2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第7节抛物线跟踪检测文含解析

1、第九章第九章解析几何解析几何第七节第七节抛物线抛物线a 级基础过关|固根基|1.抛物线 yax2(a0)的准线方程是()ay12aby14acy12ady14a解析：选 b抛物线 yax2(a0)的焦点，且与抛物线交于 a，b 两点，若线段 ab 的长是8，ab 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线方程是()ay212xby28xcy26xdy24x解析：选 b设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，根据抛物线定义，x1x2p8，因为 ab 的中点到 y 轴的距离是 2，所以x1x222，所以 p4，所以抛物线方程为 y28x.故选 b.4(2019 届太原模拟)已知抛物线 c：y22px

2、(p0)的焦点为 f，准线为 l，且 l 过点(2，3)，m 在抛物线 c 上，若点 n(1，2)，则|mn|mf|的最小值为()a2b3c4d5解析：选 b依题意，知 l：x2，则抛物线 c：y28x，过点 m 作 mml，垂足为 m，过点 n 作 nnl，垂足为 n，则|mn|mf|mn|mm|nn|3，故选 b.5(2020 届陕西省百校联盟高三模拟)已知抛物线 c：y24x 的焦点为 f，准线为 l，p 是l 上一点，q 是直线 pf 与 c 的一个交点，若fp4fq，则|qf|()a1b.32c2d.52解析：选 b依题意得 f(1，0)设 l 与 x 轴的交点为 m，则|fm|2.

3、如图，过点 q 作 l的垂线，垂足为 q1，则|qq1|fm|pq|pf|34，所以|qq1|34|fm|32，所以|qf|qq1|32，故选 b.6已知直线 l 与抛物线 c：y24x 相交于 a，b 两点，若线段 ab 的中点为(2，1)，则直线 l 的方程为_解析：设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有y214x1，y224x2，由得 y21y224(x1x2)，由题可知 x1x2.y1y2x1x24y1y2422，即 kab2，直线 l 的方程为 y12(x2)，即 y2x3.答案：y2x37 抛物线 x22py(p0)的焦点为 f， 其准线与双曲线x23y231 相交于 a，

4、b 两点， 若abf为等边三角形，则 p_解析：在等边三角形 abf 中，ab 边上的高为 p，ab233p，所以 b33p，p2 .又因为点 b 在双曲线上，故p233p2431，解得 p6.答案：68已知双曲线 c1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 c2：x22py(p0)的焦点到双曲线 c1的渐近线的距离为 2，则抛物线 c2的方程为_解析：因为双曲线 c1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以 2ca1b2a2，解得ba 3， 所以双曲线的渐近线方程为3xy0.因为抛物线 c2： x22py(p0)的焦点为 f0，p2 ，所以 f 到双曲线 c

5、1的渐近线的距离为|p2|312， 所以 p8， 所以抛物线 c2的方程为 x216y.答案：x216y9 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 f， a 是抛物线上横坐标为 4， 且位于 x 轴上方的点，a 到抛物线准线的距离等于 5，过 a 作 ab 垂直于 y 轴，垂足为 b，ob 的中点为 m.(1)求抛物线的方程；(2)若过 m 作 mnfa，垂足为 n，求点 n 的坐标解：(1)抛物线 y22px 的准线为 xp2，由题意可得 4p25，所以 p2.所以抛物线方程为 y24x.(2)因为点 a 的坐标是(4，4)，由题意得 b(0，4)，m(0，2)又因为 f(1，0)，所以 k

6、fa43，且 fa 的方程为 y43(x1)，因为 mnfa，所以 kmn34，且 mn 的方程为 y234x，联立，解得 x85，y45，所以 n 的坐标为85，45 .10设抛物线 c：y24x 的焦点为 f，过 f 且斜率为 k(k0)的直线 l 与抛物线 c 交于 a，b 两点，|ab|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 a，b 且与抛物线 c 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 f(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)由yk（x1） ，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|ab|

7、af|bf|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得，ab 的中点坐标为(3，2)，所以 ab 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.b 级素养提升|练能力|11.已知抛物线 x24y 上一动点 p 到 x 轴的距离为 d1， 到直线 l： xy40 的距离为 d2，则 d1d2的最小值是()a.5

8、222b.5 221c.5 222d.5 221解析：选 d抛物线 x24y 的焦点为 f(0，1)，由抛物线的定义可得 d1|pf|1，则 d1d2|pf|d21， 而|pf|d2的最小值等于焦点 f 到直线 l 的距离， 即(|pf|d2)min525 22，所以 d1d2的最小值是5 221.12(一题多解)(2019 届湖北武汉部分学校调研)过抛物线 c：y22px(p0)的焦点 f，且斜率为 3的直线交抛物线c 于点m(m 在 x 轴上方)， l 为抛物线 c的准线， 点 n 在 l上且mnl，若|nf|4，则 m 到直线 nf 的距离为()a. 5b2 3c3 3d2 2解析：选

9、b解法一：因为直线 mf 的斜率为 3，mnl，所以nmf60，又|mf|mn|，且|nf|4，所以nmf 是边长为 4 的等边三角形，所以 m 到直线 nf 的距离为 2 3.故选 b.解法二：由题意可得直线 mf 的方程为 x33yp2，与抛物线方程 y22px 联立消去 x 可得 y22 33pyp20，解得 y33p 或 y 3p，又点 m 在 x 轴上方，所以 m3p2， 3p.因为mnl，所以 np2， 3p，所以|nf|p2p22（0 3p）22p.由题意 2p4，解得 p2，所以 n(1，2 3)，f(1，0)，直线 nf 的方程为3xy 30，且点 m 的坐标为(3，2 3)

10、，所以 m 到直线 nf 的距离为|3 32 3 3|312 3，故选 b.解法三：由题意可得直线 mf 的方程为 x33yp2，与抛物线方程 y22px 联立消去 x 可得 y22 33pyp20，解得 y33p 或 y 3p，又点 m 在 x 轴上方，所以 m3p2， 3p.因为mnl，所以 np2， 3p，所以|nf|p2p22（0 3p）22p.由题意 2p4，解得 p2，所以 n(1，2 3)，f(1，0)，m(3，2 3)，设 m 到直线 nf 的距离为 d，在mnf 中，smnf12|nf|d12|mn|ym，所以 d1442 32 3，故选 b.13已知过抛物线 y22px(p0)的焦点，斜率为 22的直线交抛物线于 a(x1，y1)，b(x2，y2)(x10)因为点 p(1，2)在抛物线上，所以 222p1，解得 p2.故所求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.(2)设直线 pa 的斜率为 kpa，直线 pb 的斜率为 kpb.则 kpay12x11(x11)，kpb