2021新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.5向量的线性运算课件新人教B版必修第二册 (1)

1、6.1.5向量的线性运算必备知识必备知识自主学习自主学习导思导思1.1.向量的加法与数乘向量可以进行混合运算吗向量的加法与数乘向量可以进行混合运算吗? ?其根本原因是其根本原因是什么什么? ?2.2.什么叫向量的线性运算什么叫向量的线性运算? ?3.3.如何用已知向量表示未知向量如何用已知向量表示未知向量? ?如何证明三点共线如何证明三点共线? ?1.1.向量的加法与数乘向量的混合运算向量的加法与数乘向量的混合运算规定规定: :一般地一般地, ,一个含有向量加法、数乘向量运算的式子一个含有向量加法、数乘向量运算的式子, ,要先算数乘向量要先算数乘向量, ,再算再算向量加法向量加法. .运算律运

2、算律: :对于实数对于实数,以及向量以及向量a, ,b, ,有有(1)(1)a+a= _.(2)(= _.(2)(a+ +b)= _.)= _.(+)a(+)aa+ba+b【思考思考】(1)(1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是什么? ?提示提示: :向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量. .(2)(2)这里的条件这里的条件“,为实数为实数”能省略吗能省略吗? ?为什么为什么? ?提示提示: :不能不能, ,数乘向量中的数乘向量中的,都是实数都是实数, ,只有只有,都是实数时都是实数时, ,

3、运算律才成立运算律才成立. .2.2.向量的线性运算向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算, ,统称为向量的线性运算统称为向量的线性运算. .【基础小测基础小测】(1)(1)实数实数与向量与向量a, ,则则+a与与-a的和是向量的和是向量. .( () )(2)(2)对于非零向量对于非零向量a, ,向量向量-3-3a与向量与向量a方向相反方向相反. .( () )(3)(3)(a- -b)=)=a-b. .( () )(4)(4)a+a与与(+)(+)a的方向都与的方向都与a的方向相同的方向相同.(.() )提示提示: :(1)(

4、1).+.+a与与-a均无意义均无意义. .(2).(2).因为因为-30,-30,所以正确所以正确. .(3).(3).(4)(4). .只有当只有当+是正数时是正数时,a+a与与(+)(+)a的方向才都与的方向才都与a a的方向相同的方向相同. .2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )下列计算正确的个数是下列计算正确的个数是( () )(-3)2a=-6(-3)2a=-6a; ;2(2(a+ +b)-(2)-(2b- -a)=3)=3a; ;( (a+2+2b)-(2)-(2b+ +a)=0.)=0.a.0a.0b.1b.1c.2c.2d.3d.3【解析解析】选选

5、c.c.因为因为(-3)2(-3)2a=-6=-6a, ,故正确故正确; ;中中, ,左左=2=2a+2+2b-2-2b+ +a=3=3a成立成立, ,故故正确正确; ;中中, ,左左= =a+2+2b-2-2b- -a= =00,0,故错误故错误. .3.3.设设m m是是abcabc边边bcbc的中点的中点, ,若若 则则+的值为的值为_._.amabac ，【解析解析】因为因为m m是是abcabc边边bcbc的中点的中点, ,所以所以 因为因为 所以所以+=1.+=1.答案答案: :1 111amabac,22 11amabac,22 ，所以，关键能力关键能力合作学习合作学习类型一向量

6、的线性运算类型一向量的线性运算( (数学运算数学运算) )【题组训练题组训练】1.1.化简化简 的结果是的结果是 ( () )a.2a.2a- -bb.2b.2b- -ac.c.b- -ad.d.a- -b1 128423 2（）（）abab2.2.关于向量关于向量, ,下列结论错误的是下列结论错误的是 ( () )a.0a.0a=0=0b.m(nb.m(na)=(mn)=(mn)a(m,nr)(m,nr)c.c. d.(m+n)d.(m+n)a=m=ma+n+na(m,nr).(m,nr).abba 3.3.已知向量已知向量a,b,x,且且( (x- -a)-()-(b- -x)=)=x-(

7、-(a+ +b),),则则x=x=_.【解析解析】1.1.选选b.b.原式原式= = ( (a+4+4b-4-4a+2+2b)=)= (6(6b-3-3a)=2)=2b-a.-a.2.2.选选a.a.对于对于a,0a,0a= =00,0,故故a a错误错误; ;对于对于b,b,当当m,nrm,nr时时, ,m m(n(na)=mn)=mna=(mn)=(mn)a, ,故故b b正确正确; ;对于对于c,c,因为因为 大小相等大小相等, ,方向相反方向相反, ,则则 故故c c正确正确; ;对于对于d,d,当当m,nrm,nr时时, , a=m=ma+n+na, ,故故d d正确正确. .3.3

