2021新教材高中数学第五章统计与概率5.1统计5.1.4用样本估计总体课件新人教B版必修第二册 (1)

1、5.1.4用样本估计总体必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.用样本估计总体用样本估计总体(1)(1)前提前提样本的容量恰当样本的容量恰当, ,抽样方法合理抽样方法合理. .(2)(2)必要性必要性在容许一定在容许一定_存在的前提下存在的前提下, ,可以用样本估计总体可以用样本估计总体, ,这样能节省人力和物力这样能节省人力和物力. .有时候总体的有时候总体的_不可能获得不可能获得, ,只能用样本估计总体只能用样本估计总体. .导导思思1.1.如何用样本平均数估计总体平均数如何用样本平均数估计总体平均数? ?2.2.样本方差、标准差公式是什么样本方差、标准差公式是什么? ?它们的区别与联系是

2、什么它们的区别与联系是什么? ?3.3.如何用频率分布直方图估计平均数、中位数、众数如何用频率分布直方图估计平均数、中位数、众数? ?4.4.同样一组数据同样一组数据, ,如果组距不同如果组距不同, ,得到的频率分布直方图也会不同吗得到的频率分布直方图也会不同吗? ?误差误差数字特征数字特征(3)(3)误差误差估计一般是有误差的估计一般是有误差的. .但是但是,_,_可以保证可以保证, ,当样本的容量越来越大时当样本的容量越来越大时, ,估计的误差很小的可能性将越来越大估计的误差很小的可能性将越来越大. .大数定律大数定律【思考思考】用样本估计总体出现误差的原因有哪些用样本估计总体出现误差的原

3、因有哪些? ?提示提示: :样本抽取的随机性样本抽取的随机性; ;样本抽取的方法不合适样本抽取的方法不合适, ,导致代表性差导致代表性差; ;样本容量偏少样本容量偏少等等. .2.2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征用样本的数字特征来估计总体的数字特征(1)(1)一般来说一般来说, ,在估计总体的数字特征时在估计总体的数字特征时, ,只需直接算出样本对应的数字特征即只需直接算出样本对应的数字特征即可可. .(2)(2)样本是用分层抽样得到的样本是用分层抽样得到的, ,由每一层的数字特征估计总体的数字特征由每一层的数字特征估计总体的数字特征. .以分以分两层抽样的情况为例两层抽样的情况为例.

4、 .3.3.用样本的分布来估计总体的分布用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为如果总体在每一个分组的频率记为1 1,2 2,n n, ,样本在每一组对应的频率记样本在每一组对应的频率记为为p p1 1,p,p2 2,p,pn n, ,一般来说一般来说, ,_不等于零不等于零. .当样本的容量越来越大时当样本的容量越来越大时, ,上式上式很小的可能性将越来越大很小的可能性将越来越大. . n2iii 11(p )n 【思考思考】用样本的数字特征来描述总体的数字特征时用样本的数字特征来描述总体的数字特征时, ,通常从哪两个方面分析通常从哪两个方面分析? ?提示提示: :(1)(

5、1)分析数据的集中趋势或取值的平均水平分析数据的集中趋势或取值的平均水平, ,如平均数、众数、中位数、如平均数、众数、中位数、百分位数百分位数; ;(2)分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小,如极差、方差和标准差如极差、方差和标准差.标准标准差、方差越大差、方差越大,数据离散程度越大数据离散程度越大,越不稳定越不稳定;标准差、方差越小标准差、方差越小,数据的离散程度数据的离散程度越小越小,越稳定越稳定.【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)样本的数字特征有随机性样本的数字特征有随

6、机性. .( () )(2)(2)只要样本抽取合理只要样本抽取合理, ,样本平均数与总体平均数相等样本平均数与总体平均数相等. .( () )(3)(3)一般地一般地, ,样本容量越大样本容量越大, ,用样本去估计总体就越准确用样本去估计总体就越准确. . ( () )提示提示: :(1).(1).在抽样过程中在抽样过程中, ,抽取的样本是具有随机性的抽取的样本是具有随机性的, ,因此样本的数字特征因此样本的数字特征也有随机性也有随机性. .(2)(2). .一般地一般地, ,样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的. .(3).(3).大数定律

