教师发展中心名师师范课听课记录-浙江大学本科生院

1、教师教学发展中心核心示范课程听课记录章雪富：古代西方哲学和柏拉图主义教学主题柏拉图蒂迈欧篇的数学宇宙论课堂性质授课对象本科生，听课教师授课教师章雪富职称上课时间2014 年 3 月 31 日（周上课地点紫金港校区西 1-508一）上午 9： 50-12：15内容提要：本课主要阐释了柏拉图蒂迈欧篇中的数学宇宙论。本课的教学结构如下：课前导入：回顾上节课所讲内容，并介绍蒂迈欧篇及柏拉图第一部分：学生讲解蒂迈欧篇中的数学模型第二部分：学生讲解调和数第三部分：学生讲解数学史以及数学与音乐的关系第四部分：学生讲解“弦理论”第五部分：学生讲解康福德的相关理念教学片断实录教学智慧捕捉课前导入：我们已经花了一

2、周的时间讲柏拉图的蒂迈欧篇 ，蒂迈欧篇里面最关键的部分也是古典的哲学宇宙观里面特别的一部分。古代的哲学家在描述宇宙的演化时，我倾向于将他们分为两种哲学观：第一种就是物理学家的宇宙观，就是把宇宙描述为由自然要素构成的并进行演化的。通过自然要素如水、火、土、气等原子的组合形成了宇宙，这是一种物理学家的宇宙观。我们知道物理学家的宇宙观是整个古代希腊、古代世界里最主要的，也可以说是主流的宇宙观。所以在苏格拉底之前的哲学家以及亚里士多德之后的哲学家如伊壁鸠鲁等哲学家都可以看作是为物理学家做图解。但是柏拉图他非常特别，他完整地提出了一个数学模型下的宇宙观念。而这个数学模型下的宇宙观念对现代宇宙观念具有深远

3、的影响，因为我们今天基本上都是用数学来描述宇宙的变化。无论是物理学还是化学，最后都归到到数学。虽然柏拉图对宇宙的描述以及数学图形的猜想有原始的部分，但他的思路是很重要的。我们说理念的东西很重要，一个经验的东西过时了就过时了，但是理念的东西的影响是全方位的，影响一个民族，一种地域文化，甚至是整个人类思想的框架。这是理念的重要性。我们这节课继续讨论数学图景下的宇宙观形式。因为我们这个课是专业课，需要进入到研究的环节，探索这些文本的含义。研究古代哲学的学者们很少有用数学的形式来呈现蒂迈欧篇的数学模型。译者谢文郁教授主要是依据剑桥学派的康福德教授，他是希腊研究的创始者。剑桥大学的研究基本是倾向于柏拉图

4、的研究，而牛津大学是倾向于亚里士多德的研究，这是两个传统。我去牛津大学，他们有一门古典学研究的课程，这门课大部分都是亚里士多德的研究。当然它也综合了其他研究。所以剑桥学派基本上代表了柏拉图哲学研究的最高成就。文中谢文郁教授主要是援引了康福德对这个问对以前所学内容进行回顾，并适时地引出本节课所讲内容。题的研究。所以我们会请同学对这个问题的研究做一个呈现。我们今天要完成蒂迈欧篇 。我们先请s1 对柏拉图蒂迈欧篇的数学模型做一个呈现。同学们对她的呈现、文本、理解、数学设计上有任何疑问，都可以提出来。我们争取把文本非常清晰地呈现出来，看看能不能对今天中国学术界做出贡献。因为中国哲学界搞希腊哲学的都是没

5、有数学背景的，我们很好有很多数学背景的同学。我们请 S1 来呈现。充分调动学生的积极性，发挥学生的智慧，鼓励学生上台展示。第一部分：学生讲解蒂迈欧篇中的数学模型S1：我们先回顾上周的PPT，第一个数学模型是他在探讨宇宙是立体的这一方面。柏拉图认为火和土是构成平面的基础，他需要两个东西作为粘合剂。我们把它展示成数学模型就是，平面上有一个点代表火，另一个点代表土。构成一个平面至少需要3 个点，连接这 3 个点就构成一个二维平面。火和土中间用水。构成一个立体至少需要空间上的另外一个点，这样就构成了一个四面体。柏拉图所构建的几何图形中还有一个正八面体，我们画出一个正八面体。还有一个正二十面体，它的每个

6、面都是一个三角形。还有一个正方体。这就是柏拉图用原始三角形所做的。再回顾一下上节课讲的原始三角形。有两个原始三角形，一个是等腰直角三角形，它的每一个角都是45，从而拼成一个正方形。我们用正方形就能拼出一个正方体。另外一个原始三角形的一个角是 60，一个角是 30，柏拉图用这个三角形构造出了很多东西。他说用 6 个这样的三角形就能拼出一个等边三角形。我们换一个角度来思考，先做出一个等边三角形，然后找到三条中线。其中每一个小三角形就是我们画的一个角是 30的原始三角形。所以我们就不难理解柏拉图所说的原始三角形一个是等腰直角三角形，它是用来拼成正方形，然后再以此为基础拼成我们所说的正立方体。其他的是

