Matlab 参数估计与假设检验PPT课件

1、教 材第1页/共70页主要内容主要内容 常见分布的参数估计常见分布的参数估计 正态总体参数的检验正态总体参数的检验 分布的拟合与检验分布的拟合与检验 核密度估计核密度估计第2页/共70页第一节 常见分布的参数估计第3页/共70页一、分布参数估计的一、分布参数估计的MATLAB函数函数第4页/共70页% 定义样本观测值向量定义样本观测值向量 x = 15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87;% 调用调用normfit函数求正态总体参数的最大似然估计和置信区间函数求正态总体参数的最大似然估计和置信区间% 返回总体均值的最

2、大似然估计返回总体均值的最大似然估计muhat和和90%置信区间置信区间muci，% 还返回总体标准差的最大似然估计还返回总体标准差的最大似然估计sigmahat和和90%置信区间置信区间sigmaci muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit(x,0.1)第5页/共70页 x = normrnd(10,4,100,1); phat,pci = mle(x) phat,pci = mle(x,distribution,normal) phat,pci = mle(x,pdf,normpdf,start,0,1) phat,pci = mle(x,cdf,nor

3、mcdf,start,0,1)【例例】调用调用normrnd函数生成函数生成100个服从均值为个服从均值为10，标准差为，标准差为4的正态分布的随机数，然后调用的正态分布的随机数，然后调用mle函数求均值和标准差的最大函数求均值和标准差的最大似然估计。似然估计。第6页/共70页phat = mle(data)phat,pci = mle(data). = mle(data,distribution,dist). = mle(data,.,name1,val1,name2,val2,.). = mle(data,pdf,pdf,cdf,cdf,start,start,.). = mle(data

4、,logpdf,logpdf,logsf,logsf,start,start,.). = mle(data,nloglf,nloglf,start,start,.)补充：补充： mle函数的调用格式：函数的调用格式：第7页/共70页第二节 正态总体参数的检验第8页/共70页一、总体标准差已知时的单个正态总体均值的一、总体标准差已知时的单个正态总体均值的U检验检验调用格式：调用格式：h = ztest(x,m,sigma)h = ztest(.,alpha)h = ztest(.,alpha,tail)h = ztest(.,alpha,tail,dim)h,p = ztest(.)h,p,ci

5、 = ztest(.)h,p,ci,zval = ztest(.) ztest函数函数20( ,)XN 总体：12,nXXX样本：001000100010:, : .:, :, :HHHHHH假设：第9页/共70页 x = 97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103;% 调用调用ztest函数作总体均值的双侧检验，函数作总体均值的双侧检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，均值的置信区间值，均值的置信区间muci，检验统计量的观测值，检验统计量的观测值zval h,p,muci,zval = ztest(x,100,2

6、,0.05)% 调用调用ztest函数作总体均值的单侧检验函数作总体均值的单侧检验 h,p,muci,zval = ztest(x,100,2,0.05,right)第10页/共70页二、总体标准差未知时的单个正态总体均值的二、总体标准差未知时的单个正态总体均值的t检验检验调用格式：调用格式：h = ttest(x)h = ttest(x,m)h = ttest(x,y)h = ttest(.,alpha)h = ttest(.,alpha,tail)h = ttest(.,alpha,tail,dim)h,p = ttest(.)h,p,ci = ttest(.)h,p,ci,stats =

7、 ttest(.) ttest函数函数2( ,)XN 总体：12,nXXX样本：001000100010:, : .:, :, :HHHHHH假设：第11页/共70页% 定义样本观测值向量定义样本观测值向量 x = 49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9;% 调用调用ttest函数作总体均值的双侧检验，函数作总体均值的双侧检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，均值的置信区间值，均值的置信区间muci，结构体变量，结构体变量stats h,p,muci,stats = ttest(x,50,0.05)第12页/共70页三、总体标准差未

8、知时的两个正态总体均值的比较三、总体标准差未知时的两个正态总体均值的比较 t检验检验调用格式：调用格式：h = ttest2(x,y)h = ttest2(x,y,alpha)h = ttest2(x,y,alpha,tail)h = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype)h = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype,dim)h,p = ttest2(.)h,p,ci = ttest2(.)h,p,ci,stats = ttest2(.) ttest2函数函数211(,)XN 总体1：112,nXXX样本1：012112012112012112:,