7、保证大数定律保证, ,样本容量越大样本容量越大, ,用样本去估计总体就越准确用样本去估计总体就越准确. .2.2.下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( () )a.a.频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率频率分布直方图中每个小矩形的高就是该组的频率b.b.频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1 1c.c.频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大频率分布直方图中各个小矩形的宽一样大d.d.频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上边的中点得到的频率分布折线图是依次连接频率分布直方图的每个小矩形上边的中点得到的【解析解析】选选a.a.频

8、率分布直方图中每个小矩形的高频率分布直方图中每个小矩形的高= .= .频率组距3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图茎叶图, ,据图可知据图可知( () )a.a.甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩b.b.乙运动员的成绩好于甲运动员的成绩乙运动员的成绩好于甲运动员的成绩c.c.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异d.d.甲运动员的最低得分为甲运动员的最低得分为0 0分分【解析解析】选选a.a.由茎叶图可以看出甲的成

9、绩都集中在由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在30305050分分, ,且高分较多且高分较多. .而乙而乙的成绩只有一个高分的成绩只有一个高分5252分分, ,其他成绩比较低其他成绩比较低, ,故甲运动员的成绩好于乙运动员的故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩成绩. .4.4.如图所示是容量为如图所示是容量为100100的样本的频率分布直方图的样本的频率分布直方图, ,则由图中的数据可知则由图中的数据可知, ,样本样本落在落在15,2015,20内的频数为内的频数为( () )a.20a.20b.30b.30c.40c.40d.50d.50【解析解析】选选b.b.样本数据落在样本数据落在15,201

10、5,20内的频数为内的频数为1001001-51-5(0.04+0.1)=30.(0.04+0.1)=30.关键能力关键能力合作学习合作学习类型一用样本的数字特征估计总体的数字特征类型一用样本的数字特征估计总体的数字特征( (数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算) ) 【题组训练题组训练】 1.1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, ,得到样本的茎叶图得到样本的茎叶图( (如图所如图所示示),),则可估计该商店每天的顾客人数的中位数、众数、极差分别是则可估计该商店每天的顾客人数的中位数、众数、极差分别是( () )a.46,45,56a.46,4

11、5,56b.46,45,53b.46,45,53c.47,45,56c.47,45,56d.45,47,53d.45,47,532.2.下表是某超市下表是某超市5 5月份一周的利润情况记录月份一周的利润情况记录: :日期日期1212日日1313日日1414日日1515日日1616日日1717日日1818日日当日利润当日利润( (万元万元) )0.200.200.170.170.230.230.210.210.230.230.180.180.250.25根据上表你估计该超市今年五月份的总利润是根据上表你估计该超市今年五月份的总利润是( () )a.6.51a.6.51万元万元b.6.4b.6.4

12、万元万元c.1.47c.1.47万元万元d.5.88d.5.88万元万元3.3.为比较甲、乙两地某月为比较甲、乙两地某月1414时的气温情况时的气温情况, ,随机选取该月中的随机选取该月中的5 5天天, ,将这将这5 5天中天中1414时的气温数据时的气温数据( (单位单位:):)制成如图所示的茎叶图制成如图所示的茎叶图. .考虑以下结论考虑以下结论: :甲地该月甲地该月1414时的平均气温低于乙地该月时的平均气温低于乙地该月1414时的平均气温时的平均气温; ;甲地该月甲地该月1414时的平均气温高于乙地该月时的平均气温高于乙地该月1414时的平均气温时的平均气温; ;甲地该月甲地该月141

13、4时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差小于乙地该月1414时的气温的标准差时的气温的标准差; ;甲地该月甲地该月1414时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差大于乙地该月1414时的气温的标准差时的气温的标准差. .其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为( () )a.a.b.b.c.c.d.d.【解析解析】1.1.选选a.a.由题意知各数为由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,12,15,20,22,23,23,31,32

