排成矩阵则有BAT，将A 和B