2021新高考数学二轮总复习第三部分专题四4.2.1等差等比数列的综合问题课件

1、4.2.14.2.1等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题第三部分第三部分内容索引必备必备知识知识 精要精要梳理梳理关键关键能力能力 学学案突破案突破核心素养微专题核心素养微专题( (四四) )必备必备知识知识 精要精要梳理梳理1.判断给定的数列an是等差数列的方法(1)定义法:an+1-an=d是常数(nn*).(2)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数).(3)前n项和法:数列an的前n项和为sn=an2+bn(a,b是常数且a2+b20).(4)等差中项法:an+an+2=2an+1(nn*).2.若数列an,bn为等差数列且项数相同,则kan,anbn,pan+qbn都是

2、等差数列.3.判断给定的数列an是等比数列的方法 关键关键能力能力 学学案突破案突破热点一热点一等差等差(比比)数列的判断与证明数列的判断与证明【例1】(2020山东淄博4月模拟,18)已知数列an满足a1=1,an+1=4an+3n-1,bn=an+n.(1)证明:数列bn为等比数列;(2)求数列an的前n项和.解题心得1.判断数列是等差(比)数列的方法通常有四种,证明数列是等差(比)数列的方法常用定义法.2.对已知数列an与sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.【对点训练1

3、】(2019全国,理19)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.热点二热点二等差数列的通项及求和等差数列的通项及求和【例2】(2019全国,文18)记sn为等差数列an的前n项和.已知s9=-a5.(1)若a3=4,求an的通项公式;(2)若a10,求使得snan的n的取值范围.解 (1)设an的公差为d.由s9=-a5,得a1+4d=0.由a3=4,得a1+2d=4.可得a1=8,d=-2.因此an的通项公式为an=10-2n.(2)由(1)得

4、a1=-4d,故an=(n-5)d,sn=由a10知d100的正整数n的最小值.解 (1)给出的通项公式为an=2n+4,a1=6,a2=8符合题意.因为对任意nn*,an+1-an=2(n+1)+4-2n-4=2,所以an是公差为2的等差数列.对任意m,nn*且mn,am+an=2m+4+2n+4=2(m+n+2)+4=am+n+2,所以an是“q数列”.因为sn单调递增,且s7=72+57=84100,所以n的最小值为8.注:以下答案也正确,解答步骤参考上面内容:an=6n,sn=3n2+3n,n的最小值为6. 热点三热点三等比数列的通项及求和等比数列的通项及求和【例3】(2020山东,1

5、8)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mn*)中的项的个数,求数列bm的前100项和s100.解 (1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8. 解得q= (舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nmsk+1且sk+1sk+1,即sksk+ak+1,从而ak+10;同理,若使sk+1sk+2,即sk+10.若选:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,又a5=-1,则可得a1=-13,d=3,所以an=

6、3n-16,当k=4时,能使a50成立;若选:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列an为递减数列,故不存在ak+10;解题心得从三个给出的选择性条件中,选择自己好理解的条件是解题的关键,将已知的条件通过逻辑推理进行转换是解题的突破口,较强的运算能力是拿到满分的重要保证.所以an=3+2(n-1)=2n+1.若选数列a2n的前5项和为65,则a2+a4+a6+a8+a10=65,即5a1+25d=65,解得a1=3.所以an=3+2(n-1)=2n+1.所以bn+1bn可转化为bn+1-bn0,即5-2n0,解得nb2b1;bn+1bn可转化为bn+1-bn0,即5-2n2. 5,则n=3

7、,4,5,即b3b4b5.核心素养微专题核心素养微专题( (四四) )求解等差、等比数列的应用题【例1】(2020安徽合肥一中模拟,文12)如图所示,一条螺旋线是用以下方法画成的:abc是边长为2的正三角形,曲线ca1,a1a2,a2a3是分别以a,b,c为圆心,ac,ba1,ca2为半径画的圆弧,曲线ca1a2a3称为螺旋线的第一圈,然后又以a为圆心,aa3为半径画圆弧,这样画到第n圈,则所得螺旋线的长度ln为()答案 b 解析 第一圈的三段圆弧为ca1,a1a2,a2a3,第二圈的三段圆弧为a3a4,a4a5,a5a6,第n圈的三段圆弧为a3(n-1)a3n-2,a3n-2a3n-1,a3

8、n-1a3n.各段圆弧的长度分别为核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,从题目所给的几何图形中通过“数学抽象”得到一组数据;再通过“数学建模”将问题转化为等差数列模型;然后对等差数列模型的各项数值通过“数据分析”得到等差数列的项数和公差;最后通过“数学运算”得出答案.【跟踪训练1】(2019四川绵阳模拟,理16)如图,互不相同的点a1,a2,an,和b1,b2,bn,分别在角o的两条边上,所有anbn相互平行,且所有梯形anbnbn+1an+1的面积均相等.设oan=an,若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.【例2】已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为6,e,f,g分别为a1b1,bb1,b1c1的中点,e1,f1,g1分别为eb1,fb1,b1g的中点,e2,f2,g2分别为e1b1,f1b1,b1g1的点,依此类推,令三棱锥b-a1b1c1的体积为v1,三棱锥f-eb1g的体积为v2,三棱锥的体积为f1-e1b1g1的体积为v3,则