圆弧齿形单螺杆式水力机械的啮合原理及应用-《学报版本》修改稿

1、8文章编号：收稿日期：基金项目：中国石化股份公司科技攻关项目（P12133）。第一作者：李增亮（1962-），男（汉族），山东昌邑人，教授，博士，博士生导师，从事石油机械教学及科研工作。圆弧齿形单螺杆式水力机械的啮合原理及应用李增亮1，石白妮1，鲁佳琪2 （1.中国石油大学（华东），机电工程学院，山东 青岛 266580；2.中石油西南管道公司，四川 成都 610041）摘要：分析了用于单螺杆式水力机械的圆弧齿形成形原理；根据成形原理提出了原始齿形曲线方程；阐述了求共轭齿形曲线的内滚包络法和齿廓法线法，并应用该两种方法求得了共轭齿形的方程；对圆弧齿形的定转子断面面积、过流面积以及齿形曲率进行了

2、分析计算；应用圆弧齿形进行了螺杆泵实例设计，并给出该实例螺杆泵的设计、结构以及特性参数；同时对该实例进行了容积效率预测。结果表明：文中给出的圆弧齿形的原始齿形曲线方程、共轭齿形曲线方程、定转子断面面积以及过流面积计算公式是正确可用的，实例中螺杆泵的预测容积效率曲线满足一般螺杆泵的性能要求。关键词：圆弧齿形；极坐标；复矢量；内滚包络法；齿廓法线法；过流面积；曲率；容积效率中途分类号： 文献标志码：Meshing Theory and Application of Arc Tooth Profile for Single Screw Hydraulic Machinery LI Zeng-lian

3、g1，SHI Bai-ni1，LU Jia-qi2(1.College of Mechanical Electronic Engineering in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China;2.PetroChina Southwest Pipeline Company,Chengdu 610041,China)Abstract: The original tooth profile forming principle of the arc tooth profile used in single-screw hydraulic m

4、achinery was analyzed. The formula of original tooth profile was proposed. Two methods of solving conjugate tooth profile using the inside rolling envelope method way and the tooth profile normal line way were expounded, and the solving process and equation were given. The flow area of the circular

5、arc tooth profile and the curve curvature were analyzed. Using the circular arc tooth profile, this paper designed a screw pump example and present the design,structure and performance parameters of the circular arc tooth profile screw pump and predict the example performance. The result shows that

6、the original tooth profile equation of the circular arc tooth profile and the conjugate tooth profile curve equation is correct, and the theoretical volume efficiency of the designed screw pump example exceeds 97% in working pressure difference, meets the performance requirements for general screw p

7、ump.Key words: arc tooth profile; polar coordinates; complex vector; the inside rolling envelope method; the tooth profile normal line method; flow area; curvature; volumetric efficiency单螺杆式水力机械在石油石化行业中的应用越来越广泛，在润滑系统、固液混输、油气混输、螺杆泵人工举升系统以及井下动力螺杆钻具方面都有重要应用1-4。近年来更是展开了螺杆机械在分层注水方面的一系列研究。在螺杆式水力机械的设计中，螺杆马

8、达与螺杆泵往往是该系统的核心部件，其定、转子齿形的设计体现了该型机械的设计水平5-7。国外较常用的断面齿形主要为普通内摆线等距型8-9，但该种线型共轭骨线副上存在不可避免的曲率半径为零的点，等距线型存在打扣现象，磨损较快，影响寿命。国内主要以万邦烈教授提出的短副内摆线等距型、短幅外摆线等距型为主，短副内摆线啮合特性优良，但齿形过流面积受限；短副外摆线等距型表现出较好的工作性能，但参数取值范围过小，不适合多头螺杆机械的设计制造10-12。文中提出的圆弧齿形，虽有文献提及，但没有相关的系统的设计思路、方程的推演过程以及齿形性能分析。该种齿形的原始齿形由两段外切的圆弧组成，用圆弧代替摆线，使得原始齿

9、形的设计、加工和制造都简化了许多，同时通过内滚包络法和齿廓法线法分别分析计算了其共轭齿形，并给出了设计实例，该种齿形是能够应用于生产实际的。1 原始齿形曲线1.1 两圆的极坐标方程如图1所示，该齿形的原始齿形曲线由两段外切的圆弧组成，外凸的圆称为凸圆，内凹的圆称为凹圆，设螺杆线数为，定子线数为，设两圆心与原点连线的夹角为，即在一个圆周中形成个齿瓣，求得该角度内的原始齿瓣曲线，通过坐标变换就可以得到其余齿瓣曲线。极坐标用极径和极角来表示点在坐标系中的位置，由圆的极坐标表达式可知：当圆心极坐标为，半径为时，圆在极坐标系中的表达式为： （1）图1 圆弧齿形的原始齿形曲线Fig1 Original a

