2021版高考数学一轮复习核心考点精准研析12.3统计与概率文含解析北师大版

1、统计与概率核心考点精准研析考点一抽样方法与概率的综合问题1.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分1781188217931932731286228332783811395237233754921476247434815951597259135846851678266636777791788278037818841882288338769631976297439851086208930824089用系统抽样法从40

2、名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;(2)计算所抽到的10个样本的均值x和方差s2;(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在x-s,x+s之间,则满意度等级为“a级”.试应用样本估计总体的思想,估计该地区满意度等级为“a级”的用户所占的百分比是多少?(精确到0.1%)参考数据:305.48,335.74,355.92.2.十九大报告提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做好精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间1

3、 500,3 000内(单位:克),根据统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:(1)按分层抽样的方法从质量落在1 750,2 000),2 000,2 250)的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率.(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:a.所有蜜柚均以40元/千克收购;b.低于2 250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2 250克的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.世纪金榜导学号【解析】1.(1)由题意得

4、,通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本,则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. (2)由(1)中的样本评分数据可得x=11092+84+86+78+89+74+83+78+77+89=83,则s2=11092-832+84-832+86-832+78-832+89-832+74-832+83-832+ 78-832+77-832+89-832=33.(3)由题意知评分在83-33,83+33,即77.26,88.74之间满意度等级为“a级”,由(1)中容量为10的样本评分在77.26,88.74

5、之间有5人,则该地区满意度等级为“a级”的用户所占的百分比约为510100%=50.0%.另解:由题意知评分在83-33,83+33,即77.26,88.74之间满意度等级为“a级”,从调查的40名用户评分数据中在77.26,88.74共有21人,则该地区满意度等级为“a级”的用户所占的百分比约为2140100%=52.5%.2.(1)由题得蜜柚质量在1 750,2 000)和2 000,2 250)的比例为23,所以分别抽取2个和3个.记抽取质量在1 750,2 000)的蜜柚为a1,a2,质量在2 000,2 250)的蜜柚为b1,b2,b3,则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10

6、种:a1a2,a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,b1b2,b1b3,b2b3,其中质量都小于2 000克的仅有a1a2这1种情况,故所求概率为110.(2)方案a好,理由如下:由频率分布直方图可知,蜜柚质量在1 500,1 750)的频率为2500.000 4=0.1,同理,蜜柚质量在1 750,2 000),2 000,2 250),2 250,2 500),2 500,2 750),2 750,3 000 的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05,若按方案a收购:根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250,于是总

7、收益为 1 500+1 7502500+1 750+2 0002500+2 000+2 2502750+2 250+2 50022 000+2 500+2 75021 000+2 750+3 0002250401 000=457 500 (元),若按方案b收购:因为蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1+0.1+0.15)5 000=1 750,蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为5 000-1 750=3 250,所以收益为1 75060+3 25080=365 000元,所以方案a的收益比方案b的收益高,应该选择方案a.抽样方法与概率的综合问题的要求(1)熟悉三种抽样方法的特点,掌握总

8、体容量与样本容量的概念,正确运用扇形图、条形图中的数据.(2)了解频率与概率的关系,解决统计与概率的综合问题.考点二统计与概率在实际的决策问题中的应用【典例】十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领农村地区人民群众脱贫奔小康,扶贫办计划为某农村地区购买农机机器,假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案:方案一:每台机器售价7 000元,三年内可免费保养2次,超过2次每次收取保养费200元;方案二:每台机器售价7 050元,三年内可免费保养3次,超过3次每次收取保养费100元.扶贫办需要决策在购买机器时应该选取哪种方案,为此搜

9、集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数,得下表:保养次数012345台数110191442记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数.(1)用样本估计总体的思想,求“x不超过2”的概率.(2)若y表示1台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和(单位:元),求选用方案一时y关于x的函数解析式.(3)按照两种销售方案,分别计算这50台机器三年使用期内的总费用(总费用=售价+保养费),以每台每年的平均费用作为决策依据,扶贫办选择哪种销售方案购买机器更合算?世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题(1)根据表中所给数据可得“x不超过2”的频数,利用古典概型概率公式可求“x不超过2”的概率(2)分

