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文档简介

1、 6.5 反常积分初步一、无穷限积分二、瑕积分b三、 函数与 函数1. 定义定义定义定义6.2.),)()316(d)(,)()(),)(上的无穷限积分上的无穷限积分在无穷区间在无穷区间为为符号符号上可积,则称上可积,则称在在,且对任意实数且对任意实数上有定义,上有定义,在区间在区间设函数设函数 axfxxfbaxfabbaxfa一、无穷限积分.d)()326(符号,无数值意义符号,无数值意义发散,这时它只是一个发散,这时它只是一个分分不存在,则称无穷限积不存在,则称无穷限积若极限若极限 axxf)336(d)(limd)( babaxxfxxf穷限积分的值,记作穷限积分的值,记作并且定义极限

2、值为该无并且定义极限值为该无收敛,收敛,存在,则称无穷限积分存在,则称无穷限积分若极限若极限 ababxxfxxfd)()326(d)(lim定义定义6.3.,()()236(d)(,)()(,()(上的无穷限积分上的无穷限积分在无穷区间在无穷区间为为上可积,则称上可积,则称在在,意实数意实数上有定义,且对任上有定义,且对任在区间在区间设设bxfxxfbaxfbaabxfb )336(d)(limd)(d)(d)(lim baabbbaaxxfxxfxxfxxf收敛,且收敛,且存在,称无穷限积分存在,称无穷限积分若极限若极限.d)(发散发散称无穷限积分称无穷限积分若上述极限不存在,则若上述极限

3、不存在,则 bxxf定义定义 6.4)346(d)(d)(d)(d)(d)(d)(),()( ccccxxfxxfxxfxxfxxfxxfcxf收敛,记作收敛,记作分分都收敛,则称无穷限积都收敛,则称无穷限积与与,积分,积分实数实数内有定义,若对任意内有定义,若对任意在在设设.d)(发散发散称积分称积分,则,则,只要有一个积分发散,只要有一个积分发散当上式右端两个积分中当上式右端两个积分中 xxf例例 1讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性 :;d11)1(02xx ;de)2(0 xx .dsin)3(xx 解解,有,有对任意对任意0)1( bbbxxx002arctand1

4、1 barctan ,且由于且由于2arctanlim bb.2d1102收敛于收敛于因此因此xx ,有,有对任意对任意0)2( b00edebxbxx be1 .1de0收敛于收敛于因此因此xx ,且由于且由于0elim bb,和和中包含两个无穷限积分中包含两个无穷限积分由于由于xxxxxxdsindsindsin)3(00 bbxxx00cosdsin bcos1 不存在,不存在,且由于且由于bbcoslim,中,对任意中,对任意在在0dsin0 bxx发散,发散,因此因此xxdsin0 .dsin发散发散从而从而xx 性质性质 6.6.)(d)(d)(的敛散性的敛散性具有相同具有相同与与

5、abxxfxxfba 性质性质 6.7.)0(d)(d)(有相同的敛散性有相同的敛散性具具为常数为常数与与 axxfxxafaa性质性质 6.8收敛,且收敛,且收敛,则收敛,则与与设设 aaaxxgxfxxgxxfd)()(d)(d)(.d)(d)(d)()( aaaxxgxxfxxgxf.d)(莱布尼茨公式莱布尼茨公式的牛顿的牛顿的计算也有类似的计算也有类似关于无穷限积分关于无穷限积分 axxf性质性质 6.9)356()()()(d)()(lim)()(lim),)()( affxfxxfxffxfaxfxfaaxx,则,则存在,记存在,记且且上的原函数,上的原函数,在在是是设设而且定积分

6、的换元法在无穷限积分中也成立而且定积分的换元法在无穷限积分中也成立 .例例 2讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性 .;de)1(0 xxx;d)2(1 pxx;de1e)3(2 xxx.d)4(12 xxx解解由分部积分公式可得由分部积分公式可得)1( 00dedexxxxx 00deexxxx 0ex1 xxxxx elime0其中其中要注意,不能出现如下运算要注意,不能出现如下运算 ee0 xx.0elim xxx0 时,时,当当1)2( p 11lnd1xxx ,时时当当1 p 1111d1pxxxpp 1111ppp,时发散,时发散,在在故故1d11 pxxp.111

7、 pp时收敛于时收敛于在在由于由于)3( xxxxx22e1dede1e,则,则令令xte 0221de1dettxx 0arctant2 由于由于)4( 112)1(ddxxxxxxxxxd1111 11lnxx2ln 2 . 无穷限积分敛散性的判别无穷限积分敛散性的判别为保号函数为保号函数)()1(xf引论引论存在,且存在,且界,则极限界,则极限下下上上,且有,且有减减上单调递增上单调递增在区间在区间若若axfaxfx )(lim)()(),)(),)()( axaxfaxf, 定理定理 6.6)()(0,)()()(xgxfxbaxgxf 时,时,上可积,且上可积,且间间在任意有限区在任