8、.因为因为(x-(x-a)-()-(b-x)=x-(-x)=x-(a+ +b),),所以所以2x-2x-a- -b=x-=x-a- -b, ,即即x=x=0. .答案答案: :01313ab,ba abba ，(mn)【解题策略解题策略】向量线性运算的方法向量线性运算的方法(1)(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算向量的线性运算类似于代数多项式的运算, ,主要是主要是“合并同类项合并同类项”“”“提取提取公因式公因式”, ,但这里的但这里的“同类项同类项”“”“公因式公因式”指向量指向量, ,实数看成是向量的系数实数看成是向量的系数. .(2)(2)向量也可以通过列方程来解向量也可以通过

9、列方程来解, ,把所求向量当作未知数把所求向量当作未知数, ,利用解代数方程的方利用解代数方程的方法求解法求解, ,同时在运算过程中要多注意观察同时在运算过程中要多注意观察, ,恰当运用运算律恰当运用运算律, ,简化运算简化运算. .【补偿训练补偿训练】已知向量已知向量a, ,b, ,且且5 5x+2y=+2y=a,3x-y=,3x-y=b, ,求求x,y.x,y.【解析解析】将将3x-y=3x-y=b两边同乘两边同乘2,2,得得6x-2y=26x-2y=2b. .与与5x+2y=5x+2y=a相加相加, ,得得11x=11x=a+2+2b, ,即即 所以所以y=3x-y=3x-b= = 12

10、x.1111ab12353().11111111abbab类型二用已知向量表示相关向量类型二用已知向量表示相关向量( (直观想象、数学运算直观想象、数学运算) )【典例典例】如图如图, ,已知已知 =3=3e1 1, =3, =3e2 2, ,若若c,d,ec,d,e是是abab的四等分点的四等分点, ,求求 oaob oc,od,oe. 【思路导引思路导引】在数形结合的基础上在数形结合的基础上, ,结合向量的加减法及数乘向量的几何意义结合向量的加减法及数乘向量的几何意义和运算律和运算律, ,灵活运用平面几何中的重要定理和性质灵活运用平面几何中的重要定理和性质, ,进行合理转化即可进行合理转化

11、即可. .【解析解析】方法一方法一: :21211211212211212211133accddeebab(33 )44443393ocoaac34444933333odoccd44442233333oeodde22444 ，所以，eeeeeeeeeeeeeeeeeee129.4ee方法二方法二: :因为因为d d是是abab的中点的中点, ,所以所以 又又c c是是adad中点中点, ,所以所以 又又e e是是dbdb中点中点, ,所以所以 12121133od(oaob)(33).2222 eeee11212113393oc(oaod)(3).222244 eeeee1oe(odob)2

12、122121 3339(3).2 2244eeeee【解题策略解题策略】 已知向量表示未知向量的技巧已知向量表示未知向量的技巧用图形中的已知向量表示所求向量用图形中的已知向量表示所求向量, ,应结合已知和所求应结合已知和所求, ,联想相关的法则和几联想相关的法则和几何图形的有关定理何图形的有关定理, ,将所求向量反复分解将所求向量反复分解, ,直到全部可以用已知向量表示直到全部可以用已知向量表示, ,其实其实质是向量线性运算的反复应用质是向量线性运算的反复应用. .【跟踪训练跟踪训练】(2020(2020滨州高一检测滨州高一检测) )如图所示如图所示, ,在正方形在正方形abcdabcd中中,

13、e,e为为abab的中点的中点,f,f为为cece的中点的中点, ,则则 = =( () )af 31a.abad4413b.abad441c.abad231d.abad42 【解析解析】选选d.d.根据题意得根据题意得: : 1af(acae)21acabadaeab21131af(abadab)abad.2242 ，又，所以【拓展延伸拓展延伸】对向量线性运算的理解对向量线性运算的理解向量的线性运算也叫向量的初等运算向量的线性运算也叫向量的初等运算. .它们的运算法则在形式上很像实数它们的运算法则在形式上很像实数加减法与乘法满足的运算法则加减法与乘法满足的运算法则, ,但它们在具体含义上是不

14、同的但它们在具体含义上是不同的. .不过由于它们不过由于它们在形式上相类似在形式上相类似, ,因此因此, ,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用在向量的线性运算中都可以使用. .【拓展训练拓展训练】1.1.设设d,ed,e分别是分别是abcabc的边的边ab,bcab,bc上的点上的点,ad=,ad= ab,be=ab,be= bc.bc.若若 (1 1,2 2为实数为实数),),则则1 1+2 2的值为的值为_._.122312deabac 2.2.如图所示如图所示, ,已知已知 abcdabcd的边的边bc

15、,cdbc,cd上的中点分别为上的中点分别为k,l,k,l,且且 = =e1 1, =, =e2 2, ,试用试用e1 1, ,e2 2表示表示 akal bccd. ，【解析解析】1.1.答案答案: : 121221de be bd=bcba=32211212ac abab=abac=3263631.2 由已知（）, 所以 ， ，而从122.2.11122121112bcx1111bkx ab akkbx dlx222411adxaddl alxx244242xbc3333142cdababxcd.233 ， ， ，又 ，由，得 ，解方程得 ，即，由， ，得设则eeeeeeeeeee类型三三