9、:, :, :HHHHHH假设：222(,)YN 总体2：212,nY YY样本2：第13页/共70页第14页/共70页% 定义甲机床对应的样本观测值向量定义甲机床对应的样本观测值向量 x = 20.1, 20.0, 19.3, 20.6, 20.2, 19.9, 20.0, 19.9, 19.1, 19.9;% 定义乙机床对应的样本观测值向量定义乙机床对应的样本观测值向量 y = 18.6, 19.1, 20.0, 20.0, 20.0, 19.7, 19.9, 19.6, 20.2; alpha = 0.05; % 显著性水平为显著性水平为 tail = both; % 尾部类型为双侧尾部

10、类型为双侧 vartype = equal; % 方差类型为等方差方差类型为等方差% 调用调用ttest2函数作两个正态总体均值的比较检验，函数作两个正态总体均值的比较检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，均值差的置信区间值，均值差的置信区间muci，结构体变量，结构体变量stats h,p,muci,stats = ttest2(x,y,alpha,tail,vartype)第15页/共70页四、总体均值未知时的单个正态总体方差的卡方检验四、总体均值未知时的单个正态总体方差的卡方检验调用格式：调用格式：H = vartest(X,V)H = vartest(X,V,alpha)H

11、 = vartest(X,V,alpha,tail)H,P = vartest(.)H,P,CI = vartest(.)H,P,CI,STATS = vartest(.). = vartest(X,V,alpha,tail,dim) vartest函数函数2( ,)XN 总体：12,nXXX样本：222200102222001022220010:, :, :, :HHHHHH假设：第16页/共70页% 定义样本观测值向量定义样本观测值向量 x = 49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9; var0 = 1.5; % 原假设中的常数原假设中的常

12、数 alpha = 0.05; tail = both; % 尾部类型为双侧尾部类型为双侧% 调用调用vartest函数作单个正态总体方差的双侧检验，函数作单个正态总体方差的双侧检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，方差的置信区间值，方差的置信区间varci，结构体变量，结构体变量stats h,p,varci,stats = vartest(x,var0,alpha,tail)第17页/共70页五、总体均值未知时的两个正态总体方差的比较五、总体均值未知时的两个正态总体方差的比较 F 检验检验调用格式：调用格式：H = vartest2(X,Y)H = vartest2(X,Y,a

13、lpha)H = vartest2(X,Y,alpha,tail)H,P = vartest2(.)H,P,CI = vartest2(.)H,P,CI,STATS = vartest2(.). = vartest2(X,Y,alpha,tail,dim) vartest2函函数数211(,)XN 总体1：112,nXXX样本1：222201211222220121122222012112:, :, :, :HHHHHH假设：222(,)YN 总体2：212,nY YY样本2：第18页/共70页% 定义甲机床对应的样本观测值向量定义甲机床对应的样本观测值向量 x = 20.1, 20.0, 1

14、9.3, 20.6, 20.2, 19.9, 20.0, 19.9, 19.1, 19.9;% 定义乙机床对应的样本观测值向量定义乙机床对应的样本观测值向量 y = 18.6, 19.1, 20.0, 20.0, 20.0, 19.7, 19.9, 19.6, 20.2; alpha = 0.05; tail = both; % 尾部类型为双侧尾部类型为双侧% 调用调用vartest2函数作两个正态总体方差的比较检验，函数作两个正态总体方差的比较检验，% 返回变量返回变量h，检验的，检验的p值，方差之比的置信区间值，方差之比的置信区间varci，结构体变量，结构体变量stats h,p,var

15、ci,stats = vartest2(x,y,alpha,tail)第19页/共70页第三节 分布的拟合与检验第20页/共70页一、案例描述一、案例描述现有某两个班的某门课程的考试成绩，如下表试根据以上数据，推断总成绩数据所服从的分布。第21页/共70页二、描述性统计量二、描述性统计量1. 1. 均值：均值：;11 niiXnX2. 2. 方差：方差：2211()1niiSXXn3. 3. 标准差：标准差：211()1niiSXXn第22页/共70页4. 4. 最大值和最小值：最大值和最小值：5. 5. 极差：极差：(1)12min,nXXXX6. 6. p p分位数：分位数：(1)()(1