14、,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是中位数是46,46,众数是众数是45,45,最大数为最大数为68,68,最小数为最小数为12,12,极差为极差为68-12=56.68-12=56.2.2.选选a.a.从表中一周的利润可得一天的平均利润为从表中一周的利润可得一天的平均利润为 又五月份共有又五月份共有3131天天, ,所以五月份的总利润约是所以五月份的总利润约是0.210.2131=6.51(31=6.51(万元万元).).0.20 0.17

15、0.230.210.230.180.25x0.21.73.3.选选b.b.方法一方法一: :因为因为 所以所以 又又 所以所以s s甲甲ss乙乙. .故可判断结论故可判断结论正确正确. .方法二方法二: :甲地该月甲地该月1414时的气温数据分布在时的气温数据分布在2626和和3131之间之间, ,且数据波动较大且数据波动较大, ,而乙地该月而乙地该月1414时的气温数据分布在时的气温数据分布在2828和和3232之间之间, ,且数据波动较小且数据波动较小, ,可以判可以判断结论断结论正确正确. .2628293131x295甲，282930 3132x305乙 ，xx甲乙，229 10 44

16、184 10 14ss2555甲乙 ， ，【解题策略解题策略】1.1.用样本的数字特征估计总体的数字特征的可行性用样本的数字特征估计总体的数字特征的可行性(1)(1)如果抽样的方法比较合理如果抽样的方法比较合理, ,那么样本可以反映总体的信息那么样本可以反映总体的信息, ,但从样本得到的但从样本得到的信息会有偏差信息会有偏差, ,这些偏差是由样本的随机性引起的这些偏差是由样本的随机性引起的. .(2)虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征,而是总体的一个估计而是总体的一个估计,但这但这种估计是合理的种估计是合理的,特别是当样本容量很大时特别是当样本

17、容量很大时,样本的数字特征稳定于总体的数字样本的数字特征稳定于总体的数字特征特征. 2.2.样本数字特征所反映的样本的特征样本数字特征所反映的样本的特征一般地一般地, ,平均数反映的是样本个体的平均水平平均数反映的是样本个体的平均水平, ,众数和中位数则反映样本中个众数和中位数则反映样本中个体的体的“重心重心”, ,而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度, ,即均衡性、稳即均衡性、稳定性、差异性等定性、差异性等. .因此因此, ,我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题来分析问题. .【补偿

18、训练补偿训练】 1. 1.从某项综合能力测试中抽取从某项综合能力测试中抽取100100人的成绩人的成绩, ,统计如表统计如表, ,则这则这100100人的成绩的标人的成绩的标准差为准差为 ( () )分数分数5 54 43 32 21 1人数人数20201010303030301010a.a. b.b. c.3c.3d.d. 32 10585【解析解析】选选b.b.平均数为平均数为 =3.=3.故故s s2 2= = 2020(5-3)(5-3)2 2+10+10(4-3)(4-3)2 2+30+30(3-3)(3-3)2 2+30+30(2-3)(2-3)2 2+10+10(1-3)(1-3

19、)2 2 = .= .故故s= s= 5 20 4 10 3 30 2 30 1 1010011008582 10.552.2.林管部门在每年林管部门在每年3 3月月1212日植树节前日植树节前, ,为保证树苗的质量为保证树苗的质量, ,都会对树苗进行检测都会对树苗进行检测, ,现从现从甲乙两种树苗中抽测了甲乙两种树苗中抽测了1010株树苗的高度株树苗的高度, ,其茎叶图如图其茎叶图如图, ,下列描述正确的是下列描述正确的是( () )a.a.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度, ,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐且甲种树苗比乙种树苗长得整齐. .b.

