高等数学的教学课件17无穷小的比较

1、第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质二、等价无穷小的性质三、小结三、小结一、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了反映了趋向于零的趋向于零的“快慢快慢”程度程度不不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限);(,)()(, 0)()(lim)1( oxxxx 记作记作的无穷小的无穷小

2、高阶高阶是比是比就说就说如果如果定义定义1:1:,)(),(穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设xx 的无穷小。是同阶与就说如果)()(, 0)()(lim)2(xxcxx 。记作的无穷小是等价与就说如果 ,)()(, 1)()(lim)3(xxxx 说明：说明：无穷小的比较就是无穷小之间趋向无穷小的比较就是无穷小之间趋向0 0的速度的比较的速度的比较度度几几乎乎是是相相同同的的。而而等等价价无无穷穷小小则则表表明明速速倍倍差差。同同阶阶，它它们们在在速速度度上上有有与与有有阶阶差差。高高阶阶，它它们们在在速速度度上上比比时时比比如如：当当333543,0 xxxxx )(co

3、s1 ,0,21cos1lim220 xoxxxxx 时时例如例如xxxxxxsin,0, 1sinlim0时时 ;)(, 0)()(lim)(20000阶的无穷小的是关于时则且是无穷小，时如果定义kxxxxxlxxxxxxk ;1)(, 01)(lim)(3阶的无穷小的是关于时则且是无穷小，时如果定义kxxxlxxxxk 说明：说明：即相对误差很小。即相对误差很小。本身要小得多，本身要小得多，比比产生的误差产生的误差时，所时，所代替其等价无穷小代替其等价无穷小用用 )()(xx二、等价无穷小的性质性质性质1 1).( o 证证lim) 1lim(1lim0lim1lim).( o 性质性质2

4、 2则有：则有：存在存在且且设设,lim,1111 vu证证 vulim)lim(1111 vu 1111limlimlim vu.lim11 vu ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlimlimlim1111 vuvuvuvu 常用等价无穷小常用等价无穷小: :则：则：值的无穷小值的无穷小是不取是不取假设假设,0)(x 说明说明:在求极限的过程中，分子或分母中的在求极限的过程中，分子或分母中的因子因子，可用其等价无穷小替换。可用其等价无穷小替换。.21cos1,1)1 (),1ln(1,arctanarcsintansin2e例例1 1.cos12tanlim20 xx

5、x 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意只能分子或分母中的因子，才可替换。只能分子或分母中的因子，才可替换。例例2 2.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 例例3 3.3s

6、in1cos5tanlim0 xxxx求解解,55tanxx,33sinxx.21cos12xxxxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00原式353215lim20 xxxx原式.35035xxxxxx321lim35lim200x例例4 4.2)ln()sinln(lim2220 xxexxexxx 求求解解.)1ln(,sin)sin1ln(,0222222xexexexexxxxx 时时)(limsinlim02220 xxxxxexexe 原式原式. 1 )1ln()sin1ln(22)1ln()sin1ln(2)1(ln)sin1(ln2)ln()sinln(2222222222222xexexxxexxxexxeexxeexxexxexxxxxxxxxx 三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无