8、意有限区,若若比较判别法比较判别法.d)(d)(发散发散发散时,发散时,当当 aaxxgxxf;收敛收敛收敛时,收敛时,那么当那么当 aaxxfxxgd)(d)(证明证明时,时,由于由于x)()(0 xgxf 时,时,使得,使得因此存在因此存在), mxam)()(0 xgxf 具有相同的敛散性,具有相同的敛散性,与与注意到注意到 maxxfxxfd)(d)(.”来证明定理的结论”来证明定理的结论因此对积分限为“因此对积分限为“ m的单增函数,的单增函数,是是,由于由于bxxgxxfbmbm d)(d)(收敛时,由引理可知收敛时,由引理可知当当 mxxgd)( bmxxfbfd)()( bmx

9、xgd)( mxxgd)(从而再次由引理知道极限从而再次由引理知道极限 mbxxfbfd)()(lim收敛;收敛;存在,故存在,故 mxxfd)(必发散,必发散,发散时,发散时,当当 mmxxgxxfd)(d)(收敛,收敛,若不然由刚才所证可得若不然由刚才所证可得 mxxfd)(.产生矛盾产生矛盾定理定理 6.7lxgxfbaxgxfx )()(lim,)()()(上可积,若上可积,若有限区间有限区间为非负函数,且在任何为非负函数,且在任何,设设比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式那么有如下结论成立那么有如下结论成立 :;相同的敛散性相同的敛散性有有与与时,积分时,积分当当 aaxxgxx

10、fld)(d)(0)1(;收敛收敛收敛,则收敛,则时,若时,若当当 aaxxfxxgld)(d)(0)2(.d)(d)()3(发散发散发散,则发散,则时,若时,若当当 aaxxfxxgl 定理定理 6.8lxfxbaxfaxxfpx )(lim,)(),0)()(上可积,如果上可积,如果在任意有限区间在任意有限区间,且,且,设设柯西判别法柯西判别法则有下列结论成立则有下列结论成立 :收敛;收敛;,则,则时,若时,若当当 axxfpld)(10)1(.d)(10)2(发散发散,则,则时,若时,若当当 axxfpl例例3 3判别下列无穷限积分的敛散性判别下列无穷限积分的敛散性 :;de)1(02

11、xx.dln1)2(2 xx解解具有相同的敛散性,具有相同的敛散性,与与由于由于 10dede)1(22xxxx 11edexxxe1 收敛,收敛,知道知道故由定理故由定理 1de5 . 62xx,时,时,且且xxx 21,从而从而xx ee2.de02收敛收敛因此因此 xx由于由于)2( xxxlnlim,发散发散且且 2d1xx.dln17 . 62发散发散知道知道从而由定理从而由定理 xx(2) 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义 6.5;绝对收敛绝对收敛收敛,则称无穷限积分收敛,则称无穷限积分且无穷限积分且无穷限积分上可积,上可积,在任何有限区间在任何有限区间若函数若函数 a

12、axxfxxfbaxfd)(d)(,)(绝对收敛;绝对收敛;收敛,则称无穷限积分收敛,则称无穷限积分若若 ccxxfxxfd)(d)(.d)(d)(绝对收敛绝对收敛收敛,则称无穷限积分收敛,则称无穷限积分若若 xxfxxf定义定义 6.6件收敛;件收敛;条条发散,则称无穷限积分发散,则称无穷限积分无穷限积分无穷限积分收敛收敛无穷限积分无穷限积分且且上可积上可积在任何有限区间在任何有限区间若函数若函数 aaaxxfxxfxxfbaxfd)(d)(,d)(,)(.)d(d)(d)(d)()d(d)(条件收敛条件收敛)(发散,则称发散,则称)()收敛,)收敛,(若若 cccxxfxxfxxfxxfx

13、xfxxf.)d(,)d(d)(,)d(,)d(d)(一定收敛一定收敛那么那么绝对收敛绝对收敛若若 xxfxxfxxfxxfxxfxxfcaca结论结论例例 4判别下列无穷限积分的敛散性判别下列无穷限积分的敛散性 :;dsin)1(1 xxx. )0(dsine)2(1 xxxxp解解,有,有对任何对任何1)1( b bbxxxxx11dcos1dsinxxxxxbbdcoscos121 bxxxbb12dcoscos1cos.0coslim bbb注意到注意到.dcosdsin121同时收敛或者同时发散同时收敛或者同时发散与与因此因此 xxxxxx,dcos12中中在在 xxx,1cos22