7、正四面体、正八面体和正二十面体，它们的共同点是每一个面都是一个等边三角形。这个等边三角形可以由6 个原始三角形拼成。上节课说道，为什么柏拉图没有讨论正十二面体。先画一个正十二面体， 它的每一个面是一个五边形。正五边形每一个内角是144。我们将每个五边形分成5 个三角形，这样每个三角形的内角肯定不是60。因为大的内角是144，所以分成两部分就是72。所以我们说它跟其他三个立方体是不一样的，不能用柏拉图所说的原始三角形拼出来，所以柏拉图就没有采用它。另外一个是动物的形体，柏拉图没有说它具体是由哪一个东西演变出来的，它可能是其他三者的组合，因为动物的形体不是像正立方体这样一个明确的数学模型。此外柏拉

8、图也用这个方法推演出球体。他觉得球体的合成不是问题，如果有一个中心点确定，就可以由无数个平面构成一个正无数面体，也就是球体。这个球体就是作为宇宙。T：这个上次是不是有争论，柏拉图认为球体可以通过三角形分析出来，你们不是这样认为的。S2：按照他的定义，如果他把正六面体变成正无数面体，那也可以理解为一个球。它的面是无限的，在极小极小的情况下就会变成一个球。如果直接从三角形变成球体，就不太现实。正无数面体就是无穷，无穷就成为一个球。如刚才的正二十面体就很像一个球。面越多，到无数的时候就可以理解为一个球。S3：但是理解一个球和从数学上定义一个球是不一样的。可以把它想象成一个球，但是不能说是数学上的球。

9、T：今天的数学是定义的结果，但是他是分析的结果。要注意柏拉图并没有定指 出 学 生 困 惑 的义球是什么。你们数学上是从定义入手的，但是思想家们思考的时候不是从定义入手的，他是从分析入手的。定义是分析的结果，是千百年来人们不断进行分析的结果。我们今天是把结论当前提来使用，实际上前提是分析，不是定义。S3：但是数学上的定义牵扯到证明。T：对，一定要证明。所以他这是分析的结果。S1：但是我认为通过文本的阅读，柏拉图讨论的球体跟立方体不在一个系列里。柏拉图讲球体就直接是在第一部分，说它是一个自我相向的，就直接假设宇宙是这样的。我们刚才所探讨的其他图形是他在讲宇宙的具体元素时才讲到的。他讲水、火、土、

10、气，土就是正方体，最活跃的火是三角形，水是正二十面体，气是正八面体。他是在讨论这些具体的元素之前讲球体，他直接假定我们所看到的宇宙是一个圆球体。之所以这么认为是因为圆球体是自我相向着，每一个面上的点到中心的距离都一样，并且做自我旋转运动。T：我想有两点是很有意思的。第一点，柏拉图认为水、火、土、气是一个几何。这个看法和自然哲学家们对水、火、土、气的看法是不一样的。自然哲学家们泰勒斯、安娜科希曼等认为水、火、土、气只是元素，他们并没有说水、火、土、气是几何图形。虽然大家都在使用这些概念，但赋予的含义是完全不同的。这正是柏拉图的特别之处，他用数学的方式来描述水、火、土、气这些要素是什么。是从几何的

11、角度描述，而不是从它构成的特点。这是很关键的，一个人的理念是很重要的。理念不同，思想从属不同。他给水、火、土、气空间，并且描述他们的空间要素，而不是描述他们的资料要素，这两者是完全不同的。这是柏拉图思想中非常具有转折性的一部分。第二点是关于球体的问题。球体被认为是最完美的，这是希腊当时的文化信念。所以科学后面是有信念的。科学不仅是单纯的实证研究，而是有信念的支撑的实证研究。大家有没有问题？S1：其实这个就足够了，他所建构的数学模型我已经讲过了。一个就是平面上的正方形和正三角形，其中有两个是他所认为的原始三角形。这两个原始三角形是柏拉图数学模型的基础，四种元素都可以由这两种三角形拼凑出来。另外就

12、是球体。球体正如老师所说是柏拉图的信念，也是古希腊人所认为的信念，他没有从证明的角度来证明宇宙到底是什么，是基于对宇宙的想象。他所认为的宇宙是自我旋转的，球体正好是这样一种东西。这四种元素构成了宇宙的万事万物。他所建构的数学模型就是这些。但是我还有一个问题，有关宇宙的旋转问题。在 42 页 36c，他说“造物者把这整体按长度一分为二，分别取其中点相接，使其形如十字，并使它们各自弯曲，两头相接呈圆形，再在相接处两圆交叉，随后使之作原处连续运动。其一作外圈，其一作内圈。外圈为同的运动，内圈为异的运动。同的运动侧面作向右旋转，异的运动斜着作向左旋转。 ”有没有同学能上来讲解一下这个模型？T：大家谁能

