二节无穷积分的质与收敛判别

1、第二节 无穷积分的性质与收敛判别第十一章第十一章 反常积分反常积分第一节 反常积分的概念第三节 瑕积分的性质与收敛判别例：例：曲曲边边梯梯形形”的的面面积积。，右右边边所所围围成成的的“开开口口轴轴及及直直线线求求曲曲线线1,12 xxxy0 0 x xy y1 1b b21xy 解：由于这个图形不是封闭的解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形曲边梯形, ,而在而在x x轴的正方轴的正方 向是开口的，即这是的积向是开口的，即这是的积 分区间为分区间为11，），），显然当显然当b b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，改变时，曲边梯形的面积也随之改变，1)11(lim1lim21 bdxxbbbb时

2、时，即即故故bxdxxabbb1111, 1121 的的面面积积为为则则故故定义定义1: 设函数设函数 f (x)在区间在区间a, + )上连续上连续, 取取b a,如果极限如果极限babdxxf)(lim存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x)在无穷区间在无穷区间a, + )上上的反常积分的反常积分, 记作记作 即 ,)(adxxfbabadxxfdxxf)(lim)(1)这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛; 若上述极若上述极限不存在限不存在, 就称反常积分就称反常积分 发散发散, 这时记这时记号号 不再表示数值了。不再表示数值了。adxxf)(adxxf)(adxxf

3、)(例如：例如：bbdxxdxx020211lim11bbx0arctanlimbbarctanlim2oyxb211xy1类似地类似地, 设函数设函数 f (x)在区间在区间(, b上连续上连续, 取取a b,如果极限如果极限baadxxf)(lim存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x)在无穷区间在无穷区间(, b上反常积分上反常积分, 记作记作 , baabdxxfdxxf)(lim)(2)bdxxf)(这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛; 若上述若上述极限不存在极限不存在, 就称反常积分就称反常积分 发散发散.bdxxf)(bdxxf)(即即 设函数设函数 f (

4、x)在区间在区间(, + )上连续上连续, 00)( )(dxxfdxxf和都收敛都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数 f (x)在在区间区间(, + )上的反常积分上的反常积分.记作记作 dxxf)(00)( )()(dxxfdxxfdxxfbbaadxxfdxxf00)( lim )(lim(3)dxxf)(这时这时, 也称反常积分也称反常积分 收敛收敛; 否则就称否则就称反常积分反常积分 发散发散.dxxf)(如果反常积分如果反常积分 上述反常积分统称为无穷限的反常积分上述反常积分统称为无穷限的反常积分.,即即解：解：02022111xdxxdxxdxbba

5、adxxdxx020211lim11limbbaaxx00arctanlimarctanlimbabaarctanlimarctanlim2)2(注注: 为方便起见为方便起见, 把把.)()(limababxfxf记作abo211xyxy 21xdx计算反常积分计算反常积分例例1解解:bptbptdttedtte00limbptbptbdtepept001lim0201ptptepept) 10(10lim12ptepptt21p)0( ,0 ppdttept是常数且是常数且计算反常积分计算反常积分例例2解解: 当当 p = 1时时 aaapxxdxxdxln1 ,11 ,1111ppappx

6、dxxpapap当当 p 1时时 因因此此，当当1 p时时反反常常积积分分收收敛敛；当当1 p时时反反常常积积分分发发散散. 定义定义2: 设函数设函数 f (x)在区间在区间(a, b上连续上连续, 而在点而在点 a 的的则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x)在在(a, b上的上的反常积分反常积分(瑕积分瑕积分). a称为称为f的瑕点的瑕点上有界且可积上有界且可积,如果极限如果极限右邻域内无界右邻域内无界, 但在任何闭区间但在任何闭区间(u, b (a, b存在存在,jdxxfbuau)(limbabadxxfdxxf)(lim)(0(4)这时也称反常积分这时也称反常积分 收敛收敛.

7、如果上述如果上述极限不存在极限不存在, 就称反常积分就称反常积分 发散发散.badxxf)(badxxf)(即仍然记作,)(badxxf类似地类似地, b为为f的的瑕点瑕点例例4 4 计算计算解解:).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 另解另解 axadx02200arcsin aax莱莱牛牛.2 注意注意：（常）积分与瑕积分在记号上完全相同。（常）积分与瑕积分在记号上完全相同。例例5 5 1 1 xdx计算计算 1

8、1 xdx解二解二为为无无界界点点0 x 0 1 xdx 1 0 xdx. 00lim00 几何意义几何意义 1 00limxdx 1 00(limxdx 1 00lim xdx 1 ) xdx 1 1 xdx莱莱牛牛 11 |ln x. 0 解一解一 1 1 xdx正确解为正确解为为为无无界界点点0 x莱莱牛牛 0 1 xdx 1 0 xdx100 ln x 1 1 xdx.发发散散 1 0 xdx 当当q 1时时, 收敛收敛; 当当q 1时时, 发散发散. 证证: 当当q = 1时时 babaqaxdxaxdx )(baaxdx0limbaax)ln(lim0ln)ln(lim0ab ba

9、qaxdx)(证明反常积分证明反常积分例例6当当q 1时时, baqaxdx)(baqaxdx)(lim0baqqax1)(lim10qqabq110)(11lim1 , 1 ,1)(1qqqabqqabq1)(1其值为其值为 因此因此, 当当q 1时时,反常积分反常积分 收敛收敛, baqaxdx)(当当q 1时时, 反常积分反常积分 发散发散. baqaxdx)(注意注意 反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。要仔细检查是否有瑕点。 反常积分中，牛顿莱布尼茨公式，换元积分公式、分部反常积分中，牛顿莱布尼茨公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。如如 无穷限积分无穷限积分 aaf