高考数学一轮复习讲义立体几何中的向量方法证明平行与垂直

1、主页主页立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法()()证明平行与垂直证明平行与垂直 主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页主页主页 主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页答题规范答题规范利用空间向量证明平行、垂直要规范利用空间向量证明平行、垂直要规范主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系

2、空间几何体空间几何体空间几何体的结构空间几何体的结构空间几何体的体积、表面积空间几何体的体积、表面积柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征三视图与直观图的画法三视图与直观图的画法主页主页主页主页1.1.线线、线面、面面间的平行关系线线、线面、面面间的平行关系主页主页2.2.线线、线面、面面间的垂直关系线线、线面、面面间的垂直关系主页主页空间角空间角图形图形角的范围角的范围计算公式计算公式线线角线线角线面角线面角面面角面面角sin|cos,|ba nba nba n cos|cos,|a b 12,n n 121212cos,|n nn nnn 12,n n 0,2 (0,2 0, 主

3、页主页主页主页例例1. 如图，在四棱锥如图，在四棱锥p- -abcd中，底面中，底面abcd是正方形，是正方形，侧棱侧棱pd底面底面abcd，pd=dc,e是是pc的中点，作的中点，作ef pb交交pb于点于点f. （1）求证：）求证：pa平面平面edb； （2）求证：）求证：pb 平面平面efd； （3）求二面角）求二面角c- -pb- -d的大小的大小.dabcepf主页主页bdpeg解解:如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,点点d为坐标原点为坐标原点,设设dc=1.(1)证明：连结证明：连结ac, ac交交bd于点于点g, 连结连结eg,(1,0,0),(0,0,1),

4、ap依依题题意意得得1 1( ,0).2 2abcdg因因为为底底面面是是正正方方形形，1 1(0, ).2 2ezaxcy11(1,0, 1),( ,0,).22paeg 2/ /.paegpaeg ，即即,egedb 平平面面/ /.paedb所所以以, ,平平面面,paedb 平平面面主页主页bpe解解:如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,点点d为坐标原点为坐标原点,设设dc=1.(1)证明：证明：(1,0,0),(0,0,1),ap依依题题意意得得1 1( ,0).2 2g，1 1(0, ),2 2ezaxcy(1,0, 1),pa / /.paedb所所以以, ,平

5、平面面,paedb 平平面面方法二：方法二：1 1(0, ),(1,1,0).2 2dedb 2,padedb ,pa de db 向向量量共共面面d主页主页bpe解解:如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,点点d为坐标原点为坐标原点,设设dc=1.(1)证明：证明：(1,0,0),(0,0,1),ap依依题题意意得得1 1( ,0).2 2g，1 1(0, ),2 2ezaxcy(1,0, 1),pa / /.paedb所所以以, ,平平面面,paedb 又又平平面面方法三：方法三：1 1(0, ),(1,1,0).2 2dedb (1, 1,1).n dedb平平面面的的一

6、一个个法法向向量量为为(1,0, 1) (1, 1,1)0,pa n 主页主页bpef解解:如图所示建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系,点点d为坐标原点为坐标原点,设设dc=1.zaxcyd2(1,1,0),(1,1, 1),bpb （ ）证证明明：依依题题意意得得1 1(0, ),2 2de 又又.pbde 所所以以,efpb 由由已已知知.pbefd 所所以以平平面面1100.22pb de ,efdee 又又主页主页3,2,pbefpbdfefdcpbd（ ）解解：已已知知由由（ ）可可知知故故是是二二面面角角的的平平面面角角. .( , , ),( , ,1),fx y zp

7、fx y z 设设点点 的的坐坐标标为为则则,pfkpb 设设 ( , ,1)(1,1, 1) ( , ,),x y zkk kk ,1.xk yk zk 即即0,pb df (1,1, 1) ( , ,1)31 0,k kkk 1.3k 所所以以1 1 2(),3 3 3f，1 1(0, ),2 2e又又1 11(,).3 66fe cos|fe fdefdfe fd 1 11112(,) (,)3 663331.26663 60 ,60 .efdcpbd所所以以即即二二面面角角的的大大小小为为主页主页3（ ）解解：(0,1,1),m 11cos,2| |22m nm nmn 又因为二面角又

8、因为二面角cpbd的平面角的平面角是锐角是锐角,18012060 . 所以二面角所以二面角cpbd 的大小是的大小是平面平面cpb法向量为法向量为平面平面dpb法向量为法向量为(1, 1,0).n ,120 .m n 60 . 主页主页主页主页oc sd0, ocsd, 即即主页主页主页主页主页主页sodabcp，设设),(000zyxe,cetcs 0002(,)262(0,)22xya ztaa62(0,(1),)22eatat622(,(1),)222beaatat e主页主页xyz主页主页bacdefcbcffeeb 5,bc ,fc eb 3cos,.3eb fc 33 3 2 =2,2ef 2 3,cf 3 2,2be 22223 23 23