13、够把这个模型弄出来？S4：我来。首先他说， “造物者把这整体按长度一分为二”，这张纸是个整体，一分为二就是从中间撕开。然后“分别取其中点相接，使其形如十字”，将两条纸的中点相接呈十字状。接着是“并使它们各自弯曲”，弯曲的方向很多，但是他说要“两头相接呈圆形”。我觉得应该是一条这样弯曲，另一条是这样弯曲。这就是两个圆。“再在相接处两圆交叉”就是这样交叉。“随后使之作原处连续运动” ，他下面有说道是一个外圈，一个内圈。为什么一个作外圈，关键之处。对学生所讲的问题进行归纳、深化、提升。鼓励学生自主学习。一个作内圈呢？理由在42 页解释 2，首先整个宇宙有一个运动，就相当于银河系会有一个运动。然后系里

14、面各自的小天体也会有运动。所以外圈的运动就是整个宇宙的运动。内圈要以两倍或三倍的距离分成7 个圈，内圈的运动就是指这7 个圈的运动。后面就比较简单，相当于现在的太阳系。他说“外圈为同的运动，内圈为异的运动，同的运动侧面向右旋转”，这就是同的。我理解的“向右”是这样的，就是顺时针旋转。“异的运动斜着向左旋转”，我觉得就是逆时针。像地球一样。他提到“斜着”可能是猜到类似地轴的东西。T：他是根据调和数的比例算出来的。S4：我以前学到的天文史知识，说天文学家在观察行星运动时有争议，不知道行星是斜着转还是直着转。他们最后猜想是斜着转。继续往下说。后面就是“造物者赋予同和整一的运动以统治权，以此保持宇宙的

15、统一完整。对于内圈运动，在六处按照双倍和三倍的间隔，划分为七个圈。 ”基本上是这个意思，就是在里面画同心圆。我开始想为什么六处会诞生七个圈呢？他所说的“六处”不是指圈而是指中间的间隔，比如这样。他没有具体说是从外向里还是从里向外。不过我猜想是从里面向外，先两倍后三倍，这也符合现在的行星运行规律，越到外面距离是越远的。 “其中三处以双倍的间隔，另三处以三倍的间隔。这两组圈作相反方向运动” 。他前面说的是七个圈，我觉得两组圈应该是去除最外面一个圈。因为最外面的圈已经规定了它的运动，然后里面三个是一个方向，外面三个是一个方向。当然他没有说里面与外面到底哪个是顺时针，哪个是逆时针。他只要符合相反原则就

16、好。然后“其中一组的三个圈的运动速度相近” ，我认为柏拉图在这里是一个猜想， 他觉得离得越近，圈越小， 它们的速度差距是越小的， 越大的话速度差距就越大。 他最后说 “所有的运动都是有比例的” ，我认为这个猜想是很到位的。因为根据万有引力定律，能够具体算出轨道运行的角速度、线速度，它们确实是有比例的。他的“有比例”应该是指宇宙中天体运行是遵循一定的规律的。这个规律后来被牛顿发现了。大家有什么问题吗？S5：他说对于内圈运动，在六处按照双倍和三倍的间隔，你为什么觉得就是按照同心圆？如果他说“对于内圈，在六处按照双倍和三倍的间隔” ，那画成同心圆我可以理解。但是他说的是运动。S4：你觉得应该怎样画？

17、我试了好几种方式，觉得只有这种比较合理。S5：但是你不能觉得它像我们现在太阳系的运动就画成这样。S4：按照柏拉图给出的数字， “内圈运动彼此相隔。 ”什么叫“内圈运动彼此相隔”？你觉得是不是同心圆？T：按照比例的话这个相隔也必须是按照比例，只有以圆形的方式运动它才能始终按照比例。S3：我还有一个问题。柏拉图认为宇宙是地球呢还是整个太阳系行星系？S4：我觉得是整个。S3：如果柏拉图已经认识到宇宙除了地球以外还有很多东西，那么这个外圈一定是个大的球体。那么这个大圈就是合理的，一定是在一个大的球体里再分成 6 个部分， 6 个间隔，是 7 个星道。S4：所以你是觉得我是正确的？S3：对的。（全班笑）

18、S5：这样理解的话，那外圈是不是就是整个宇宙，内圈就是星星?S4：我认为不能把外圈理解成整个宇宙，是外圈和外圈内的东西是整个宇宙。只不过外圈是运动的，他用外圈的运动来表示宇宙的运动。拿人体来说，整个身体在走动，但是里面的心和肺都会有各自的运动。投射到人的眼中是一个轮廓，你看到的是外面这层东西在运动。整体是包括外面这层东西加里面所有东西。S5：就是说外圈是轮廓？T：相当于直观的外表。S4：我觉得可以这么说。S6：问题就出在对于外面的轮廓我们也不是很清楚，是在猜想。如果外表都看不清楚又怎么能弄明白里面的东西。就像你说的人体内部器官也都有自己运动的轨道。怎么能想象出那些东西？我认为那 6 个圈里面的