20、b.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度, ,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐但乙种树苗比甲种树苗长得整齐. .c.c.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度, ,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐且乙种树苗比甲种树苗长得整齐. .d.d.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度, ,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐但甲种树苗比乙种树苗长得整齐. .【解析解析】选选d.d.由茎叶图中的数据由茎叶图中的数据, ,我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度

21、分别为别为: :甲甲:19,20,21,23,25,29,31,32,33,37:19,20,21,23,25,29,31,32,33,37乙乙:10,10,14,26,27,30,44,46,46,47:10,10,14,26,27,30,44,46,46,47由已知易得由已知易得: =(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37): =(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)10=27,10=27, =(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47) =(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)10=30, 10=30

22、, 故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度, ,甲种树苗比乙种树苗长得整甲种树苗比乙种树苗长得整齐齐. . x甲x乙22ss甲乙类型二用样本的分布估计总体的分布类型二用样本的分布估计总体的分布( (数据分析数据分析) )【典例典例】1.1.如图是一容量为如图是一容量为100100的样本的重量的频率分布直方图的样本的重量的频率分布直方图, ,则由图可估计样本的则由图可估计样本的众数与中位数分别为众数与中位数分别为( () )a.13,12a.13,12b.12.5,12b.12.5,12c.12.5,11c.12.5,11d.12,11d.12,11

23、2.(20192.(2019全国卷全国卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况, ,随机随机调查了调查了100100个企业个企业, ,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y y的频数分布表的频数分布表. .y y-0.20,0)-0.20,0)0,0.20)0,0.20)0.20,0.40)0.20,0.40)0.40,0.60)0.40,0.60)0.60,0.80)0.60,0.80)企业数企业数2 22424535314147 7(1)(1)分别估计这类企业中产值增长率不低

24、于分别估计这类企业中产值增长率不低于40%40%的企业比例、产值负增长的企的企业比例、产值负增长的企业比例业比例. .(2)(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值( (同一组中的数据用该同一组中的数据用该组区间的中点值为代表组区间的中点值为代表).().(精确到精确到0.01)0.01)附附: : 8.602.8.602.【思路导引思路导引】1.1.众数是最高的矩形的底边的中点众数是最高的矩形的底边的中点, ,中位数左边和右边的直方图中位数左边和右边的直方图的面积相等的面积相等, ,都是都是0.5.0.5.742.(1)2.(1)用样本中

25、用样本中 内的比例估计产值增长率不低于内的比例估计产值增长率不低于40%40%的企的企业比例业比例, , 内的比例估计产值负增长的企业比例内的比例估计产值负增长的企业比例; ;(2)(2)根据公式求平均数根据公式求平均数. .0.40,0.60)0.60,0.80)和 0.20,0)【解析解析】1.1.选选b.b.观察频率分布直方图可知众数为观察频率分布直方图可知众数为 =12.5,=12.5,设中位数为设中位数为x,x,则则0.060.065+ 5+ 0.1=0.5,0.1=0.5,解得解得x=12x=122.(1)2.(1)根据产值增长率频数分布表得根据产值增长率频数分布表得, ,所调查的

26、所调查的100100个企业中产值增长率不低于个企业中产值增长率不低于40%40%的企业频率为的企业频率为 =0.21.=0.21.产值负增长的企业频率为产值负增长的企业频率为 =0.02.=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%40%的企业比例的企业比例为为21%,21%,产值负增长的企业比例为产值负增长的企业比例为2%.2%.10 152(x10)1471002100(2)(2) (-0.10(-0.102+0.102+0.1024+0.3024+0.3053+0.5053+0.5014+0.7014+0.

27、707)=0.30,7)=0.30,s s2 2= = (-0.40)(-0.40)2 22+(-0.20)2+(-0.20)2 224+024+02 253+0.2053+0.202 214+14+0.400.402 277=0.029 6,=0.029 6,所以所以s= =0.02s= =0.02 0.17, 0.17,所以所以, ,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.30%,17%.1y10052iii 111n (yy)1001000.029 674【变式探究变式探究】在本例在本例1 1的条件下的条件下, ,求

28、平均重量求平均重量. .【解析解析】平均重量为平均重量为7.57.55 50.06+12.50.06+12.55 50.1+17.50.1+17.5 =12.=12.(1 5 0.065 0.1) 【解题策略解题策略】1.1.总体的分布分两种情况总体的分布分两种情况(1)(1)当总体中的个体取值很少时当总体中的个体取值很少时, ,用茎叶图估计总体的分布用茎叶图估计总体的分布; ;(2)(2)当总体中的个体取值较多时当总体中的个体取值较多时, ,将样本数据恰当分组将样本数据恰当分组, ,用各组的频率分布描述用各组的频率分布描述总体的分布总体的分布, ,方法是用频率分布表或频率分布直方图方法是用频