16、),12nppnpnpXnpmXXnp若不是整数， 若是整数( )12max,nnXXXX( )(1)nRangeXX第23页/共70页7. 7. k k阶原点矩：阶原点矩：8. 8. k k阶中心矩：阶中心矩：11,1, 2,nkkiiAXkn9. 9. 偏度：偏度：11() ,2,3,nkkiiBXXkn311.52BB10. 10. 峰度：峰度：42223BB第24页/共70页三、统计图三、统计图1. 1. 样本的频数分布与频率分布样本的频数分布与频率分布将样本观测值12,nx xx从小到大排列得：，列出样本频率分布表如下(1)(2)( ) lxxx11nfn22nfnllnfn第25页

17、/共70页(1) (1) 称函数(1)( )(1)1( )0( )1,2,11inkiiklxxF xfxxxilxx为样本分布函数（或经验分布函数）。它满足分布函数所具有的性质。2. 2. 样本经验分布函数图样本经验分布函数图第26页/共70页(2) 格里汶科定理格里汶科定理设总体X 的分布函数为F(x)，样本limsup |( )( )| 01nnxPF xF x 此定理表明：当样本容量n n相当大时，经验分布函数是总体分布函数的一个良好的近似。12,nXXX的经验分布函数为Fn(x)，则有第27页/共70页(1)(1)找出样本观测值的最小值x(1)和最大值x(l) ；011kkatttt

18、b(2)(2)取ax(1)和bx(l) ，将区间a,b分成k个子区间；01121 , ,( ,(,kkt tt ttt(3)(3)计算样本观测值落入各子区间内的频数ni 和频 率 ；iinfn(4)(4)在x 轴上以各子区间为底边，以ni（或 ） 为高作小矩形即得频数（或频率）直方图。1iiiftt3. 3. 频数与频率直方图频数与频率直方图第28页/共70页4. 4. 箱线图箱线图 设 为总体X 的一个样本，样本观测值12,nXXX则可得出如下箱线图。为：(1)(2)( )nxxx11Column NumberValues(1)x(0.25)m(0.5)m(0.75)m( )nxMatlab

19、命令命令boxplot(x)第29页/共70页5. 5. 正态概率图正态概率图 正态概率图用于正态分布的检验，实际上就是纵坐标经过变换后的正态分布的分布函数图，正常情况下，正态分布的分布函数曲线是一条S S形曲线，而在正态概率图上描绘的则是一条直线。 如果采用手工绘制正态概率图的话，可以在正态概率纸上描绘，正态概率纸上有根据正态分布构造的坐标系，其横坐标是均匀的，纵坐标是不均匀的，以保证正态分布的分布函数图形是一条直线。第30页/共70页505560657075808590950.01 0.02 0.05 0.10 0.25 0.50 0.75 0.90 0.95 0.98 0.99 Data

20、ProbabilityNormal Probability Plot第31页/共70页四、卡方拟合优度检验四、卡方拟合优度检验1. 1. 简单假设检验问题简单假设检验问题000100:( )( ;), :( )( ;)HF xF xHF xF x第32页/共70页第33页/共70页第34页/共70页2. 2. 复合假设检验问题复合假设检验问题0010:( )( ; ), :( )( ; )HF xF xHF xF x第35页/共70页检验统计量2221()(1)rniiiinnprsnp 拒绝域22(1) .Wrs 第36页/共70页3. 3. chi2gofchi2gof函数函数调用格式：调

21、用格式：h = chi2gof(x)h,p = chi2gof(.)h,p,stats = chi2gof(.). = chi2gof(X,Name,value)第37页/共70页五、五、Kolmogorov-Smirnov检验检验1. 1. Kolmogorov检验检验000100:( )( ;), :( )( ;)HF xF xHF xF x检验统计量00sup |( )( ;)|nnxDF xF x 拒绝域,nnWDD第38页/共70页2. 2. Lilliefors检验检验0010:( )( ; ), :( )( ; )HF xF xHF xF x检验统计量0sup |( )( ; )