19、东西可能是实质的，也可能是空的。不是说整个圈都是它。问题是这样的，所以很难理解。S4：我认为他说的圈还是运动轨迹。T：这里有个争论，它是运动的轨迹还是包括里面的星体。有一个核心的东西要注意：他讲到一个外圈和一个内圈，外圈是同的运动，内圈是异的运动。这是很关键的，他为什么说“外圈是同的运动”？为什么说“内圈是异的运动”？同学们需要注意，当我们讲“异”的时候，是讲有变化的。什么叫做“我不一样”呢？你今天看到这位同学是这样的， 50 年后他得了诺贝尔动物学奖，你们看我现在是这样， 50 年后我白发苍苍，拄了个拐杖，这是有变化的。“变化”是指我变形了，形状变了，眼睛、耳朵、嘴巴都挤到一块了，所以我就不

20、再像是原来的那个样子，这叫做“异” 。但是大家要注意的是，他有一个基本观念“外圈是同” ，就是内圈里面的星体、轨迹都会发生变化，但是整个外圈、整个宇宙是保持“同”的，同一的状态。希腊人有个基本的看法，只有一个宇宙，并且这个宇宙是长存的。所以这个宇宙是球体的，球体是完美的，是自足的。武侠小说里描述美女“增之一分则多，减之一分则少”，就是刚好。这个宇宙的球形就是刚好，刚好就表示“同” ，是完美。他为什么一定要设定外圈是 “同”，他是基于一个数学的模型。 为什么要基于数学模式呢？他讲到了原始三角形的问题，他说宇宙是始于原始三角形的。他认为原始三角形可以拼凑出所有合理的物体的模型，所以原始三角形可以刚

21、好拼出整个宇宙的万物，甚至拼出圆形。他整个宇宙论的想法是有一连串的考虑的，他并不是任意的设定球、原始三角形，然后同、异。这些观念并不是他任意设定的，而是有整体考虑的。他设定外圈是一个同的东西，始终是有形的。希腊人讲“形” ，一个东西好不好就是看它有没有形。S4：我开始在想一个问题，既然要分外圈和内圈，那么外圈肯定要稍微大一点，内圈稍微小一点。我觉得只能从“包含”的关系来解释，否则找不到其他理由来说明外圈要比内圈大。还有问题吗？没有好。T：我们一定要注意，科学后面是有文化的。文化为科学提供动机，这就是为什么我们要接受通识教育，从文化汇聚到知识发现上。没有文化就没有动机，你只能做一个实验，而不能做

22、出一个更广泛意义上的理念。所以你们一定要注意，文化性要素的吸取是很重要的。好，我们休息一下，一会儿继续讨论。（休息）T：我们继续。上节课一位同学把柏拉图基本的数学构做了基本介绍，另外一个同学呈现了宇宙运行的模式，我觉得很清晰。所以我们现在对于柏拉图的蒂迈欧篇宇宙论中的相关的数学模型已经比较清楚了。我们注意到很重点出争论的焦点，并通过小说、生活中的例证来帮助学生更好地理解这一问题。要的一些方面，就是我刚才提到的，科学背后的文化直觉与科学的关系。大家还需要注意柏拉图的数学宇宙论中有两个东西很重要，一个是球体，一个再次提到科学与是三角形。他通过分析三角形来呈现球体，这是找到球体和三角形之间的关文化的

23、关系，并指系，然后建立出他的数学分析方法。柏拉图认为30， 60， 90的三角形出不同文化之间是原始三角形。这一点毕达哥拉斯曾经讨论过，但是他没有清楚的说明，他的共同之处。只是说三角形是宇宙的开始。 所以毕达哥拉斯 “一生二， 二生三， 三生万物”。其实很多文化都是这么认为的，三是万物的开始。按照毕达哥拉斯的说法，三是第一个封闭图形的形成。一个事物的形成必须是封闭的，无限的事物是不存在的。还是希腊人的基本观点，有形才有事物。蒂迈欧篇很多是定量分析。做科学研究不能只做定性分析，而且要做定量分析。所以当柏拉图讲这样的三角形是万物的开始时，他已经把毕达哥拉斯的定性研究推进到定量研究。由此才会形成对音

24、乐的研究，因为音乐本质上也是一种数学，是音层的关系。钢琴里有非常复杂的音乐比例关系。同学你说说是怎样的比例关系？S5：钢琴的白健、黑健是和数学相关的，两个相邻的音是二分之一音，所以会有三度和弦，几又几分之一。T：那些发明钢琴的人如巴赫为钢琴奠定了基础，练钢琴的都要弹巴赫的，练手指的准确性，耳朵听音的准确性。这里面全部是希腊人的贡献，特别是透过柏拉图学园里面的人，如阿基米德、欧几里得等。这是上节课提到的，这节课我们继续来讲蒂迈欧篇数学宇宙论中更细节的东西，也就是涉及到调和数的问题。请同学上来讲。第二部分：学生讲解调和数S6：简单说一下调和数是什么。T：你先介绍一下蒂迈欧篇里调和数提到的内容。S6

25、：调和数是一组数据的倒数的平均数的倒数。一组数据倒数是 1/X1 ， 1/X2 1/Xn 。先说简单平均数，从X1 ，X2到 Xn ，1/X1 ，加 1/X2 一直加到1/Xn ，再除以 n，这是倒数的平均数。倒数的平均数的倒数，就是把刚才的结果取倒数。这就是简单的调和平均数，其实和平均数的定义差不多。还有一个加权平均数，其实和这个是一样的。平均数是加权平均数的一个特殊形式，加权就是加它的权重。同样的道理，加权调和平均数就是一组数据的倒数的加权平均数的倒数。还按照刚才的方式，这是一组数据的倒数，X1 的权 m1，X2 的权 m2，一直到Xn 的权 mn，这些数与各自的权重相乘，再用结果除以m1