10、rc tooth profile curve 那么设凸圆半径为，圆心极坐标，凹圆半径，圆心极坐标，将上述已知条件带入（1）式，可得到两圆极径为： （2） （3）1.2 两圆外切的充要条件在两圆的极坐标方程中存在四个变量：分别为两圆半径和两圆圆心到原点的距离。在已知后，求在角度内与凸圆相切的凹圆半径，必须满足两圆外切的充要条件：。由余弦定理可知： （4）从而： （5）1.3 两圆外切时的临界角 当凸圆与凹圆外切时，切点为，与轴的夹角定义为外切临界角，此时和互为补角，根据正弦定理有： （6） （7） 联立（6）、（7）求解： （8） 临界角是关于的函数，当以上变量确定时，两圆外切临界角是一个定值。

11、1.4 原始齿形曲线方程 根据以上分析可以得到原始齿形曲线方程： （9） 在复坐标系下的复矢量形式为： （10）2 内滚包络法求解的运动方程和共轭齿形曲线平面行星运动可以看做为两个瞬心圆的相对纯滚动13-15，假设发生线做如下行星运动：偏心距为，以的包心法导圆做动瞬心圆，带着沿定瞬心圆做相对纯滚动，其本质等价于两个运动的叠加。 图2 内滚法原理图 Fig2 The theory of inside rolling envelope method 图3 由内滚法生成的包络区 Fig3 Envelope area is generated by the inside rolling envelop

12、e method 如图2，绕点自转，自转角为，是时间和角速度的函数。同时绕定坐标系原点做半径为的圆周运动，即绕着做偏心距为的公转，其公转角为,二者运动方向相反，则转子齿形的运动方程为： （11） 求原始齿形曲线运动方程的意义在于可以得到原始齿形做行星运动任意时刻的位置，从而由该运动方程得到齿形做行星运动时的包络区，如果为3头圆弧齿形，则其通过运动方程得到的包络区如图3阴影所示，包络区的外包络线即是要求的共轭齿形曲线。 关于具有两个偏导数，根据曲线包络的定义，转子处于某一位置时转子骨线的切向矢量必须与转子上某点在运动时的速度矢量平行，即应沿着定子边界的切向，是求定子边界的必要条件。 图4 复矢量

13、的平行Fig4 Parallel of complex vector如图4，根据复矢量的性质：若有复矢量和，定义为的共轭复矢量(矢量实部相等，虚部相反)，作运算，如果虚部系数为0，则表明转过了的幅角之后矢量落在了实轴上，即。 （12） （13） （14） 设上式虚部系数为零，同时令、，化简得到下式： （15）解方程即可得到共轭齿形曲线转角和原始齿形曲线转角的关系： （16）联立（10）、（16）即可得到共轭齿形曲线的复矢量方程。基于包络原理的包络法求解过程体现了形成啮合齿形的根本原理，但求解过程较为复杂。3 齿形法线法求共轭齿形曲线 基于啮合原理的齿形法线法相比包络法较为简便，更适用于工程实际

14、16-18。 （a） （b）图5 齿形法线法原理图Fig5 The theory of the tooth profile normal method设坐标系为定坐标系，与轮1和轮2固连的坐标系、分别为动坐标系。为轮1上的原始齿形曲线，为两轮的节点。如图5（a），齿形上的接触点的法线通过节点，点是齿形上任一点，过该点作齿形的法线，与轮1的节圆交于点。当成为接触点时，点与节圆重合，假设固连在轮1上的动坐标系连同齿形沿逆时针方向转过角度，设坐标为，为齿形在点的切线与轴的夹角。由两圆在直角坐标系中的参数方程（17）可得圆弧齿形切线的斜率如式（18）： （17） （18）在中: （19）又已知点的坐标