22、|nxF xF x 拒绝域W 第39页/共70页3. 3. Smirnov检验检验01:( )( ), :( )( )HF xG xHF xG x检验统计量1212,sup |( )( )|n nnnxDFxGx 拒绝域1212,n nn nWDD第40页/共70页4. 4. kstestkstest函数函数调用格式：调用格式：h = kstest(x)h = kstest(x,CDF)h = kstest(x,CDF,alpha)h = kstest(x,CDF,alpha,type)h,p,ksstat,cv = kstest(.)第41页/共70页5. 5. kstest2kstest2

23、函数函数调用格式：调用格式：h = kstest2(x1,x2)h = kstest2(x1,x2,alpha,type)h,p = kstest2(.)h,p,ks2stat = kstest2(.)第42页/共70页6. 6. lillietestlillietest函数函数调用格式：调用格式：h = lillietest(x)h = lillietest(x,alpha)h = lillietest(x,alpha,distr)h,p = lillietest(.)h,p,kstat = lillietest(.)h,p,kstat,critval = lillietest(.)h,p,

24、. = lillietest(x,alpha,distr,mctol)第43页/共70页% 读取文件的第读取文件的第1个工作表中的个工作表中的G2:G52中的数据，即总成绩数据中的数据，即总成绩数据score = xlsread(examp02_14.xls,Sheet1,G2:G52);% 去掉总成绩中的去掉总成绩中的0，即缺考成绩，即缺考成绩score = score(score 0);%*计算描述性统计量计算描述性统计量*score_mean = mean(score) % 计算平均成绩计算平均成绩s1 = std(score) % 计算计算(5.1)式的标准差式的标准差s1 = std

25、(score,0) % 也是计算也是计算(5.1)式的标准差式的标准差s2 = std(score,1) % 计算计算(5.2)式的标准差式的标准差score_max = max(score) % 计算样本最大值计算样本最大值score_min = min(score) % 计算样本最小值计算样本最小值score_range = range(score) % 计算样本极差计算样本极差score_median = median(score) % 计算样本中位数计算样本中位数score_mode = mode(score) % 计算样本众数计算样本众数score_cvar = std(score)

26、/mean(score) % 计算变异系数计算变异系数score_skewness = skewness(score) % 计算样本偏度计算样本偏度score_kurtosis = kurtosis(score) % 计算样本峰度计算样本峰度第44页/共70页%*绘制箱线图绘制箱线图*figure; % 新建图形窗口新建图形窗口boxlabel = 考试成绩箱线图考试成绩箱线图; % 箱线图的标签箱线图的标签% 绘制带有刻槽的水平箱线图绘制带有刻槽的水平箱线图boxplot(score,boxlabel,notch,on,orientation,horizontal)xlabel(考试成绩考试

27、成绩); % 为为X轴加标签轴加标签%*绘制频率直方图绘制频率直方图*% 调用调用ecdf函数计算函数计算xc处的经验分布函数值处的经验分布函数值ff, xc = ecdf(score);figure; % 新建图形窗口新建图形窗口% 绘制频率直方图绘制频率直方图ecdfhist(f, xc, 7);xlabel(考试成绩考试成绩); % 为为X轴加标签轴加标签ylabel(f(x); % 为为Y轴加标签轴加标签第45页/共70页%*绘制理论正态分布密度函数图绘制理论正态分布密度函数图*% 产生一个新的横坐标向量产生一个新的横坐标向量xx = 40:0.5:100;% 计算均值为计算均值为me

28、an(score)，标准差为，标准差为std(score)的正态分布在向量的正态分布在向量x处的密度函数处的密度函数值值y = normpdf(x,mean(score),std(score);hold on% 绘制正态分布的密度函数曲线，并设置线条为黑色实线，线宽为绘制正态分布的密度函数曲线，并设置线条为黑色实线，线宽为2plot(x,y,k,LineWidth,2)% 添加标注框，并设置标注框的位置在图形窗口的左上角添加标注框，并设置标注框的位置在图形窗口的左上角legend(频率直方图频率直方图,正态分布密度曲线正态分布密度曲线,Location,NorthWest);%*绘制经验分布函