26、 加 m2 一直到 mn，这就是一个加权平均数。 再把它倒过来， 就是加权调和平均数。平均数是分成简单平均数和加权平均数，调和数亦然。 当m1=m2=mn=1 的时候，加权就是简单平均数。简单平均数是加权平均数的一种特殊形式。它可以干什么用呢？比如我们以前算电子，并联的时候，(R1+R2)/R1R2 ，它和调和平均数的形式是很类似的，不过它是调和数的一半。还有平均速度，一段路程长是2S，在第一个 S 内速度是 V1 ，第二个是V2 ，那么平均速度是 2S 路程除以时间，时间是第一段的时间加上第二段的时间，2S/（ S/V1+S/V2 ） =2/（ 1/V1+1/V2 ），这就是调和平均数。它的

27、用途相对来说比较窄，能用平均数的时候一般不会用它。它有局限，一个数据如果是0 的话就没办法用了。所以它用的不是特别多，在一些简单场合会被用到。T：那你觉得柏拉图是用什么方法发现调和平均数的？S6：柏拉图是用比例找出来的，但是现在不会用这种方式。这里大概有他底下讲的一个和谐关系。但是他那时还是一个分析阶段，现在就不能这样讲了。他可能觉得这调和出来挺好的，有一个很好的比例关系。T：如果你发现了其他数学关系，那么柏拉图是很欢迎的。柏拉图的学园里面引导学生思考数充满了辩论，非常开放。这也使得柏拉图学园到公园529 年的时候都一直存学与音乐的关系。在，存在了将近一千年，只是那个时候被一个皇帝关闭了。他到

28、底为什么要得出这个调和平均数？他这里涉及到了9/8 的一个比例和半音， 这其实都是有考虑的。他是根据对全因和半音的理解来计算调和平均数。为什么他得出这样的调和数的算法呢？他这样不止是感觉，肯定和当时的音乐有关系。S7：当时音乐有那么发达吗？T：有。那时候就探究音层的问题，用数学来描述音乐。他后面讲的阶拍， 嗒、 进一步解释柏拉嗒、嗒就是根据这个比例来计算的。他研究的就是最简单的音乐和最简图哲学中的数学单的宇宙常数的设定。其实他不仅仅讲调和数，他是希望找到一个宇宙常数。与音乐的关系。宇宙演化是有一个基本常数的，希腊人对这一点是有信念的。这一点我们现今也论证，也会说存在一个宇宙常数。这里肯定有他的

29、考虑的，这个考虑是来自于音乐还是来自于数学？我觉得这是很有趣的。如果他对数学的研究、对宇宙常数的设想是来自于音乐对他的启发，那就很有意思。就是人从自己的听觉系统获得的启发，音乐听觉对于声音的美有一个很直接的把握。S4：我突然有一个想法。他为什么去研究数学和音乐的关系呢。大家都知道有一个神曲叫做江南Style ，当时音乐学家解释为什么这首歌会流行，是因为它的节奏符合人心跳的节奏。人是宇宙万物的一份子，其发展规律可以通过音乐体现出来。人为什么会觉得音乐好听，因为音乐符合自己的节奏。然后找出这种节奏，再用数学来描述。就是通过人的发展节奏来想万物发展的节奏。S8：我前段时间看一档节目，就是人在听音乐的

30、时候，就可以准确地说出发出这个声音需要多少毫升的水。所以声音可能是一种比例。既然如此为什么要将音乐和数学分得很清楚呢？T：那个神户牛肉听说是让牛听音乐，所以肉入口即化。我去日本的时候没有买，太贵了。这也是一件有趣的事情。S1：能不能找到古希腊人的数学与音乐的关系的资料，然后来证明柏拉图是受音乐的影响？T：应该是可以的。我上次推荐你们去看希腊的数学史。来，这位看过的同学说一下。S9：这本书从埃及之前数的起源一直讲到现在。最早的数学起源于埃及，再传到泰勒斯，然后毕达哥拉斯把数和宇宙结合起来。后面又经过英雄时代，再到柏拉图和亚里士多德的时代。柏拉图本身并没有多少数学上的成就，但是柏拉图学园里有很多数

31、学家。他的学园有规定，不懂数学的不能进入。因此那个时候数学取得了很大的进步。T：你给我们讲讲具体的内容。S9：具体是指哪方面？T：就是数学内容方面，音乐与数学以及数学本身。S9：其实早期的数学与我说的惊奇是有关系的，或者是感觉。比如毕达哥拉斯对某些数有特别的感觉，所以这些数就特别有地位。这条线我觉得就是感觉线，从感觉走向数学。再比如德谟克利特的原子论，他先想出原子论，然后再把它引到数学里。这是一种纯粹的感觉，两者相似，他就把他们连在一起。然后另外一条线就是证明。古希腊有很多数学问题需要证明，如画方为圆。S10：画方为圆就是画一个方形，一个圆形，两者面积一样。其实就是要画一个 ，在一条线上找到一