14、xxx 1212dcosd1绝对收敛,绝对收敛,收敛知道收敛知道由由xxxxx收敛,收敛,收敛,收敛,从而从而 112dsindcosxxxxxx收敛,收敛,同理可得同理可得 1d2cosxxxxxxx2sinsin xx22cos1 0 另外另外收敛,收敛,发散,发散,由于由于 11d22cosd21xxxxx发散,发散,因此因此 1d22cos1xxx发散,发散,知道知道根据定理根据定理 1dsin6 . 6xxx.dsin1条件收敛条件收敛从而从而 xxx(2) 由于由于xpxpxxx esine0elim21 xpxx ,时,时,从而从而xxpxpxxx 2121ee1e 收敛,收敛,

15、的收敛性知的收敛性知由由 1121dsinedexxxxxpx .dsine1绝对收敛绝对收敛即即 xxxxp 1 . 定义定义定义定义 6.7收敛,收敛,存在,则称瑕积分存在,则称瑕积分若极限若极限上的瑕积分上的瑕积分在在为为称称的瑕点,的瑕点,为为时无界,则称时无界,则称在在但但上可积,上可积,在在,对任意对任意上有定义,并且上有定义,并且在区间在区间设函数设函数 bababaxxfxxfbaxfxxfxfaaxxfbaxfabbaxfd)(d)(lim.,()(d)()()(,)()0(0,()(0 即即并以此极限值为其值,并以此极限值为其值,)366(d)(limd)(0 babaxx

16、fxxf 二、瑕积分.d)(发散发散积分积分若极限不存在,则称瑕若极限不存在,则称瑕 baxxf的收敛性:的收敛性:可以类似地定义瑕积分可以类似地定义瑕积分时无界,时无界,在在为瑕点时,即函数为瑕点时,即函数当当 baxxfbxxfbd)()()376(d)(limd)(d)(d)(lim00 babababaxxfxxfxxfxxf即即且定义其值为极限值,且定义其值为极限值,敛,敛,收收存在,称瑕积分存在,称瑕积分若若.d)(d)(lim0发散发散不存在,则称瑕积分不存在,则称瑕积分若极限若极限 babaxxfxxf ,时无界时无界当当cx bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)()

17、386(d)(limd)(lim00 bccaxxfxxf .d)(发散发散否则称瑕积分否则称瑕积分 baxxf,内部一点内部一点在在一般地,如果一般地,如果cbaxf),()(,bca 即即收敛,且收敛,且收敛时,称瑕积分收敛时,称瑕积分皆皆与与那么规定两个瑕积分那么规定两个瑕积分 babccaxxfxxfxxfd)(d)(d)(例例 5讨论下列瑕积分的敛散性:讨论下列瑕积分的敛散性:;d)1(1)2(20 32 xx;dln)1(10 xxx.d)(1)3( bapxax解解. )1 , 0(0)1( 是瑕点,对任意是瑕点,对任意x 11dln2dln xxxxx 11d1ln2 xxxx

18、)2ln(21 x 44ln2 ,由洛必达法则得由洛必达法则得0lnlim0 ,则则4dlnlim10 xxx.4dln10 收敛于收敛于即瑕积分即瑕积分xxx是瑕点,是瑕点,1)2( x 10301032013limd)1(1limxxx)1(lim330 3 ;收敛于收敛于因此瑕积分因此瑕积分3d)1(110 32 xx,收敛于收敛于同样可求得瑕积分同样可求得瑕积分3d)1(121 32 xx,先考虑瑕积分先考虑瑕积分 10 32d)1(1xx.6d)1(120 32 收敛于收敛于因此瑕积分因此瑕积分xx是瑕点,是瑕点,ax )3(babaaxxax lnd1 ln)ln( ab时,时,1

19、 pbapbappaxxax 1)(d)(11 1,1)(1,1ppabpp时,时,对任何对任何1),0( pab )(1111ppabp 因此因此 bapbapxaxxax d)(1limd)(10时发散;时发散;当当即瑕积分即瑕积分1d)(1 pxaxbap.1)(11pabpp 时收敛于时收敛于当当例例 6 判断下列瑕积分的敛散性:判断下列瑕积分的敛散性:;d1)1(022 axxa.d1)2(11 xx解解是瑕点,是瑕点,ax )1( 20022dcoscosd1xtataxxaa 20dt,2 .2d1022收敛于收敛于即瑕积分即瑕积分 axxa,则,则令令taxsin 是瑕点,是瑕