29、数图绘制经验分布函数图*figure; % 新建图形窗口新建图形窗口% 绘制经验分布函数图，并返回图形句柄绘制经验分布函数图，并返回图形句柄h和结构体变量和结构体变量stats，% stats有有5个字段，分别对应最小值、最大值、平均值、中位数和标准差个字段，分别对应最小值、最大值、平均值、中位数和标准差h,stats = cdfplot(score)set(h,color,k,LineWidth,2); % 设置线条颜色为黑色，线宽为设置线条颜色为黑色，线宽为2第46页/共70页%*绘制理论正态分布函数图绘制理论正态分布函数图*x = 40:0.5:100; % 产生一个新的横坐标向量产生一

30、个新的横坐标向量x% y = );hold on% 绘制正态分布的分布函数曲线，并设置线条为品红色虚线，线宽为绘制正态分布的分布函数曲线，并设置线条为品红色虚线，线宽为2plot(x,y,:k,LineWidth,2);% 添加标注框，并设置标注框的位置在图形窗口的左上角添加标注框，并设置标注框的位置在图形窗口的左上角legend(经验分布函数经验分布函数,理论正态分布理论正态分布,Location,NorthWest);%*绘制正态概率图绘制正态概率图*figure; % 新建图形窗口新建图形窗口normplot(score); % 绘制正态概率图绘制正态概率图第47页/共70页% -分布的

31、检验分布的检验-%*调用调用chi2gof函数进行卡方拟合优度检验函数进行卡方拟合优度检验*h,p,stats = chi2gof(score)% 指定分布为默认的正态分布，分布参数由指定分布为默认的正态分布，分布参数由x进行估计进行估计h,p,stats = chi2gof(score,nbins,6);% 求平均成绩求平均成绩ms和标准差和标准差ssms = mean(score); ss = std(score);% 参数参数cdf的值是由函数句柄与函数中所含参数的参数值构成的元胞数组的值是由函数句柄与函数中所含参数的参数值构成的元胞数组h,p,stats = chi2gof(score

32、,nbins,6,cdf,normcdf, ms, ss);% 指定初始分组数为指定初始分组数为6，最小理论频数为，最小理论频数为3，检验总成绩数据是否服从正态分布，检验总成绩数据是否服从正态分布h = chi2gof(score,nbins,6,cdf,normcdf, ms, ss,emin,3)第48页/共70页%*调用调用kstest函数进行正态性检验函数进行正态性检验*cdf = score, normcdf(score, 79, 10.1489);% 调用调用kstest函数，检验总成绩是否服从由函数，检验总成绩是否服从由cdf指定的分布指定的分布h,p,ksstat,cv = k

33、stest(score,cdf)%*调用调用kstest2函数检验两个班的总成绩是否服从相同的分布函数检验两个班的总成绩是否服从相同的分布*% 读取文件读取文件examp02_14.xls的第的第1个工作表中的个工作表中的B2:B52中的数据，即班级数据中的数据，即班级数据banji = xlsread(examp02_14.xls,Sheet1,B2:B52);% 读取文件读取文件examp02_14.xls的第的第1个工作表中的个工作表中的G2:G52中的数据，即总成绩数据中的数据，即总成绩数据score = xlsread(examp02_14.xls,Sheet1,G2:G52);%

34、去除缺考数据去除缺考数据score = score(score 0); banji = banji(score 0);% 分别提取分别提取60101和和60102班的总成绩班的总成绩score1 = score(banji = 60101);score2 = score(banji = 60102);% 调用调用kstest2函数检验两个班的总成绩是否服从相同的分布函数检验两个班的总成绩是否服从相同的分布h,p,ks2stat = kstest2(score1,score2)第49页/共70页%*分别绘制两个班的总成绩的经验分布图分别绘制两个班的总成绩的经验分布图*figure; % 新建图形

35、窗口新建图形窗口F1 = cdfplot(score1); % 绘制绘制60101班总成绩的经验分布函数图班总成绩的经验分布函数图set(F1,LineWidth,2,Color,r) % 设置线宽为设置线宽为2，颜色为红色，颜色为红色hold onF2 = cdfplot(score2); % 绘制绘制60102班总成绩的经验分布函数图班总成绩的经验分布函数图% 设置线型为点划线，线宽为设置线型为点划线，线宽为2，颜色为黑色，颜色为黑色set(F2,LineStyle,-.,LineWidth,2,Color,k)% 为图形加标注框，标注框的位置在坐标系的左上角为图形加标注框，标注框的位置在