29、率分布表或频率分布直方图. .2.2.利用频率分布直方图求数字特征利用频率分布直方图求数字特征(1)(1)在频率分布直方图中在频率分布直方图中, ,众数是最高的矩形的底边的中点众数是最高的矩形的底边的中点. .(2)(2)在频率分布直方图中在频率分布直方图中, ,中位数左边和右边的直方图的面积相等中位数左边和右边的直方图的面积相等. .(3)(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和坐标之和. .【跟踪训练跟踪训练】1.1.为了解我国为了解我国1313岁男孩的平均身高岁男孩的平均身高, ,从北方

30、抽取了从北方抽取了300300个男孩个男孩, ,平均身高为平均身高为1.60 m;1.60 m;从南方抽取了从南方抽取了200200个男孩个男孩, ,平均身高为平均身高为1.50 m.1.50 m.由此可估计我国由此可估计我国1313岁男岁男孩的平均身高为孩的平均身高为( () )a.1.57 ma.1.57 mb.1.56 mb.1.56 mc.1.55 mc.1.55 md.1.54 md.1.54 m【解析解析】选选b.b.从北方抽取了从北方抽取了300300个男孩个男孩, ,平均身高为平均身高为1.60 m,1.60 m,从南方抽取了从南方抽取了200200个个男孩男孩, ,平均身高为

31、平均身高为1.50 m,1.50 m,则这则这500500个个1313岁男孩的平均身高是岁男孩的平均身高是 =1.56(m),=1.56(m),据此可估计我国据此可估计我国1313岁男孩的平均身高为岁男孩的平均身高为1.56 m.1.56 m.1.6 300 1.5 2005002.2.为了调查甲、乙两个交通站的车流量为了调查甲、乙两个交通站的车流量, ,随机选取了随机选取了1414天天, ,统计每天上午统计每天上午8:008:0012:0012:00间各自的车流量间各自的车流量( (单位单位: :百辆百辆),),得如图所示的茎叶图得如图所示的茎叶图, ,试求试求: :(1)(1)甲、乙两个交

32、通站的车流量的极差分别是多少甲、乙两个交通站的车流量的极差分别是多少? ?(2)(2)甲交通站的车流量在甲交通站的车流量在10,4010,40间的频率是多少间的频率是多少? ?(3)(3)甲、乙两个交通站哪个站更繁忙甲、乙两个交通站哪个站更繁忙? ?并说明理由并说明理由. .【解析解析】(1)(1)甲交通站的车流量的极差为甲交通站的车流量的极差为73-8=65,73-8=65,乙交通站的车流量的极差为乙交通站的车流量的极差为71-5=66.71-5=66.(2)(2)甲交通站的车流量在甲交通站的车流量在10,4010,40间的频率为间的频率为 . .(3)(3)甲交通站的车流量集中在茎叶图的下

33、方甲交通站的车流量集中在茎叶图的下方, ,而乙交通站的车流量集中在茎叶而乙交通站的车流量集中在茎叶图的上方图的上方, ,从数据的分布情况来看从数据的分布情况来看, ,车流量超过车流量超过5050的天数的天数: :甲有甲有8 8天天, ,乙只有乙只有3 3天天, ,所以甲交通站更繁忙所以甲交通站更繁忙. .42147【补偿训练补偿训练】 1.1.设矩形的长为设矩形的长为a,a,宽为宽为b,b,其比为其比为ba=ba= 0.618,0.618,这种矩形给人以美感这种矩形给人以美感, ,称为黄金矩形称为黄金矩形. .黄金矩形常应用于工艺品设计中黄金矩形常应用于工艺品设计中. .下面是某工艺品厂随机抽