16、点共线问题类型三三点共线问题( (直观想象、逻辑推理直观想象、逻辑推理) )【典例典例】设设a,ba,b是不共线的两个非零向量是不共线的两个非零向量, ,若若 =2=2a- -b, =3, =3a+ +b, =, =a-3-3b, ,求证求证:a,b,c:a,b,c三点共线三点共线. .oaob oc 【思路导引思路导引】利用向量共线条件解答利用向量共线条件解答. .【证明证明】由题意由题意, ,得得 所以所以 与与 共线共线, ,且有公共端点且有公共端点b,b,所以所以a,b,ca,b,c三点共线三点共线. .ab ob oa322bcocob33242ab, （）（ ），（ ）（）abab

17、ababababab bc 【解题策略解题策略】 证明三点共线的方法证明三点共线的方法证明三点共线证明三点共线, ,往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线, ,必须说明构造的两个向量有公共点必须说明构造的两个向量有公共点, ,否则两向量所在的基线可能平行否则两向量所在的基线可能平行, ,解题时解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分常常会因忽视对公共点的说明而丢分. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知向量已知向量 = =a+3+3b, =5, =5a+3+3b, =-3, =-3a+3+3b, ,则则( () )a.a,b,ca.

18、a,b,c三点共线三点共线b.a,b,db.a,b,d三点共线三点共线c.a,c,dc.a,c,d三点共线三点共线d.b,c,dd.b,c,d三点共线三点共线ab bc cd 【解析解析】选选b.b.因为因为 所以所以a,b,da,b,d三点共线三点共线. .bccd26232abbd2ab ，即，abab2.2.已知非零向量已知非零向量e1 1, ,e2 2不共线不共线. .如果如果 = =e1 1+ +e2 2, =2, =2e1 1+8+8e2 2, =3(, =3(e1 1- -e2 2),),求证求证:a,b,d:a,b,d三点共线三点共线. .ab bc cd 【证明证明】因为因为

19、 = =e1 1+ +e2 2, =2, =2e1 1+8+8e2 2+3+3e1 1-3-3e2 2=5(=5(e1 1+ +e2 2)=5 .)=5 .所以所以 共线共线, ,且有公共点且有公共点b,b,所以所以a,b,da,b,d三点共线三点共线. .ab bd bccd ab abbd ，【补偿训练补偿训练】(2020(2020沧州高一检测沧州高一检测) )已知已知abcabc和点和点p p满足满足 则则pbcpbc与与abcabc的面积之比为的面积之比为_._.pa2pbpc ，0【解析解析】根据题意得根据题意得, , 故设故设 根据向量加法根据向量加法的平行四边形法则的平行四边形法

20、则, o, o为线段为线段acac的中点的中点, , 则则p p为线段为线段bobo的中点的中点, ,s spbcpbcssbcobco=12,s=12,sbcobcossabcabc=12,=12,所以所以s spbcpbcssabcabc=14.=14.答案答案: :14141pb(papc)2 ，1po(papc)2 ，pbpo ，备选类型平面向量线性运算的应用备选类型平面向量线性运算的应用( (直观想象、数学运算直观想象、数学运算) )【典例典例】已知已知abcabc中中, ,向量向量 (r),(r),则点则点p p的轨迹通过的轨迹通过abcabc的的 ( () )a.a.垂心垂心b.

21、b.内心内心c.c.外心外心d.d.重心重心ap(abac) 【思路导引思路导引】利用利用 (r)(r)得得 (d(d为为bcbc中点中点) )的关系的关系, ,从而加以判断从而加以判断. .【解析解析】选选d.d.设设d d为为bcbc中点中点, ,则则 即即p p点在中线点在中线adad上上, ,可知可知p p点轨迹必过点轨迹必过abcabc的重心的重心. .ap(abac) ap ad 与abac2adap2 ad ，所以，【解题策略解题策略】向量线性运算的应用向量线性运算的应用平面向量的线性运算多在平面图形中应用平面向量的线性运算多在平面图形中应用, ,熟悉并了解相应图形中的性质是解熟

22、悉并了解相应图形中的性质是解决问题的关键决问题的关键, ,如三角形中关于其重心的性质如三角形中关于其重心的性质, ,熟练掌握有利于快速准确地分熟练掌握有利于快速准确地分析解决此类问题析解决此类问题. .【跟踪训练跟踪训练】已知已知o o是是abcabc的重心的重心, ,且且 则实数则实数=( () )a.3a.3b.2b.2c.1c.1d. d. oa2obbc ，0【解析解析】选选c. c. 因为因为o o是是abcabc的重心的重心, ,所以所以 解得解得=1.=1.oa2obbcoa2ob(oc ob)oa(2)oboc ，0211 ，课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.已知已知a= =e1 1+2+2e2 2, ,b=3=3e1 1-2-2e2 2, ,则则3 3a- -b= =( () )a.4a.4e2 2 b.4 b.4e1 1 c.3 c.3e1 1+6+6e2 2 d.8 d.8e2 2【解析解析】选选d.3d.3a- -b