二次函数与幂函数教学设计课题

1、实用文案幕函数与二次函数高考考点：1. 求二次函数的解析式.2 .求二次函数的值域与最值.3 .利用幕函数的图象和性质分析解决有关问题.【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幕函数的图象和性 质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，掌握求函数最值的常用方法：配 方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合 思想的综合应用.基础梳理1 .幕函数的定义一般地，形如y = X a(a R)的函数称为幕函数，其中底数 X是自变量，a为常数.2 .幕函数的图象1在同一平面直角坐标系下，幕函数 y = x, y = x2, y = x3, y = ,

2、 y = x-1的图象分别如右图.3 .幕函数的性质函 横数y = xy = x2y = x31y=x2y = x 1定义域RRR0，+x)x|x R 且 x 工0值域R0 ,+x)R0，+x)y|y R 且 y F奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x 0 ,+x)时，增x ( x, 0时，减增增x （0，+x）时，减x （ x，0）时，减定点(0,0) , (1,1)(1,1)4.二次函数的图象和性质解析式f(x) = ax2 + bx + c(a0)f(x) = ax2 + bx + c(a0)图象定义域( x,+x)( x,+x)值域4ac b2+ x4a 4ac b2oo4a在x b,+x

3、上单调递增2ab在x o,上单调递减2a单调性在x b x,丁上单调递增2ab在x ,+x 上单调递减2a奇偶性当b二0时为偶函数，b #0时为非奇非偶函数顶点b2a，4ac b24a对称性b图象关于直线x = -2a成轴对称图形5.二次函数解析式的三种形式一般式：f(x) = ax2+ bx + c(a却)顶点式：f(x) = a(x h)2+ k(a工0)两根式：f(x) = a(x xi)(x X2)(a却)五个代表1函数.y.=. x .,.y三x2,y亍x3_.,y三.x；_,y三x1可做为.研究和学习幂函数图象和性质. 的代表两种方法函数y=f(x)对称轴的判断方法一(1) 对于二

4、次函数y.=f(x)对定义域内所有x,都有.f(x.i)亍f(x.2),那么函数_.y= f(x)xi + X2的图象关于x对称,(2) 对于二次函数y=f(x)对定义域内.所有x,都有.f(a 土 x).= f(ax).成立的充要条件是函数._y三f(x)的图.象关于直线.x.三a.对称(a为常数.)，双基自测1 , (2011 安徽设f(x)是定义在R上的奇函数，当xO时，f(x) = 2x2 x，则f(1) 二()B. 1解析f(x)为奇函数， f二一f( 1)二一3.答案 A2. (人教A版教材例题改编)如图中曲线是幕函数y = xn在第一象限的图象.已知1n取2,2四个值，则相应于曲

5、线 Ci, C2, C3, C4的n值依次为().1 111A2 ,_, _, 2B.2，-22 222，1111C.-2,2 ,-D .2 _2,2222答案Bx, x 0.B. 4 或 2D . 2 或 2A. 4 或2C. 2 或 4aWO ,a0,解析由或a= 4a2= 4 ,得a= 4或a=2,故选B.标准文档答案 B 4.已知函数f(x) = x2 2x + 2的定义域和值域均为1 , b，则b等于().A. 3 B. 2 或 3 C. 2 D . 1 或 2解析 函数f(x) = x2 2x+ 2在1 , b上递增，f 1=1, 2b2 3b + 2 = 0 ,由已知条件f bb

6、1 ,二b,即解得b二2.b1.答案 C5. (2012 武汉模拟若函数f(x) = (x+ a)(bx + 2a)(常数a、b R)是偶函数，且它的值域为(一, 4，则该函数的解析式f(x) =.解析 f(x)= bx2 + (ab + 2a)x + 2a2由已知条件ab + 2a = 0，又f(x)的值域为(-, 4,a却,则 b二一2 , 因此 f(x)= 2x2 + 4.2a2 = 4.答案2x2 + 4考向一二次函数的图象【例1】? (2010 安徽设abc 0，二次函数f(x)= ax2 + bx + c的图象可能是().审题视点分类讨论a 0, a v 0.解析 若a0，则be