34、下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本: :甲批次甲批次:0.598:0.5980.6250.6250.6280.6280.5950.5950.6390.639乙批次乙批次:0.618:0.6180.6130.6130.5920.5920.6220.6220.6200.6205 12根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数, ,与标准值与标准值0.6180.618比较比较, ,正确的正确的结论是结论是 ( () )a.a.甲批次的总体平均数与标准值更接近甲批次的总体平均数与标准值更接

35、近b.b.乙批次的总体平均数与标准值更接近乙批次的总体平均数与标准值更接近c.c.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同两个批次总体平均数与标准值接近程度相同d.d.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【解析解析】选选a.a.计算可得甲批次样本的平均数为计算可得甲批次样本的平均数为0.617,0.617,乙批次样本的平均数为乙批次样本的平均数为0.613,0.613,由此估计两个批次的总体平均数分别为由此估计两个批次的总体平均数分别为0.617,0.613,0.617,0.613,则甲批次的总体则甲批次的总体平均数与标准值更接近平均数与标准值更接

36、近. .2.2.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况, ,用简单随机抽样用简单随机抽样, ,从这两校中各抽取从这两校中各抽取3030名高三年级学生名高三年级学生, ,以他们的数学成绩以他们的数学成绩( (百分制百分制) )作为样本作为样本, ,样本数据的茎叶图如图样本数据的茎叶图如图: :(1)(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,0.05,求甲校高三年级学生总人求甲校高三年级学生总人数数, ,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60(

37、60分及分及6060分以上为及格分以上为及格););(2)(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 , , , ,估计估计 - - 的值的值. .1x2x1x2x【解析解析】(1)(1)设甲校高三年级学生总人数为设甲校高三年级学生总人数为n.n.由题意知由题意知 =0.05,=0.05,解得解得n=600.n=600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,5,据此估计甲校高三年级这据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为次联考数学成绩的及格率为1- = .1- = .30n

38、53056(2)(2)设甲、乙两校样本平均数分别为设甲、乙两校样本平均数分别为 , , . .根据样本茎叶图可知根据样本茎叶图可知30( 30( - - )=30 )=30 -30 -30 =(7-5)+(55+8-14)+=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=15.因此因此 - =0.5.- =0.5.故故 - - 的估计值为的估计值为0.50.5分分. .1x 2x 1x 2x 1x 2x 1x

39、 2x 1x2x类型三频率分布直方图与数字特征的综合应用类型三频率分布直方图与数字特征的综合应用( (直观想象、数学运算直观想象、数学运算) )【典例典例】已知一组数据已知一组数据: :125125121121123123125125127127129129125125128128130130129129126126124124125125127127126126122122124124125125126126128128(1)(1)填写下面的频率分布表填写下面的频率分布表: :分组分组频数累计频数累计频数频数频率频率120.5,122.5)120.5,122.5)122.5,124.5)12

40、2.5,124.5)124.5,126.5)124.5,126.5)126.5,128.5)126.5,128.5)128.5,130.5128.5,130.5合计合计(2)(2)作出频率分布直方图作出频率分布直方图; ;(3)(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. .【思路导引思路导引】(1)(1)将所给数据按从小到大的顺序排序将所给数据按从小到大的顺序排序, ,列表列表. .(2)(2)根据频率分布表作出频率分布直方图根据频率分布表作出频率分布直方图. .(3)(3)根据频率分布表根据频率分布表(

41、 (直方图直方图) )计算这组数据的众数、中位数和平均数计算这组数据的众数、中位数和平均数. .【解析解析】(1)(1)频率分布表如表频率分布表如表: :(2)(2)(3)(3)在在124.5,126.5)124.5,126.5)中的数据最多中的数据最多, ,取这个区间的中点值作为众数的近似值取这个区间的中点值作为众数的近似值, ,得众数为得众数为125.5,125.5,事实上事实上, ,众数的精确值为众数的精确值为125.125.图中虚线对应的数据是图中虚线对应的数据是124.5+2124.5+2 =125.75,=125.75,事实上事实上, ,中位数为中位数为125.5.125.5.使用