32、个 。但是这是不可能找到的。S9：关键不是怎么画出来的，而是用抽象思维来证明这些数学问题。我觉得有两条线，一条是感觉线，一条就是与现代数学相似的证明这条线。柏拉图的宇宙论基本上属于感觉线，是直观的或者从生活经验中引出的与数学相似的。T：你认为柏拉图还没有达到纯粹的数学分析？S9：对，他的目的不是为了找出数学结论，而是为了证明宇宙是多么的可信。T：所以柏拉图在蒂迈欧篇里的宇宙论的内容重要之处不在于数学而在于宇宙，是不是？S9：是。但是他的观点是对之前宇宙论的一种创新。T：大家还有没有问题，有关调和数以及柏拉图的数学和宇宙论的落脚点是在哪儿？我们需要首先考虑的是调和数的提出是基于什么？他只是出于好

33、玩，当然好玩也很重要。 但为什么好玩？吸引你的好， 你才去玩。 这个好是什么？你感觉到哪个方面的好是很重要的。譬如埃及人觉得“好”是经验上的丈量，我们把这个分好，均匀，公平，大家不吵架，当然就是好的。第二种好就是一种愉悦，我不是为了实现公正，不是为了大家不吵架，我就是为了一种愉悦感。这种愉悦感、和谐就是好。我想探究这个“和谐”到底是什么？我们探究和谐的时候，觉得和谐就是听着舒服，这是很感性的描述。但是和谐不是说说就能解决问题，还是没有解决为什么舒服。这个分析来分析去，一定要给出非常确定的东西，让我们觉得为什么舒服，为什么好。他显然是从这个角度来考虑。比如说惊奇里面，对美的惊奇是一种很重要的惊奇

34、。他对美的惊奇是用数学来描述的。所以对调和数和宇宙论之间为什么选了调和数，为什么选择音乐，最后又归到音乐里去讲调和数的问题。为什么呢？是因为对“好”的理解。哲学家们、数学家们对“好”有他们自己的理解，对“美”有他自己的理解。这是一个很重要的关联。到底希腊里面对数学和音乐的研究有没有很详尽的资料，很有说服力的研究。今天为止还没有。数学家偏重于研究数学史，音乐家基本上对数学没有概念。所以你要既是音乐家又是数学家，也就是对于音乐有数学的理解，这样的人很少。所以希腊哲学里面，最值得研究的数学和音乐的关系，至今没有。所以你看到的是数学史，而不是两者的关系史。这是很值得研究的，这是第一点。第二点呢，柏拉图

35、本人的贡献是在数学和宇宙之间寻找一种关系，一种描述关系，而这种关系在以前是不存在的。以前有谈到过一点，但不是很完整。在这个方面，柏拉图是一个理念的建立者。这是很重要的。所以我们要注意他这个方面的原则。大家看看，这里还需不需要继续讨论？S11：这里说到柏拉图要概括宇宙的本质，那么宇宙的本质是什么？T：宇宙的本质是什么？对于柏拉图而言宇宙的本质就是数学。不一定是数，但一定是数学模型，就是刚才同学讲的几何图形的变化。一般而言，大家认为毕达哥拉斯是数学与音乐关系的最早建立者。音乐很早就有，数学也很早就有，但建立两者之间的关系是更重要的。大家对调和数、音乐、数学关系上还有没有什么想法？对之前讨论的音乐与

36、数学的关系进行总结，并通过不断发问，引导学生深入思考。S9：我觉得柏拉图是有惊奇，我说的惊奇不是直接的惊奇，是出去数学论证的那种感觉都叫做惊奇。柏拉图就是想建立的宇宙还是符合他的善的理念的，是理性的。然后他通过把数学引入进来，来增强他宇宙论的理性，再达到他所说的和谐。他对数学很感兴趣，可能他并不是想单纯地论证数学问题。T：他没有解决数学问题，但是他提出几个图形。柏拉图的原创性不是在数学上，而是对“善”的数学解释上。这是很重要的。“善”这个概念大家千百年来都在使用，自有人类以来就使用。其实我相信猪也知道使用“好” ，什么东西好吃，什么东西不好吃。 “好”是大家都在用的，但是对“善”进行数学分析是

37、很少的。我们经常是凭感觉分析“好” ，好吃、好听、好看，全部表现为我的感受，表现为感觉主义的原则。但是现在柏拉图要把这个“好”拿到理性的层面去分析，这可以有各种类型的分析。对“好”分析可以通过定义，比如很多人说合乎公正是好，到这里为止就可以了，这是一个合乎理性的分析。但对于这个理性分析大家还是不满意的。哲学家认为说到这里他们还不满意， 因为什么是 “公正”，他们就开始吵。 柏拉图就跟别人吵， 有很多吵法。有借有还叫公正，马上就有反对结论，我帮助朋友杀害敌人就叫公正，马上又有反对意见。所有这些对公正的描述都是相对的描述，而不是绝对的描述。就是说到理性的层面，它仍然是个相对的描述。我能不能找到一个