7、0，根据选项C、D , cv 0,此时只有b v0，二次函数b的对称轴方程x= 0，选项D有可能；若a v 0，根据选项A, ev 0，此 2ab时只能b 0，二次函数的对称轴方程 x= 0，与选项A不符合；根据选2a项B，e0，此时只能b v 0，此时二次函数的对称轴方程 x=b2av 0，与选项B不符合综合知只能是选项 D.答案 D分析二次函数的图象，主要有两个要 点：一个是看二次项系数的符号， 它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称 轴和最值， 它确定二次函数的具体位置 对于函数图象判断类似题要会根据图象 上的一些特殊点进行判断， 如函数图象与正半轴的交点、 函数图象的最高点与最 低

8、点等【训练1】已知二次函数f(x)的图象如图所示，贝U其导函数f(x)的图象的大致形状是 ( )解析 由函数f(x)的图象知：当x ( X, 1时，f(x)为减函数， f (x)wo;当x 1 ,+x)时，f(x)为增函数， f(x)0.结合选项知选C.答案 C考向二 二次函数的性质【例2】?函数f(x) = x2 2x + 2在闭区间t，t + 1(t R)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式；作g(t)的图象并写出g(t)的最小值.审题视点分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式.解(1)f(x) = (x 1)2 +1.当 t + K1，即 t 0 时，g(t) = t

9、2 + 1.当 t1 t + 1，即 0t1 时，g(t) = f(t)= (t 1)2 + 1t2+ 1 o, t o,综上可知 g(t)= 1, 0 t1.(2)g(t)的图象如图所示，可知g(t)在(s, 0上递减，在1 ,+鸡)上递增，因此g(t)在0,1上取到最小值1.(1)二次函数 y = ax2 + bx + c,在(s,+s)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出；二次函数y = ax2+ bx + c,在m , n上的最值需要根据二次函数y = ax2 + bx + c图象对称轴的位 置，通过讨论进行求解.【训练2】 已知函数f(x) = x2+ 2ax + 2 , x

10、5,5.当a= 1时，求函数f(x)的最大值和最小值.(2)求实数a的取值范围，使y= f(x)在区间5,5上是单调函数.解 当 a= 1 时，f(x) = x2 2x+ 2 = (x 1)2 + 1 , x 5,5,x = 1时，f(x)取得最小值1 ；x = 5时，f(x)取得最大值37.函数f(x) = (x+ a)2 + 2 a2的图象的对称轴为直线x = a，vy = f(x)在区间5,5上是单调函数，a5，故a的取值范围是a5.考向三幕函数的图象和性质【例3】?已知幕函数f(x) = xm2 2m 3(m N*)的图象关于y轴对称，且在 mm(0,+x)上是减函数，求满足(a +

11、1) -(3 2a)；的a的取值范围.33审题视点由幕函数的性质可得到幕指数 m2 2m 30，再结合m是整数, 及幕函数是偶数可得m的值.解 v函数在(0 , +)上递减，m2 2m 3 0，解得1 m 3.m N *, m = 1,2.又函数的图象关于y轴对称，m2 2m 3是偶数，而22 2X2 3 = 3为奇数，12 2 X1 3= 4 为偶数，5 = 1.1而f(x) = x 3在(g, 0), (0,+x)上均为减函数,31 1(a+ 1) -33 -2a0 或 0 a + 1 3 2a 或 a+ 1 v 0 v3 2a.2 3解得a v-1或3 v a v夕2 3故a的取值范围为

12、a|av 1 或-vav-3 2本题集幕函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幕函数的概念及性质. 解答此 类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或 范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数 a的取值范围.实用文案【训练3】 幕函数y = xa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一族美丽的曲线(如图)设点A(1,0) , B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幕函数 y= xa，y = x卩的图象三等分，即有|BM| = |MN |NA|.那么，a沪B. 2C. 3解析法D .无法确定1221

13、可得#a 333331 2 2 1由条件得M 3,3小3,3，由一般性,1 2ig-|g-2112211233即 a= log ， 匸 log.所以 a# loglog=1.3333333321ig ig3 31221由解法一，得=a 一33，33法二1 2 13 “ 产3,即a#1答案 A3标准文档实用文案规范解答4如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相 对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行 分类讨论，避免漏解.【解决方案】 对于二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a丸)而言，首先确定对称轴，然 后与所给区间的位置关系分三类进行讨论.【示例】？(本题满分12分)(2011 济南模拟已知f(x) = 4x2+ 4ax -4a-a2在 区间0,1内有最大值一5,求a的值及函数表达式f(x).求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论.a解答示范Tf(x)= 4 x-2 -4a，a抛物线顶点坐标为，- 4a .(1分)