10、段讨论即可(3)分别计算总费用,再判断【解析】(1)从题干表中可以看出50台机器保养次数不超过2次的台数共30台,故“x不超过2”的概率为p=1+10+1950=0.6.(2)当x2时,y=7 000 ;当x2时,y=7 000+(x-2)200=6 600+200x,故y关于x的函数解析式为y=7 000,x2(xn)6 600+200x,x2(xn).(3)在方案一中,这50台机器售价和保养总费用为507 000+14200+42002+22003=355 600(元).所以每台每年的平均费用为7 1123元.在方案二中,这50台机器售价和保养总费用为 507 050+4100+2002=

11、353 300(元).所以每台每年的平均费用为7 0663元.因为7 11237 0663,所以扶贫办应选择方案二更合算.实际问题的决策问题的解决方法(1)利用统计中的平均数、方差、标准差的计算公式求得相应的平均数、方差、标准差等数据,根据平均数、方差、标准差的统计意义作出决策.(2)利用古典概型、几何概型等概率公式求得相应概率,根据概率的意义作出决策.生产甲乙两种精密电子产品,用以下两种方案分别生产出甲乙产品共3件,现对这两种方案生产的产品分别随机调查了100次,得到如下统计表:生产2件甲产品和1件乙产品正、次品甲正品甲正品乙正品甲正品甲正品乙次品甲正品甲次品乙正品甲正品甲次品乙次品甲次品甲

12、次品乙正品甲次品甲次品乙次品频产1件甲产品和2件乙产品正、次品乙正品乙正品甲正品乙正品乙正品甲次品乙正品乙次品甲正品乙正品乙次品甲次品乙次品乙次品甲正品乙次品乙次品甲次品频数81020222020已知生产电子产品甲1件,若为正品可盈利20元,若为次品则亏损5元;生产电子产品乙1件,若为正品可盈利30元,若为次品则亏损15元.(1)按方案生产2件甲产品和1件乙产品,求这3件产品平均利润的估计值.(2)从方案中选其一,生产甲乙产品共3件,欲使3件产品所得总利润大于30元的机会多,应选用哪个?【解析】(1)由题意得按方案生产2件甲产品和1件乙产品的利润表为:利润702545

13、020-25频率0.150.200.160.310.100.08所以这3件产品平均利润的估计值为:700.15+250.20+450.16+00.31+200.10+(-25)0.08=22.70.(2)方案生产的2件甲产品和1件乙产品所得总利润大于30元的情形有70,45,频率是:0.15+0.16=0.31,方案生产1件甲产品和2件乙产品所得总利润大于30元的情形有80,55,35,频率是:0.08+0.10+0.20=0.38,因为0.380.31,所以选择方案.考点三 用样本估计总体、统计案例与概率的综合问题命题精解读1.考什么:考查用样本估计总体的思想,考查统计案例在实际问题中的应用

14、,考查概率与统计的综合问题.2.怎么考:(1)结合统计中的频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等,考查总体的数字特征(平均数、方差、标准差等)与概率的综合问题.(2)结合统计案例(独立性检验、线性回归)考查与概率综合的问题.3.新趋势:在解答题中命制综合应用统计与概率知识的新题型,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查数据分析、数学建模的核心素养.学霸好方法概率统计解答题主要以统计图表为依托出题,正确认识和使用这些图表是解题的关键,此外还要掌握好样本特征数的计算方法,频率计算公式和古典概型的概率的计算方法.用样本估计总体与概率的综合问题【典例】为提倡节能减排,同时减轻居民负担,广州市积极推进“一