38、绝对的描述？可能吗？需要用一个绝对知识，那什么绝对知识可以描述公正呢？数学可以。所以他居然能够对“善”做一个数学的分析，对“好”做一个数学的分析，是很特别的。就不仅仅是对知识的单纯的惊奇。这很有意思，把“好”的分析，“善”的分析拉到数学层面去分析，这是一种哲学建构世界的方式的形成。大家对这个问题还有什么看法？对于数学和音乐关系的分析，对“美”和“好”的分析还没有完整呈现出来。而呈现这一点是很重要的，我们在知识领域里面缺乏这一点。这种呈现的可能、呈现的能力我们是缺乏的。还有没有问题呢？如果没有的话，我们还有几个问题没有解决。同学你要解决什么问题？解释数学与善之间的关系。第三部分：学生讲解数学史以

39、及数学与音乐的关系S9：数学史。我们现在的数学显然是不包含“善”和“好坏”的，数学就是数学，数就是数。我们能够证明一个公式是正确的，是错误的。但是在数学开端人们最初发现数的时候是在工作的时候，比如他看到了 5 头牛，然后又看到了 5 头羊， 发现他们有共同的东西， 就是这个 “ 5”。刚开始并没有把 “ 5” 说出来，后来通过人们直观的感受，发展出了数，然后又发展出了数的好多理论。在早期数学里面有一个明显的特征，就是我说的感觉、惊奇。比如人们看到外面有 7 个星体，就把“ 7”的地位推得很高，就觉得“ 7”有一种神圣的力量。这是数学上和感觉结合的线，包括信念、理念。另一条数学线就是纯粹的数学证

40、明。就比如刚才说的画方为圆，为什么会有这个问题呢？就是古希腊人想通过尺规画出一个和正方形面积一样大的圆。这个就不涉及善，不涉及好坏，仅仅涉及一个数学问题，就是能不能把这个圆画出来。后面的数学家也一直在讨论这个问题。从这儿我们可以看出这就是数学不包含理念和信念的这一部分。这两条路线很明显，一条就是包含信念，一条就是不包含信念。柏拉图是包含信念这条路上的集大成者。在他之前古希腊数学最早从泰勒斯开始，他提出了一些几何学上的证明，然后又提出数是神圣的。毕达哥拉斯提出了好多数学定理，如勾股定理。但是他后来又赋予这些定理神秘主义色彩，如因为有10 个天体，所以“10”这个数很神圣，还有“7”是美德，“ 6

41、”是公正等。这里还是混沌的，到了柏拉图就完全把数和形归到宇宙上。 5 个正多面体组成宇宙，还有水、火、土、气之间的数学关系，他完全用数学来论证宇宙论。他说水、火、土、气这些数目，运动的比例性质都是神以精确性来实现这一切的，这些都是神安排的。但是这里有一个条件，就是这些属于必然性的性质愿意听从劝说，就是说水、火、土、气这些东西是神按照它本来的性质来却说它们符合这种数学比例。这里面有一个矛盾就是必然性和劝说，必然性就不用劝说。T：为什么？必然性你未必一定接受。我跟你讲，共产主义是一定要实现的，你不相信，那只能劝说你。S9：对的，我就是先提出这个矛盾，准备说明，老师解释的也比较正确。我解释是从另一方

42、面。水、火、土、气有其本来的性质，神看到这些性质，就通过它们本来的性质来劝说这些事物该干什么。T：我们休息一下。（课间休息）S9：刚才讲到这个比例是和神的安排有关系，最终达到和谐的状态。从这里可以看出，最终目的还是要符合善的理念，这是柏拉图一贯的思想。明显可以看出他是将理念和数学结合到一块的，而不是单纯地讨论数学的证明问题。这和另一条路线上的数学显然是不一样的。另一条线上的数学的代表是欧几里得、阿基米德这些人。当然欧几里得也与柏拉图有关系。欧几里得的几何原本是比较著名的一本数学教材，主要内容是一些定理及对一些问题的证明。现代数学证明也是这个思路，但是更加复杂、具体、细微。这两条线就完全分开了。

43、柏拉图之后的发展，就没有再是数学和哲学上的结合。所以我们现在的数学发展下来就是纯数学。还有之前人的数学和宇宙的关系，刚才讲到的德谟克利特在数学上有很多成就。其中一个是他想证明三棱柱是三个等高同底的三棱锥的体积之和，以及圆柱是三个等高同底的三棱柱的体积之和。他想证明这一点，但是需要用到微积分的知识。他那时没有证明出来，但是他的思路是想要用一个无限小的形式，将锥放到无限小的层面然后叠加起来。这是受到了他原子论的影响。泰勒斯的数学与宇宙论没有太大关系。T：你们觉得数学和善没有关系吗？S9：我觉得没有关系。T：你觉得没有关系，那数学是什么？S9：数学就是数学。T：数学就是数学。那什么引导数学家去解决问