15、值以及齿廓的斜率，可以求得法线方程，由点到直线的距离方程可以求得： （20） 联立（18）、（19）可以得到的计算公式： （21）这样便确定了点位置与齿形转角间的关系。将接触点坐标变换到与轮2固连的动坐标系中，就可求得共轭齿形的表达式。首先将点坐标变换到静坐标系中，得到，由坐标变化的矩阵公式可知： （22）在对应用坐标变换公式求得其在动坐标系中的表达式，为轮2相对转过的角度，在螺杆泵中转子的自转与公转方向相反，则令，： （23） 所以轮2的坐标系和轮1坐标系之间的坐标关系变化如下：（24） 所以得到与共轭的齿廓方程：（25） 即：（26）4 圆弧齿廓参数分析4.1 过流面积计算 转子断面齿形的

16、面积为： （27） 由正玄定理可知： （28） （29） （30） 联立以上四式（27）、（28）、（29）、（30），即可求得转子断面面积。在实际求解过程中发现，积分求解定子断面面积公式非常复杂，没有工程实用价值，研究分析中发现圆弧共轭齿形的形状基本上由凸圆顶点决定，该顶点初始极坐标为，所以在简化求解定子断面面积的时候可以近似考虑为凸圆齿形顶点做行星运动之后形成的外包络。其复矢量方程为： （31）图6 复矢量求面积Fig6 To solve the area using complex vector如图6所示，设复平面中有复矢量，参数增大时，有增量，则微分三角形的面积可由式（32）求得。 （

17、32） 沿着封闭曲线积分，可得到曲面所围成的面积： （33）其中，是的共轭复矢量。根据以上方法求得定子的近似断面面积为： （34）则过流面积为： （35） 4.2 曲率半径分析圆弧齿形不仅齿形简单，而且曲率容易控制。传统摆线线型的曲率半径基于很多变量，如导圆半径、滚圆半径、头数、偏心距以及等距圆半径。所以使用摆线线型设计时，必须考虑曲线曲率半径取零时各参数的极限值，这样才可以得到圆滑的摆线曲线。而圆弧线型因为原始齿形由两段圆弧相切组成，所以曲率半径分别为圆弧半径，通过调整圆弧半径，可以得到接触效果非常好的原始齿形，这也是摆线线型无法比拟的优势。5 圆弧齿形螺杆泵设计实例5.1 实例的参数设计设

18、计采油用圆弧齿形螺杆泵，流量为，输送油液密度为，泵外径，单级增压值设为，级数为7级，偏心距为，凸圆与凹圆半径分别为，两圆心距离原点的距离分别为，同时设容积效率，机械效率，则该型螺杆泵的结构设计参数如下表所示：表1 圆弧齿形螺杆泵设计参数Table1 The parameters of arc tooth profile for screw pump 头数比定子导程/mm过流面积/mm2转速/(rmin-1)轴向力/KN转矩/(Nm)3:4 480112243.410.21785.2 实例的容积效率曲线预测 传统螺杆泵常根据经验公式（36）来初步估计设计泵性能18，该公式只与泵的结构参数以及定转

19、子的配合间隙有关，与所采用线型无关，所以可以用它来进行圆弧齿形螺杆泵容积效率的预测。 （36） 式中，为容积损失系数，此处取为，为油液密度，为转速，为定子导程，为转子断面直径，为偏心距，为与套橡胶层厚度有关的常数，选取为，为衬套有效长度，为螺杆衬套初始过盈值，此处选取，为衬套用橡胶的弹性模量，为与橡胶弹性模量有关的常数，选取为。图7 容积效率曲线的预测Fig7 The prediction of volumetric efficiency curve由图7的预测曲线可知，泵增压值由增大到时，容积效率接近100%，处于高效区，以后容积效率显著降低，但在设计压差下容积效率依然保持在97%以上，说明

20、该例设计能够满足设计要求。6 结束语 推导了圆弧线型的原始齿形曲线方程。分别用内滚包络法与齿廓法线法求得了圆弧线型的共轭齿形曲线方程。分别推导了转子、定子的断面面积计算方程，以及定转子啮合时的过流面积。进行了圆弧齿形螺杆泵的实例设计，并对设计实例容积效率曲线进行了预测，结果表明该设计实例能够满足一般螺杆泵的性能要求。参 考 文 献1 徐敏，陈家庆，王丽，周海. 螺杆式水力机械及其在石油石化行业中的应用J. 北京石油化工学院学报，2004，01：1-7. XU Min，CHEN Jia-qing，WANG Li，et al. Screw-type hydraulic machinery and

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