15、户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取,其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:每户每月用电量(单位:度)电价(单位:元/度)第一档0,2000.61第二档200,4000.66第三档400,+0.91例如:某用户11月用电410度,采用合表电价收费标准,应交电费4100.65=266.5元,若采用阶梯电价收费标准,应交电费2000.61+(400-200) 0.66+(410-400) 0.91=263.1元.为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市100户的11月用电量,工作人员已经将90户的月用

16、电量填在下面的频率分布表中,最后10户的月用电量(单位:度)为:88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.组别月用电量频数统计频数频率0,100(100,200(200,300(300,400(400,500(500,600合计(1)完成频率分布表,并绘制频率分布直方图;(2)根据已有信息,试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表).(3)设某用户11月用电量为x度(xn),按照合表电价收费标准应交y1元,按照阶梯电价收费标准应交y2元,请用x表示y1和y2,并求当y2y1时,x的最大值,同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给

17、不低于75%的用户带来实惠?世纪金榜导学号【解析】(1)频率分布表如表所示:组别月用电量频数统计频数频率0,10040.04(100,200120.12(200,300240.24(300,400300.3(400,500260.26(500,60040.04合计1001频率分布直方图如图:(2)该100户用户11月的平均用电量x=500.04+1500.12+2500.24+3500.3+4500.26+5500.04=324(度),所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.(3)y1=0.65x,y2=0.61x,0x200,0.66(x-200)+122=0.66x-10,20040

18、0,由y2y1得0.61x0.65x0x200或200400,解得x1100.26423.1,因为xn,故x的最大值为423. 根据频率分布直方图,x423的频率为0.04+0.12+0.24+0.3+230.26100=0.759 80.75,故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠.如何解决用样本估计总体与概率的综合问题?提示:(1)认真读取题中所给的信息,应用频率、平均数、方差的计算公式,求得结果.(2)结合古典概型概率公式求解相关概率问题.独立性检验与概率的综合问题【典例】为推进“千村百镇计划”,某新能源公司开展“绿色出行”活动,首批投放200台p型新能源车到多个村镇,供当地村

19、民免费试用三个月.试用到期后,为了解男、女试用者对p型新能源车性能的评价情况,该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表(满分为100分).最后该公司共收回600份评分表,现从中随机抽取40份(其中男、女的评分表各20份)作为样本,经统计得到如下茎叶图:世纪金榜导学号(1)求40个样本数据的中位数m.(2)已知40个样本数据的平均数a=80,记m与a的较大值为m.该公司规定样本中试用者的“认定类型”:评分不小于m的为“满意型”,评分小于m的为“需改进型”. 请根据40个样本数据,完成下面22列联表:认定类型性别满意型需改进型总计女性20男性20总计40并根据22列联表判断能否有99%的把握认为

20、“认定类型”与性别有关? 为做好车辆改进工作,公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法,从中抽取8人进行回访.根据回访意见改进车辆后,再从这8人中随机抽取2人进行二次试用,求这2人中至少有一位女性的概率是多少?【解析】(1)由茎叶图知中位数m=80+822=81.(2)因为m=81,a=80,所以m=81.由茎叶图知,女性试用者评分不小于81的有15个,男性试用者评分不小于81的有5个,根据题意得22列联表:认定类型性别满意型需改进型总计女性15520男性51520总计202040可得:2=40(1515-55)220202020=106.635,所以有99%的把握认为“认定类

21、型”与性别有关.由知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法,抽出女性2名,男性6名.记抽出的2名女性为;a,b;记抽出的6名男性为:a,b,c,d,e,f.从这8人中随机抽取2人进行二次试用的情况有:(a,b)(a,a)(a,b)(a,c) (a,d)(a,e)(a,f)(b,a)(b,b)(b,c)(b,d)(b,e)(b,f)(a,b)(a,d)(a,e)(a,c)(a,f)(b,c)(b,d)(b,e)(b,f)(c,d)(c,e)(c,f)(d,e)(d,f)(e,f),共有28种,其中2人中至少一名女性的情况有:(a,b)(a,a)(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)

