2021版高考数学一轮复习高频考点集中练数列与不等式文含解析北师大版

1、高频考点集中练数列与不等式1.(2019全国卷)若ab,则()a.ln(a-b)0b.3a0d.|a|b|【命题思维分析】高考对指(对)数函数、幂函数的考查一般是利用性质比较大小或借助分段函数求值,本题以不等式为载体,考查利用指(对)数函数、幂函数的图象与性质比较大小.【解析】选c.当a=3,b=2时,选项a错.由于ab,而y=3x是增函数,所以3a3b,故b错.当a=3,b=-5时,选项d错.因为y=x3是增函数,故a3b3,故c正确.【真题拾贝】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.2.(2019全国卷)已知各

2、项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=世纪金榜导学号()a.16b.8c.4d.2【命题思维分析】利用方程思想列出关于a1,q的方程组,求出a1,q,再利用通项公式即可求得a3的值.【解析】选c.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.【真题拾贝】数列的基本量问题,列方程或方程组求解即可.3.(2018全国卷)若x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=3x+2y的最大值为.世纪金榜导学号【

3、解析】画出可行域如图阴影部分所示(含边界),可知目标函数过点(2,0)时取得最大值,zmax=32+20=6.答案:6【真题拾贝】该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.4.(2018全国卷)已知数列an满足a1=1,nan+1=2n+1an,设bn=ann.(1)求b1,b2,b3.(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明

4、理由.(3)求an的通项公式.【命题思维分析】(1)根据题中条件所给的数列an的递推公式nan+1=2(n+1)an,将其化为an+1=2(n+1)nan,分别令n=1和n=2,代入上式求得a2=4和a3=12,再利用bn=ann,从而求得b1=1,b2=2,b3=4.(2)利用条件可以得到an+1n+1=2ann,从而可以得出bn+1=2bn,这样就可以得到数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)借助等比数列的通项公式求得ann=2n-1,从而求得an.【解析】(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以,a2=4.将n=2代入得,a3=

5、3a2,所以,a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.【真题拾贝】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项,根据不同数列的项之间的关系,确定新数列的项,利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列,根据等比数列通项公式求得数列bn 的通项公式,借助于bn 的通项公式求得数列an 的通项公式,从而求得最后的结果.5.(201

6、7全国卷)设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n.世纪金榜导学号(1)求an的通项公式.(2)求数列an2n+1 的前n项和.【命题思维分析】(1)利用数列递推关系即可得出.(2)an2n+1=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-12n+1.利用裂项求和方法即可得出.【解析】(1)由已知可得:a1+3a2+(2n-1)an=2n,所以当n1时有a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1),所以两式作差可得:(2n-1)an=2,即an=22n-1(n1,且nn*),又因为n=1时,a1=2符合,所以an=22n-1(nn*).(2)设bn=an2n+1,则bn=2(2n-1

7、)(2n+1)=12n-1-12n+1,所以数列an2n+1的前n项和为sn=b1+b2+bn=1-13+13-15+12n-1-12n+1=1-12n+1=2n2n+1.【真题拾贝】本题考查了数列递推关系、裂项求和方法,注意裂项相消规律.6.(2018浙江高考)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.世纪金榜导学号(1)求q的值.(2)求数列bn的通项公式.【命题思维分析】(1)根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比,(2)先根据数列(bn+1-bn)an前

8、n项和求通项,解得bn+1-bn,再通过叠加法以及错位相减法求bn.【解析】(1)由a4+2是a3,a5的等差中项得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20得8q+1q=20,因为q1,所以q=2.(2)设cn=(bn+1-bn)an,数列cn的前n项和为sn.由cn=s1,n=1,sn-sn-1,n2,解得cn=4n-1,经检验,n=1时该式成立.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)12n-1,故bn-bn-1=(4n-5)12n-2,n2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)12n-2+(4n-9)12n-3+712+3,设tn=3+712+11122+(4n-5)12n-2,n2,12tn=312+7122+(4n-9)12n-2+(4n-5)12n-1,所以12tn=3+412+4122+412n-2-(4n-5)12n-1,因此tn=14-(4n+3)12n-2,n2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)12n-2,经检验,n=1时该式成立.【真题拾贝】用错位相减法求和应注意的问题