线性代数在培养学生创新思维和能力的作用

1、 线性代数在培养学生创新思维和能力的作用作为大学数学专业基础课之一的线性代数，不仅是中学 数学的继续和提高，也是现代数学的基础，它的理论和方法 无论是对数学的发展与完善，还是对学生综合素质的提高和 创新意识的培养都有着十分重要的作用。因此，在线性代数的教学中应注重学生创新意识的培养。培养学生的创新意识，就是让学生真正理解“创”与“新” 的有机联系，即根据数学本身高度的抽象性、逻辑的严密性、 结论的确定性及应用的广泛性等特点,去探索、突破、创新, 在综合和应用已有的知识和经验处理问题时,提出全新的见 解和思路,发现他人未能发现的东西,解决他人未能解决的问 题。创新意识的培养是一个长期的过程,需要

2、在数学教学中 认真探索,积极试验,逐步渗透。1.1 了解线性代数的发展史，培养我们的创新意识“线性代数”是高等院校理工科专业如土木工程、经济管理等专业一门重要的必修基础课程。随着科学技术的飞速 发展和计算机的广泛应用，线性代数所涉及的处理问题的思 想、方法和技术已被广泛应用到科技的各个领域，成为各类 科技人员必备的数学基础之一。该学科具有较强的抽象性与 逻辑性,概念多、符号多、运算法则多，包含的内容纵横交 错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，有一套独特的理 论体系和处理问题的规律和方法。同时它还包含有许多现 代数学的基本观念和方法,与中学数学联系密切,是学生进入 大学后首先要学习的内容。学习

3、线性代数不仅可以增学生的 数学知识,提高数学观点,为大学数学后继课程的学习建立基 础,而且对学生今后从事科学研究和技术创新都有重要作 用。 1.2 活跃思维，培养我们的创新性意识矩阵中的一些运算和我们所学习的数与数之间的运算法则不同，在很多的地方都不能想当然的进行计算，它的一些定义不是很好理解，在这种情况下，我们可以通过一些例子来帮助我们对其进行理解，同时也可以达到活跃思维的目的。例如，在理解矩阵的乘法运算时，我们对它的定义和计算不是 容易接受，可以通过创设以下数学情景：某商场 2008 年 6 月、7 月经销的三种商品彩电、空调、冰箱的销售量（台） 及每种商品的进货单价、零售价（千元/台）由

4、下表给出2：彩电空调冰箱6 月2001052027 月250135300 表1 表2进货价零售价彩电33.3空调56.1冰箱33.5试写出 2008 年 6 月、7 月此三种商品的进货总额与零售总额表.如果我们按照普通方法，则可以得出这样的数据，进货总额零售总额6 月200 3+105 5+202 3=1731200 3.3+105 6.1+2023.5=2007.57 月250 3+135 5+300 3=2325250 3.3+135 6.1+3003.5=2698.5但是，如果我们运用线性代数的思想来解决这个问题，则可以得出，200 105 2023 3.3a = b= 56.1 250

5、 135 3003 3.5由于总价应是销售量与单价之积,因此,可以设想总价矩 阵 c 是销售量矩阵 a 与单价矩阵 b 的乘积。这个例子给出 了定义两个矩阵的乘法的必要性。这样，使我们了解了矩阵乘法的定义和计算方法，1731 2007.5c = 2325 2698.5 通过上面的例子可以看出，解决问题的方法不是唯一的，我们可以尝试不同的思想运用不同的方法来处理同一个问题，不仅能巩固我们所学习的知识，而且也能培养我们的创新思维和能力。1. 3 加强解题技巧的锻炼，为培养我们的创新意识打下坚定的基础当我们学习了新知识并掌握了一定的解题方法后，就会利用已有的解题模式去解决新的数学问题。所以数学解题是