22、(a,f)(b,a)(b,b)(b,c)(b,d)(b,e)(b,f),共有13种: 所以2人中至少一名女性的概率是:p=1328.如何解决独立性检验与概率的综合问题?提示:(1)利用题中所给的茎叶图等数据信息,求出22列联表中的数据,根据卡方公式求出卡方值,与参考数据比较后作出判断.(2)利用题中数据列出基本事件空间,及事件a所包含的基本事件,根据古典概型公式求得概率.线性回归与概率的综合问题【典例】某商场营销人员进行某商品m市场营销调查发现,每回馈消费者一定的点数,该商品当天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表格:世纪金榜导学号回馈点数x12345销量(百件)/天0.50.61

23、1.41.7(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y(百件)与该天返还点数x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y=bx+a,并预测若返回6个点时该商品当天销量.(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:返还点数预期值区间频数1,3203,5605,7607,9309,112011,1310将对返点点数的心理预期值在1,3)和11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法

24、从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.世纪金榜导学号(参考公式及数据:回归方程y=bx+a,其中b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2,a=y-bx;i=15xiyi=18.8.)【解析】(1)易知x=1+2+3+4+55=3,y=0.5+0.6+1+1.4+1.75=1.04,i=15xi2=12+22+32+42+52=55 ,b=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2=18.8-531.0455-532=0.32,a=y-bx=1.04-0.323=0.08,则y关于

25、x的线性回归方程为y=0.32x+0.08,当x=6时,y=2.00,即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.(2)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人,从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人,由分层抽样的定义可知630=x10=y20,解得x=2,y=4.在抽取的6人中,2名“欲望膨胀型”消费者分别记为a1,a2,4名“欲望紧缩型”消费者分别记为b1,b2,b3,b4,则所有的抽样情况如下:a1,a2,b1,a1,a2,b2,a1,a2,b3,a1,a2,b4,a1,b1,b2,a1,b1,b3,a1,b1,b4,a1,b2,b3,a1,b2,b4,a1,b3,b4,a2,b1,b2a2,b1,b3

26、,a2,b1,b4,a2,b2,b3a2,b2,b4,a2,b3,b4,b1,b2,b3,b1,b2,b4,b1,b3,b4,b2,b3,b4共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16种,记事件a为“抽出的3人中至少有1名欲望膨胀型消费者”,则p(a)=1620=0.8.如何解决线性回归与概率的综合问题?提示:(1)读取题中信息,求得线性回归系数,写出线性回归方程,作出相对应的数据预测值.(2)利用古典概型、几何概型的概率公式求得概率.1.我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭

27、年用水量的标准,为此,对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查,并获得了n个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如表所示.0,10)2510,20)0.1920,30)5030,40)0.2340,50)0.1850,605(1)分别求出n,a,b的值.(2)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭年均用水量.(3)从样本中年用水量在50,60(单位:立方米)的5个家庭中任选3个,作进一步跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(5个家庭的年用水量都不相等).【解析】(1)用水量在20,30)内的频数是50,频率是0.02510=0.25,则n=500.25=200.用水量在0,1

28、0)内的频率是25200=0.125,则b=0.12510=0.012 5.用水量在50,60内的频率是5200=0.025,则a=0.02510=0.002 5.(2)估计全市家庭年均用水量为50.125+150.19+250.25+350.23+450.18+550.025=5(0.125+0.57+1.25+1.61+1.62+0.275)=55.45=27.25.(3)设a,b,c,d,e代表年用水量从多到少的5个家庭,从中任选3个,总的基本事件为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde共10个,其中包含a的有abc,abd,abe,acd,ace,ade共6个.所以p=610=35.即年用水量最多的家庭被选中的概率是35.2.气象部门提供了某地今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:日最高气温t(单位:)天数t22622t28122832z由于工作疏忽,统计表被墨水污染,y,z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示