20、点,0)2( x,与与分别考虑瑕积分分别考虑瑕积分 1001d1d1xxxx.d1)3(511发散发散的结论知的结论知由例由例 xx注意注意 以下计算是错误的:以下计算是错误的:1111lnd1 xxx, 0 .0ln1点不连续点不连续在在的原函数的原函数这是因为这是因为 xxx2 . 瑕积分敛散性的判别瑕积分敛散性的判别定理定理 6.9上可积,上可积,间间在任何区在任何区,设函数设函数比较判别法比较判别法), 0(,)()()(abbaxgxf )(lim,)(limxgxfaxax时,时,且且,(bax )()(0 xgxf 那么有下列结论成立:那么有下列结论成立:收敛;收敛;收敛,则瑕积

21、分收敛,则瑕积分若瑕积分若瑕积分 babaxxfxxgd)(d)(.d)(d)(发散发散发散,则瑕积分发散,则瑕积分若瑕积分若瑕积分 babaxxgxxf定理定理 6.10,), 0(,()()()(上可积上可积,何区间何区间上为非负函数,且在任上为非负函数,且在任在在,设设比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式abbabaxgxf lxgxfxgxfaxaxax )()(lim,)(lim,)(lim那么有下列结论成立:那么有下列结论成立:;敛散性敛散性具有相同的具有相同的与与时,时,当当 babaxxgxxfld)(d)(0;收敛收敛收敛,则收敛,则时,若时,若当当 babaxxfxxg

22、ld)(d)(0.d)(d)(发散发散发散,则发散,则时,若时,若当当 babaxxfxxgl.)(1)(时,则有下面的判别法时,则有下面的判别法当取当取paxxg 定理定理 6.11上可积,且上可积,且,在任何区间在任何区间设设柯西判别法柯西判别法), 0(,)()(abbaxf lxfaxxfpaxax )()(lim,)(lim那么那么收敛;收敛;,则,则时,若时,若当当 baxxfpld)(10.d)(10发散发散,则,则时,若时,若当当 baxxfpl例例 7判别下列瑕积分的敛散性:判别下列瑕积分的敛散性:;d)1ln()1(10 xxxp.d)1()2(10 xxxqp解解时,时,

23、当当0)1( p可能是瑕点,可能是瑕点,0 x,0 时时注意到注意到 x,1)1ln(,)1ln(1 ppxxxxx时收敛,时收敛,时发散,当时发散,当当当由由1111d1101 ppxxp.22d)1ln(10时发散时发散时收敛,当时收敛,当当当可知可知 ppxxxp都是瑕点,都是瑕点,与与时,时,当当1000)2( xxqp是瑕点,是瑕点,时,时,当当00 xppqpxxx)1( 210210d1dxxxxpp而而.d)1(d)1(121210 xxxxxxqpqp与与因此分别考虑因此分别考虑中,中,在在 210d)1(xxxqp时,时,且且 0 x.1,1d)1(210时发散时发散当当时

24、收敛时收敛当当因此因此 ppxxxqp时发散,时发散,当当时收敛,时收敛,当当11 pp.11d)1(121时发散时发散时收敛,当时收敛,当当当同理可得同理可得 qqxxxqp.11d)1(10其余情况皆发散其余情况皆发散时收敛,时收敛,且,且当当因此因此 qpxxxqp例例 8.de01的敛散性的敛散性讨论反常积分讨论反常积分 xxx 解解瑕点,瑕点,时,时,当当01 x ,dedede1110101 xxxxxxxxx ,又有无穷限积分,又有无穷限积分瑕积分瑕积分中既有中既有这时这时时,时,中,中,在在 0de101xxxx 11e xxx时发散,时发散,时收敛,当时收敛,当当当由于由于1

25、111d1d101101 xxxx知道它是收敛的;知道它是收敛的;,由例,由例对于对于)2(4de11 xxx 收敛,收敛,时时因此当因此当 01de0 xxx .de001发散发散时时当当 xxx b函数函数 .1函数,记为函数,记为的函数称为的函数称为为参变量为参变量作作称为参变量称为参变量其中其中反常积分反常积分 )(de01xxx)396(de)(01 xxx 性质性质6.10满足下列关系:满足下列关系:)( ; )()1()1( ;1)1()2( . )(!)1()3(为自然数为自然数nnn 三、 函数与 函数证明证明 由分部积分公式可得由分部积分公式可得 0de)1(xxx 0dexx 010deexxxxx )( 0de)1(xx 0ex1 ,则,则中取中取在在n )()1()()1(nnn )1(

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