6、我们消化巩固所学知识, 锻炼分析问题、解决问题能力的重要环节, 也是训练我们创新意识、创新能力的重要环节。一道题想出了一种解答方法, 再想一下还有没有其它方法。一道题有几种答案, 比较一下 各种答案的优缺点, 看哪种解法更具有一般性, 更便于推 广。例如，在学习行列式的计算时，知道它的计算方法一般 有三角化法、加边法、递推法及数学归纳法等，做题时应根 据行列式的特点采用适当的方法。计算 4 阶行列式1+x 1 1 1 d= 1 1x 1 11 1 1+y 11 1 1 1y分析：由于行列式中每个元素中都有 1，利用拆成两个行 列式相加的方法1+x 1 1 1 d= 1 1x 1 1=1 1 1

7、+y 11 1 1 1y1+x 1 1 1 1 1x 1 1 + 1 1 1+y 1 1 1 1 11+x 1 1 0 1 1x 1 0 1 1 1+y 01 1 1 y= x 2 y 21.4 在直觉思维能力的培养中加强我们创新意识的培养数学直觉思维是人脑对数学对象、结构以及关系的迅速识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和综合的整体判 断。它有一个显著的特点迅速性，即数学直觉思维在解决 问题过程中，表现为过程短、反应快、领悟直接等特点。 在教学中可以从模糊估量、整体把握、直接排除等方面去创 设情景，诱发直觉。这种方法，特别是在选择题中有很明显的应用。例如，已知，1 2 3 q= 2 4 t

8、 3 6 9p为三阶非零矩阵，且满足pq=0 , 则（）（ a ） t = 6 时， p 的秩必为 1；（ b ） t = 6 时，p 的秩必为 2；（ c ） t 6 时， p 的秩必为 1；（ d ） t 6 时，p 的秩必为 2.比较四个答案，直觉感到应是（ c ）.因为 p、q 均为3阶矩阵且 pq = 0 ，则 r( p) + r(q) 3 .而当 t = 6 时，r(q) = 1，故 r( p) 2 ，因此可以直接排除（ a ）（ b ）两个选项，t 6 时， r(q) = 2，故 r(p) 1 .但是 p 为3阶非零矩阵，所以 r( p) 1 ，则必有 r( p) = 1 ，所以

9、（ c ）成立.1.5矩阵在解决方程组问题的应用，能过和以前学习过的方法对比，来培养我们的创新思维能力矩阵的一个非常重要的应用就是解方程组，下面，我们将通过例子来说明它的应用。求解齐次线性方程组的通解a+b+c+d+e=0a+2b+c+d-e=0a+3b+c+d-3e=0a+4b+3c+3d+e=0解：这是一个齐次线性方程组，其增广阵的最后一列全为零。因此，在求解时，只需对其系数矩阵作初等行变换即可。1 1 1 1 1r2-r11 2 1 1 -1r3-r11 3 1 1 -33 4 3 3 1r4-3r11 1 1 1 1r3-2r20 1 0 0 -2r4-r20 2 0 0 -40 1

10、0 0 -2r1-r21 0 1 1 30 1 0 0 -20 0 0 0 0 =b0 0 0 0 0在最后的阶梯形矩阵b中，第一、二行的非零首元分别是a、b的系数。因此，我们将c、d、e取作自由未知量，于是得到通解a=cd3eb=3e其中c、d、e可以任取从上面的例子可以看到，如果用初等行变换将线性方程组的曾广阵化成阶梯形矩阵，我们很容易从阶梯形矩阵判断方程组的解的情况。但是如果我们运用以前的方法来解这个方程组的话，就会十分复杂，而且还容易出错。 结尾 大学的根本任务是培养学生的创新能力，大学的创新教育目标定位于创新人才的伞面发展及其创新精神和创新能力的培养和提高t。线性代数作为高等院校各专业一门重要的数学基础课程，它不但广泛应用于微分方程、概率统计、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其他学科，如工程技术、科学计算、经济管理等领域