3年高考2年模拟2021版新教材高考数学第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词第1课时全称量词与存在量词讲义新人教A版必修第一册

1、1.5.1全称量词与存在量词课标解读课标要求核心素养通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(重点、难点)1.通过理解全称量词与存在量词的意义,培养数学抽象的核心素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题真假的判断求参数的取值范围,提升数学运算的核心素养.观察下面的两个命题,思考下列问题:p:对所有的mr,m3;q:存在一个m0z,m03.问题1:上述两个命题各含有什么量词?答案命题p中含有量词“所有的”;命题q中含有量词“存在一个”.问题2:判断上述两个命题的真假.答案命题p是假命题;命题q是真命题.全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号命题含

2、有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题续表全称量词存在量词命题形式“对m中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“xm,p(x)”“存在m中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为“xm,p(x)”思考:“有一个实数乘任意一个实数都等于0”是存在量词命题还是全称量词命题,试改写成相应命题的形式?提示是存在量词命题.可改写为“存在一个实数,它乘任意一个实数都等于0”.特别提醒(1)在全称量词命题与存在量词命题中的“x,m与p(x)”表达的含义:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合m是这些元素的某一特定的范围,p(x)表示集合m的所有元

3、素满足的条件.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“xn,x0”.(2)在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略.探究一全称量词命题与存在量词命题的判断例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“”或“”表示下列命题.(1)自然数的平方大于或等于零;(2)有的一次函数的图象经过原点;(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.解析(1)全称量词命题.表示为nn,n20.(2)存在量词命题.表示为一次函数,它的图象过原点.(3)全称量词命题.表示为二次函数,它的图象的开口向上.思维突破全称量词命题与存在量词命题的判断1.下列命题中,全称量词命题的个数为

4、()平行四边形的对角线互相平分;梯形有两条边平行;存在一个菱形,它的四条边不相等.a.0b.1c.2d.3答案c是全称量词命题,是存在量词命题.探究二全称量词命题与存在量词命题真假的判断例2判断下列命题的真假:(1)任意两个面积相等的三角形一定相似;(2)x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点p;(4)xn,x20.解析(1)因为面积相等的三角形不一定相似,所以它是假命题.(2)因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故是假命题.(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,命题是真命题.(

5、4)因为0n,02=0,所以命题“xn,x20”是假命题.思维突破全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧(1)全称量词命题真假的判断:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合m中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出限定集合m中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题真假的判断:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合m中,找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.2.判断下列命题的真假:(1)xz,x31;(2)对任意的a,br,都有a2+b2-2a-2b+20;(3)

6、若整数m是偶数,则m是合数.解析(1)因为-1z,且(-1)3=-11,所以“xz,x33”的另一种表述方式的是()a.有一个xr,使得x23b.对有些xr,使得x23c.任选一个xr,使得x23d.至少有一个xr,使得x23答案c2.下列命题中为存在量词命题的是()a.所有的整数都是有理数b.三角形至少有两个锐角c.有些三角形是等腰三角形d.正方形都是菱形答案ca、b、d为全称量词命题,c中含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.3.下列命题中为全称量词命题的是()a.有些实数没有倒数b.矩形都有外接圆c.存在一个实数与它的相反数的和为0d.过直线外一点有一条直线和已知直线平行答案b选项b中

7、“矩形都有外接圆”省略了全称量词“所有的”,它是全称量词命题.4.命题p:xr,x2+2x+5=0是(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它是命题(填“真”或“假”).答案存在量词命题;假解析显然命题p是存在量词命题.因为方程x2+2x+5=0没有实数根,所以命题p是假命题.5.若命题“xr,x2-4x+a=0”为真命题,求实数a的取值范围.解析命题“xr,x2-4x+a=0”为真命题,方程x2-4x+a=0存在实数根,则=(-4)2-4a0,解得a4.故实数a的取值范围是a|a4.逻辑推理根据命题的真假求参数问题已知命题p:x0,14,mx恒成立;命题q:x-1,8,mx.(1)若命题p