42、使用“组中值组中值”求平均数求平均数: : =121.5=121.50.1+123.50.1+123.50.15+125.50.15+125.50.4+127.50.4+127.50.2+129.50.2+129.50.15=125.8,0.15=125.8,事实上事实上, ,平均数的精确值为平均数的精确值为 =125.75.=125.75.58xx【解题策略解题策略】(1)(1)利用频率分布直方图求数字特征利用频率分布直方图求数字特征: :众数是最高的矩形的底边的中点众数是最高的矩形的底边的中点; ;中位数左右两侧直方图的面积相等中位数左右两侧直方图的面积相等; ;平均数等于每个小矩形的面积

43、乘以小矩形底边中点的横坐标之和平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. .(2)(2)利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值, ,往往与实际数据得出的往往与实际数据得出的不一致不一致, ,但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数. .【跟踪训练跟踪训练】某中学举行电脑知识竞赛某中学举行电脑知识竞赛, ,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组, ,绘绘制成如图所示的频率分布直方图制成如图所示的频率分布直方图, ,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五已知图

44、中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求求: :(1)(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数高一参赛学生的成绩的众数、中位数; ;(2)(2)高一参赛学生的平均成绩高一参赛学生的平均成绩. .【解析解析】(1)(1)由题图可知众数为由题图可知众数为6565分分, ,又因为第一个小矩形的面积为又因为第一个小矩形的面积为0.3,0.3,所以设中位数为所以设中位数为60+x,60+x,则则0.3+x0.3+x0.04=0.5,0.04=0.5,得得x=5,x=5,所以中位数为

45、所以中位数为60+5=65(60+5=65(分分).).(2)(2)依题意依题意, ,平均成绩为平均成绩为: :55550.3+650.3+650.4+750.4+750.15+850.15+850.1+950.1+950.05=67,0.05=67,所以高一参赛学生的平均成绩约为所以高一参赛学生的平均成绩约为6767分分. .课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.某学习小组在一次数学测验中某学习小组在一次数学测验中, ,得得100100分的有分的有1 1人人,95,95分的有分的有1 1人人,90,90分的有分的有2 2人人,85,85分的有分的有4 4人人,80,80分和分和7575分的

46、各有分的各有1 1人人, ,则该小组成绩的平均数、众数、则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是中位数分别是( () )a.85,85,85a.85,85,85b.87,85,86b.87,85,86c.87,85,85c.87,85,85d.87,85,90d.87,85,90【解析解析】选选c.c.由平均数、中位数、众数的定义可知由平均数、中位数、众数的定义可知, ,平均数平均数 =87;=87;因为得因为得8585分的有分的有4 4人人, ,所以众数是所以众数是85;85;把成绩由大到小排列为把成绩由大到小排列为100,95,90,90,85,85,85,85,80,75,100,95,

47、90,90,85,85,85,85,80,75,故中位数是故中位数是85.85.1 100 1 952 90 4 85 1 80 1 75x1 124 1 1 2.(2.(教材二次开发教材二次开发: :练习改编练习改编) )甲乙两名学生六次数学测验成绩甲乙两名学生六次数学测验成绩( (百分制百分制) )如图所如图所示示. .甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ;甲同学的平均分比乙同学高甲同学的平均分比乙同学高; ;甲同学的平均分比乙同学低甲同学的平均分比乙同学低; ;甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. .上

48、面说法正确的是上面说法正确的是( () )a.a.b.b.c.c.d.d.【解析解析】选选a.a.甲的中位数为甲的中位数为81,81,乙的中位数为乙的中位数为87.5,87.5,故错故错, ,排除排除b b、d;d;甲的平均分甲的平均分 = = (76+72+80+82+86+90)=81,(76+72+80+82+86+90)=81,乙的平均分乙的平均分 = = (69+78+87+88+92+96)=85,(69+78+87+88+92+96)=85,故错故错, ,对对, ,排除排除c.c.x16x163.3.空气质量指数空气质量指数(air qua(air qual lity index,ity index,简称简称aqi)aqi)是定量描述空气质量状况的指是定量描述空气质量状况的指数数, ,空