2021年全国中考数学真题分类汇编--三角形：相似三角形（老师版）

1、2021全国中考真题分类汇编（三角形）-相似三角形一、选择题1. （2021河北省）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB（）A1cmB2cmC3cmD4cm【分析】高脚杯前后的两个三角形相似根据相似三角形的判定和性质即可得出结果【解答】解：如图：过O作OMCD，垂足为M，过O作ONAB，垂足为N，CDAB，CDOABO，即相似比为，OM1578，ON1174，AB3，故选：C2. （2021遂宁市）如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）A. 12cm2B. 9cm2C. 6cm2D

2、. 3cm2【答案】B【解析】【分析】由三角形的中位线定理可得DE=BC，DEBC，可证ADEABC，利用相似三角形的性质，即可求解【详解】解：点D，E分别是边AB，AC的中点，DE=BC，DEBC，ADEABC，SADE=3，SABC=12，四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，故选：B3. （2021浙江省绍兴市）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO5m，树AB与路灯O的水平距离AP4.5m，则树的高度AB长是（）A2mB3mCmDm【分析】利用相似三角形的性质求解即可【解答】解：ABOP，CABCPO，OP4（m），故选：A4. （2021湖北省恩施州）如图，

3、在44的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）ACEBDBABCCBDCACCDDABCCBD【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断ABCCBD和ACCD不成立；再根据锐角三角函数可以得到ABC和CBD的关系【解答】解：由图可得，BC2，CD，BD5，BC2+CD2（2）2+（）225BD2，BCD是直角三角形，EFGD，BFEBGD，即，解得EF1.5，CECFEF41

4、.52.5，故选项A错误；由图可知，显然ABC和CBD不全等，故选项B错误；AC2，CD，ACCD，故选项C错误；tanABC，tan，ABCCBD，故选项D正确；故选：D5. （2021浙江省温州市）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A，则AB的长为（）A8B9C10D15【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可【解答】解：图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，即，解得，AB9，故选：B6. （2021重庆市A）如图，ABC与BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则ABC与DEF的周长之比是（ ）A. 1：2B. 1：4C. 1

5、：3D. 1：9【答案】A【解析】【分析】利用位似的性质得ABCDEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解：ABC与DEF位似，点O为位似中心ABCDEF，OB：OE= 1：2，ABC与DEF的周长比是：1：2故选：A7. （2021重庆市B）如图，在平面直角坐标系中，将OAB以原点O为位似中心放大后得到OCD，若B（0，1），D（0，3），则OAB与OCD的相似比是（）A2：1B1：2C3：1D1：3【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即可【解答】解：B（0，1），D（0，3）OB1，OD3OAB以原点O为位似中心放大后得到OCDOAB与OCD的相似比是OB：

6、OD1：3故选：D8. （2021江苏省连云港）如图，中，、相交于点D，则的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题【详解】解：过点C作的延长线于点，与是等高三角形，设，故选：A9. （2021黑龙江省龙东地区）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为48，则的面积为（ ）A. 5.5B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意易得，进而可得，则有，然后根据相似比与面积比的关

7、系可求解【详解】解：四边形是平行四边形，AE=EF，平行四边形的面积为48，点为的中点，和同高不同底，故选C二填空题1. （2021湖南省邵阳市）如图，在矩形ABCD中，DEAC，垂足为点E若sinADE，AD4，则AB的长为 3【分析】易证ACDADE，由矩形的性质得出BACACD，则，由此得到AC5，最后由勾股定理得出结果【解答】解：DEAC，ADE+CAD90，ACD+CAD90，ACDADE，矩形ABCD的对边ABCD，BACACD，sinADE，AC5，由勾股定理得，AB3，故答案为：32. （2021江苏省南京市）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长

8、为_【答案】【解析】【分析】过点C作CM/交于点M，证明求得，根据AAS证明可求出CM=1，再由CM/证明，由相似三角形的性质查得结论【详解】解：过点C作CM/交于点M，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ， ，在和中， 故答案为：3. （2021宿迁市）如图，在ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则AFE面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据ABC中，AB=4，BC=5，得到当ABBC时，ABC面积最大，即可求出AF

9、E面积最大值【详解】解：如图，连接DF，CD=2BD，CF=2AF，C=C，CDFCBA，,CFD=CAB，DFBA，DFEABE，,CF=2AF，,CD=2BD，,ABC中，AB=4，BC=5，当ABBC时，ABC面积最大，为，此时AFE面积最大故答案为：4. （2021江苏省扬州） 如图，在中，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，且，则的长为_【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质得到GFAB，证明CGFCAB，可得，证明ADGBEF，得到AD=BE=，在BEF中，利用勾股定理求出x值即可【详解】解：DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，四边形DEFG是矩形，GFAB，CGFC

10、AB，即，AD+BE=AB-DE=，AC=BC，A=B，又DG=EF，ADG=BEF=90，ADGBEF（AAS），AD=BE=，在BEF中，即，解得：x=或（舍），EF=，故答案为：5. （2021浙江省嘉兴市）如图，在直角坐标系中，ABC与ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 （4，2）【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心【解答】解：如图，点G（4，2）即为所求的位似中心故答案是：（4，2）6. （2021黑龙江省大庆市）已知，则 ；7. （2021云南省）如图，在ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F若BF6，则BE的长是 98. （2

11、021吉林省）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 m9. (2021内蒙古包头市)如图，在中，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N若，则MN的长为_【答案】10.（2021江苏省连云港）如图，BE是ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D若BF=3EF，则=_【答案】【解析】【分析】连接ED，由是的中线，得到，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可【详解】解：连接ED是的中线，设，与是等高三角形，故答案为：1