8、是真命题,求实数m的取值范围;(2)若p与q的真假性相同,求实数m的取值范围.审:已知全称量词命题与存在量词命题的真假,求参数的取值范围.联:命题p是真命题,则m大于x的最大值;命题q是真命题,则m大于或等于x的最小值;命题p与q的真假性相同,则要对其进行分类讨论(同真同假).解:(1)因为x0,14,mx恒成立,所以m14.(2)因为x-1,8,mx,所以m-1.若p与q的真假性相同,则当p、q同为假命题时,有m14m-1,解得m14m-1,解得m14.所以当p与q的真假性相同时,m14.思:根据命题的真假求参数问题可以转化为求函数的最大值(或最小值)问题,过程中体现逻辑推理核心素养.若命题

9、“对任意实数x,2xm(x2+1)”是真命题,求实数m的取值范围.解析由题意知,不等式2xm(x2+1)恒成立,即不等式mx2-2x+m0恒成立.当m=0时,不等式可化为-2x0,显然不是恒成立的,不符合题意.当m0时,要使不等式mx2-2x+m0恒成立,则m0,4-4m20,解得m-1.综上可知,实数m的取值范围是m|m-1.1.存在量词命题“存在实数x,使x2+10b.xr,x2+10c.xr,x2+10b.若2x为偶数,则xnc.所有菱形的四条边都相等d.是无理数答案ca是全称量词命题,但不是真命题,故a不正确;b是假命题,也不是全称量词命题,故b不正确;c是全称量词命题,也是真命题,故

10、c正确;d是真命题,但不是全称量词命题,故d不正确,故选c.4.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()a.锐角三角形的内角是锐角或钝角b.至少有一个实数x,使x20c.两个无理数的和必是无理数d.存在一个负数x,使1x2答案b选项a是假命题,是全称量词命题;选项c中,2和-2都是无理数,但是二者之和为0,是有理数,故c是假命题,是全称量词命题;选项d是假命题;选项b符合题意.5.下列说法正确的是()a.对所有的正实数t,有ttb.存在实数x,使x2-3x-4=0c.不存在实数x,使x4答案bt=14时,tt,所以a选项错;由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x=-1或x=4

11、时,x2-3x-4=0,故b选项正确;由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以c选项错;x=0时,x24不成立,所以d选项错.6.给出下列三个命题:xr,x2+10;矩形都不是梯形;x,yr,x2+y21.其中全称量词命题是(填序号).答案7.对任意x3,xa恒成立,则实数a的取值范围是.答案a3解析对任意x3,xa恒成立,即x|x3x|xa,a3.8.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为.答案12,13(答案不唯一)9.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.(1)xn,2x+1是奇数;(2)存在一个xr,使

12、1x-1=0;(3)对任意实数a,|a|0;(4)有一个实数x,使得x2-x-2=0.解析(1)是全称量词命题.因为xn,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.(2)是存在量词命题.因为不存在xr,使1x-1=0成立,所以该命题是假命题.(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|0不都成立,因此,该命题是假命题.(4)是存在量词命题.因为当x=2时,x2-x-2=0成立,所以该命题是真命题.10.已知命题p:xr,x2+2x-a0.若p为真命题,则实数a的取值范围是()a.a-1b.a0对xr恒成立,所以x2+2x-a=(x+1)2-1-a-1-a,则-1-a0,解得a0;xn,x41;对任意x,y,都有x2+y20.其中真命题的个数为.答案1解析由于xr,都有x20,因此x2+220,所以命题“xr,x2+20”是真命题.由于0n,当x=0时,x41不成立,所以命题“xn,x41”是假命题.当x=y=0时,x2+y2=0,所以命题“对任意x,y,都有x2+y20”是假命题.13.若存在xr,使ax2+2x+a0,则实数a的取值范围为.答案a|a1解析当a0时,显然存在xr,使ax2+2x+a0时,需满足ax+1a2+a-1a0,则a-1a0,解得-1a1,故0a1.综上所述,实数a的取值范围是a0,x+a-10是真命题,求实数a的取值范围