36、坐标系的左上角legend(60101班总成绩的经验分布函数班总成绩的经验分布函数,60102班总成绩的经验分布函数班总成绩的经验分布函数,. Location,NorthWest)%*调用调用lillietest函数进行分布的检验函数进行分布的检验*% 调用调用lillietest函数进行函数进行Lilliefors检验，检验总成绩数据是否服从正态分布检验，检验总成绩数据是否服从正态分布h,p,kstat,critval = lillietest(score)% 调用调用lillietest函数进行函数进行Lilliefors检验，检验总成绩数据是否服从指数分布检验，检验总成绩数据是否服从指

37、数分布h, p = lillietest(score,0.05,exp)第50页/共70页第四节 核密度估计第51页/共70页一、经验密度函数一、经验密度函数1. 1. 经验密度函数经验密度函数第52页/共70页第53页/共70页二、核密度估计二、核密度估计1. 1. Parzen窗密度估计法窗密度估计法第54页/共70页第55页/共70页2. 2. 核密度估计的一般定义核密度估计的一般定义第56页/共70页3. 3. 常用核函数常用核函数第57页/共70页4. 4. 窗宽对核密度估计的影响窗宽对核密度估计的影响第58页/共70页5. 5. 如何选择最佳窗宽如何选择最佳窗宽2MISE()( )

38、( ),hhfEfxf xdx MISE（mean integrated squared error）是关于窗宽）是关于窗宽 h 的函数，求它的最小值点，可以得出最佳窗宽的估计值。的函数，求它的最小值点，可以得出最佳窗宽的估计值。1251524( ) .( )kK xdxhnfxdx11155541.06 .3hnn第59页/共70页调用格式：调用格式：f,xi = ksdensity(x)f = ksdensity(x,xi)ksdensity()ksdensity(ax,)f,xi,u = ksdensity() = ksdensity(,param1,val1,param2,val2,)

39、参数与参数值列表见下一页。参数与参数值列表见下一页。三、三、ksdensity函数函数第60页/共70页 ksdensity函数支持的参数名与参数值列表函数支持的参数名与参数值列表第61页/共70页四、核密度估计的案例分析四、核密度估计的案例分析1. 1. 总成绩数据的核密度估计总成绩数据的核密度估计 score = xlsread(examp02_14.xls,Sheet1,G2:G52); score = score(score 0);% 调用调用ecdf函数计算函数计算xc处的经验分布函数值处的经验分布函数值f_ecdf f_ecdf, xc = ecdf(score);% 新建图形窗口

40、，然后绘制频率直方图，直方图对应新建图形窗口，然后绘制频率直方图，直方图对应7个小区间个小区间 figure; ecdfhist(f_ecdf, xc, 7); hold on; xlabel(考试成绩考试成绩); ylabel(f(x) ); % 为为X,Y轴加标签轴加标签% 调用调用ksdensity函数进行核密度估计函数进行核密度估计 f_ks1,xi1,u1 = ksdensity(score);% 绘制核密度估计图，并设置线条为黑色实线，线宽为绘制核密度估计图，并设置线条为黑色实线，线宽为3 plot(xi1,f_ks1,k,linewidth,3)第62页/共70页第63页/共70

41、页2. 2. 窗宽对核密度估计的影响窗宽对核密度估计的影响% 设置窗宽分别为设置窗宽分别为0.1，1，5和和9，调用，调用ksdensity函数进行核密度估计函数进行核密度估计 f_ks1,xi1 = ksdensity(score,width,0.1); f_ks2,xi2 = ksdensity(score,width,1); f_ks3,xi3 = ksdensity(score,width,5); f_ks4,xi4 = ksdensity(score,width,9); figure; % 新建图形窗口新建图形窗口% 分别绘制不同窗宽对应的核密度估计图，它们对应不同的线型和颜色分别绘制不同窗宽对应的核密度估计图，它们对应不同的线型和颜色 plot(xi1,f_ks1,c-.,linewidth,2); hold on; xlabel(考试成绩考试成绩); ylabel(核密度估