12、1.（2021上海市）如图，已知，则_【答案】【解析】【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据AODCOB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可【详解】解：作AEBC，CFBDABD和BCD等高，高均为AE ADBCAODCOBBOC和DOC等高，高均为CF故答案为：12.（2021山东省菏泽市）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，AD5，BC10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在ABC的边上，那么AEM与四边形BCME的面积比为 1：3【分析】通过证明AEMABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得（）2，即

13、可求解【解答】解：四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，EFEHHM，EMBC，AEMABC，EF，EM5，AEMABC，（）2，S四边形BCMESABCSAEM3SAEM，AEM与四边形BCME的面积比为1：3，故答案为：1：313. （2021四川省南充市）如图，在ABC中，D为BC上一点，BCAB3BD，则AD：AC的值为 【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明出ABCDBA，再根据相似三角形的对应边成比例，变形即可得出答案【解答】解：BCAB3BD，BB，ABCDBA，,AD:AC,故答案为：14. 2021浙江省湖州市）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的数学的魅力

14、一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）则图中AB的长应是 【答案】1【解析】如图，CD1，DG，则求得CG，根据CDGDEG，可求得DE，AE1，ABAE1三、解答题 1. （2021湖北省黄冈市）如图，在ABC和DEC中，AD（1）求证：ABCDEC；（2）若SABC：SDEC4：9，BC6，求EC的长【分析】（1）由两角相等的两个三角形相似可判断ABCDEC；（2）由相似三角形的性质可得()2，即可求解【解答】证明：（1）BCEACDBCE+ACEACD+ACE，DCEACB，又AD，ABCDEC；（2

15、）ABCDEC；()2，又BC6，CE92. （2021湖南省常德市）如图，在中，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接（1）求证：；（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、得如图求证：；设与相交于点P，求证：【答案】(1)见解析；(2)见解析，见解析【解析】【分析】（1）先用，且证明出四边形ATBN是平行四边形，得到TADCND，用对应边相等与等量代换，从而得出结论（2）连接AM、MN，利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出OCM是直角三角形，证明出RtOATRtOCM，得到对应角相等，则得到答案；连接OP，由中，得到OTM=OAP，点O、T

16、、A、P共圆，由直径所对的圆周角为直角，证明出OPT=90，再根据等腰三角形的三线合一性得出结论【详解】证明：（1），且 ，且，四边形ATBN是平行四边形，DTA=DCN，ADT=NDC，点D为AN的中点，AD=ND，TADCND（AAS）TA=CN，BN=CN，（2）如图所示，连接AM、MN，点N关于边的对称点为M，ANCAMC，ACN=ACM，AB=AC，点N为AC的中点，平行四边形ATBN是矩形，TAB=ABN=ACN=ACM，BAN=MAC=CAN，AT=BN=NC=MC，OA=OC，CAN=ACO，TAB+BAN=ACM+ACO=90，OAT=OCM=90，在RtOAT和RtOCM中

17、，AT=CM，OAT=OCM ，OA=OC，RtOATRtOCM（SAS），AOT=COM，OT=OM，AOT+AOM=COM+AOM，TOM=AOCOA=OC，OT=OM，；如图所示，连接OP，OTM=OAP，点O、T、A、P共圆，OAT=90，OT为圆的直径，OPT=90，OT=OM，点P为TM的中点，由（1）得TADCND，TD=CD，点D为TC的中点，DP为TCM的中位线，3. （2021湖北省荆州市）在矩形ABCD中，AB2，AD4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FEAD于E，将AEF沿EF翻折得到GEF，点G在射线AD上，连接CG（1）如图1，若点A的对称点G落在A

18、D上，FGC90，延长GF交AB于H，连接CH求证：CDGGAH；求tanGHC（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，GCF90，判断GCF与AEF是否全等，并说明理由【分析】（1）由矩形的性质和同角的余角相等证明CDG与GAH的两组对应角相等，从而证明CDGGAH；由翻折得AGBDACDCG，而tanDAC，可求出DG的长，进而求出GA的长，由tanGHC即GHC的对边与邻边的比恰好等于相似三角形CDG与GAH的一组对应边的比，由此可求出tanGHC的值；（2）GCF与AEF都是直角三角形，由tanDAC可分别求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的长，再由直角边的比不相等判断GC

19、F与AEF不全等【解答】（1）如图1，证明：四边形ABCD是矩形，DGAH90，DCG+DGC90，FGC90，AGH+DGC90，DCGAGH，CDGGAH由翻折得EGFEAF，AGHDACDCG，CDAB2，AD4，tanDAC，DGCD21，GA413，CDGGAH，tanGHC（2）不全等，理由如下：AD4，CD2，AC，GCF90，tanDAC，CGAC2，AG5，EAAG，EFEAtanDAC，AF，CF2，GCFAEF90，而CGEA，CFEF，GCF与AEF不全等4. （2021广西玉林市）如图，在中，在上，（1）求证：；（2）若，求的值【答案】（1）见详解；（2）5. （20

20、21山西省中考）阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：得出，当时，但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一

21、条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：用公式计算：当，时，的值为多少；如图，在中，是的角平分线，用你所学的几何知识求线段的长（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）；【分析】（1）根据题意可直接进行求解问题；（2）利用公式可直接把，代入求解即可；过点作，交的延长线于点，由题意易得，则有，然后可得为等边三角形，则，所以可得，最后利用相似三角形的性质可求解【详解】（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等（2）解：当，时，解：过点作，交的延长线于点，如图所示：平分，为等边三