44、题？S9：肯定有多种。有些人为了荣誉，有些人为了追求数学本质，有些人可能是一种习惯。T：你觉得和善没有关系？S9：可以有关系。比如数学家把数学应用到生活中，拿数学来救人，这当然有关系。但是数学本身没有很多与善相关的部分。T：我们两朋友之间始终有分歧。我明白你的意思，就是纯粹知识，就是碰到问题，把问题解决掉。物理学上描述宇宙的时候有困难，需要用数学去解决。我完全是出于兴趣。S9：对，数学家可以有公正的信念，有追求善的信念。他把数学用于药品研究，研究出治愈癌症的药物。这是一件善事，但是和数学本身并没有太大关根据学生的回答不断发问，帮助学生完善自己的观点。系。S11：我觉得现在自然科学如此发达使得我

45、们可以用数学来描述这些。我觉得用善来看待数学是在自然科学的影响下的。S9：我觉得老师认为善是高于一切的。T：我觉得自然科学是解决不了善的，自然科学只能解决部分善。所以数学也不可避免是受到善的引导的。S9：我觉得它本身不包含善。T：不包含伦理意义上的。S9：是的，不包含伦理意义上的。T：大家看，这也是一个争论的主题，是现代人文主义对科学的批评。科学已经非常技术化了，科学失去了求真、求善、求美的态度。读现代哲学的时候，就会发现后现代哲学为什么把现在这个时代叫做“技术的时代”？当科学失去真善美的时候，科学就变成技术。如果你问理论物理学家，他是不屑于承认科学是技术的。技术是做鞋，我不是做鞋的。为什么科

46、学沦为技术？就因为科学失去了求真、求善、求美的理念。科学与技术的根本区别在哪里呢？对于哲学家来讲，就是哲学的理念。科学从根本意义上讲和哲学是一家的。技术和鞋匠是一家的。技术是工具，科学不是工具。科学是求知，技术不是求知，技术就是有用的，是工具性的。你想想看，当阿基米德在做题目，罗马士兵要杀他，他说你等一等，让我把题目做完。要注意，阿基米德在这里享受的是多大的善啊！他不是在追求善，他已经在享受善了。S9：他是在享受善，但不能说他研究的东西就是善。T：对，他研究的并不一定就是善，他离善还差一步。因为善到最后是哲学研究。S9：阿基米德研究数学最后被捅死，不能说明数学和哲学的关系。就像一个鞋匠，他特别

47、热爱制鞋，士兵来的时候，他说让我缝完最后一针，然后就被捅死了。那我们难道就能说制鞋这项技术就像哲学一样富有理念吗？S11：当一个鞋匠有这种状态时，制鞋对他而言就不仅仅是一种技术了。S9：对，所以是鞋匠的状态是善，而非他研究的技术是善。T：你把这两个分开也是有道理的。后古主义与目的论之间是永远有争议的。你讲的是后古主义而非目的论的问题。你把目的论转化为后古主义来讨论，但阿基米德肯定是拒绝把后古主义转化为目的论来讨论。好，我们还有两位同学要讲。第四部分：学生讲解“弦理论”S12：现在的“弦理论”可以作为一个对宇宙的大致理解。“弦理论”的基本要点是世界的本质是弦状物而非夸克、原子等点状物，并且这些点

48、状物一根一根的弦的振动来表现出它们的形式。世界大小是 70 亿光年，我们之所以觉得宇宙是无限的，是因为它内部有无数的反射。无数的反射给我们一中万花筒的感觉，就好像看到的空间是无限的。此外，我们生活的空间是一个膜，是一个 D-3 膜。我们说的宇宙在膨胀不是真的在膨胀，就像气球一样，我们是生活在气球的皮上。这是现代的“弦理论”对宇宙形象的一种几何解释。它应用于现代数学中，但是没有直接用数学本质来解释。它只是把数学作为一种工具。S9：“弦理论”中描述多维空间，叫“卡丘空间”。这一发现是物理学上的发指出现代人文主义与科学之间的争议。展，并且推动了数学发展。这一空间是完全符合数学模型的。物理学上的猜想通

49、过数学家来验证。S12：所以大家还是把数学作为一种工具。T：所以你们不满足于工具，就来到哲学里。好，我们请最后一位同学对康福德做一下介绍。第五部分：学生讲解康福德的相关理念S13：他说的天文学的模型，同的运动是同心圈的运动，异的运动也受到同的运动的影响。这是两个圈的相互作用。他们观察到行星做的不是圆周运动，我们从地球上看恒星圈做的是圆周运动。所以他们认为同的运动是比较完美的，异的运动是行星的运动。有关宇宙灵魂结构的谢文郁直接用了康福德的翻译。现在学者比较认同的是，同和异是要通过通种论来解释的。存在、同、一是通种论中三个最重要的种。事物有存在这个种，它与自然相同，就是有同，与他物相异，就是有异。宇宙灵魂体现出一种理智，在理智去认识宇宙时，需要区分出同、异，这就构成宇宙。人类灵魂是宇宙灵魂的一些碎片，所以人类灵魂中也存在同异。造物者把剩下的材料再一次搅拌，造成人类灵魂，所以是一种残余。人的理性与宇宙灵魂的相似之处在于也可