无穷级数知识题及答案解析

1、第十一章无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性；2.1n 1 2n 2n 2；3.13n判断下列正项级数的敛散性n!4 . n 11007J 口 ； 7 .2n2n 3n 1 n n 39.n 1 3n 1n；10 .求下列任意项级数的敛散性,收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11.n 11 n 1 - 122*11n;13.1J1.011.0011.0001 ；44213n15.xn ; 16.n 1 - nn1 n Lnn；17 .n!xn ； 18 .232222 132 1求下列幕级数的收敛半径和收敛区间19 .*x2n1 ; 20 .n 1 2求下列级数的和函数；22 .n 121 .

2、 nxn 11 2n 1芦X；n 1 2将下列函数展开成X x0的幕的级数X23 . shx Xo0 ; 24 .2COS X ,X025 .1 x In 1 x,x0 ; 26 .1X0X27 . Axxcos-,2x o 28 . f x 2t ,29 .将函数f x2x 3x t 0,展开成付里叶级数。x , 0 t 330 .将函数f xx , 0 x -2分别展开成正弦级数和余弦级数l x , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1 . ; 2.n 0 3n 1 3n 42、n判断下列正项级数的敛散性n12n3n 12n 3n ann 1 2 n 1，(a 0);ban,其中an

3、 a (n),an , b , a均为正数;1n 1 11n,(a 0); 9.4 2x ;x判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛2n2n 1 210. 1 ; 11.n 1n!；12.ln、3n 2 3n 2求下列幕级数的收敛半径和收敛域13 .n 12nn x;14 .2n !nxn nn 1 a b,(a0,b0)；15 .n 1n 12n4n x2n 1;16.3n求下列级数的和函数17 . nx2n ; 18 .n 1红X2n ; 19 .20 .求证：In 2将下列函数展开成XXo的幕的级数21 . f Xr-12x2 3x 1,XoX1 ；23 . Tx2

4、Xo 0 ；24 证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项;125 .写出函数 f x - x 2k , x 2k 12,2k 1k 0, 1, 2,的付里叶级数，并讨论收敛情况。26 .设fx是周期为2的周期函数，上的表达式为a 21a11 a1 1 a21a1 1 a21 an的敛散性。厂x2f XX ,X，将f X展开成付里叶级数。22,X2 227 .将函数f xx .设ai 0 , i 1,2,，判断级数，(0 x l)分别展开成正弦级数和余弦级数(C)1 .用定义判断下列级数的敛散性1n 1 2 n 1 2n 1 2n 3判断下列正项级数的敛散性In n1； 5.n1n2n6 .判断级数

5、sin 的敛散性。n 1 n 22n求下列幕级数的收敛半径和收敛区间7 . n 1 n 2n x2n ; 8 .n 1求下列级数的和9. -Tn 1 n 2n 11为x幕级数，并推出x10 .展开dx xn11 .求级数n22x3n 1的收敛区间及和函数n 1x,0 x12 .设函数f x220，x2区弦级数和余弦级数。13 .将周期函数f x1 , ,01 , 0,f1 xa ,0b , 0,，f2 x|x|，4 1丄3211422n 1 2o第，试分别将f x展成为以2为周期的,展为付氏级数，并据此求周期函数, 的付氏级数，求下面级数章无穷级数(A)、k 2、k 1、n 2 、2，(n),

6、二原级数发2 .解： Snk 1 2k 2k 212k12k2n 2(n)，原级数收敛且和为3 解:Sn1k 13原级数收敛且和为-。44 解: limUnn 1u7limnn 1 !100n100n 1limn100由比值判别法知原级数发散。5 解:.TimnUn 1Unlimnn ee nlim1 nn e1-1，由比值判别法e知，原级数收敛。解: lim Unnlimnn 12n12n 2nn n 30，原级数发散。Un1limn由比较判别法知原级数发散。解：tlim Unn 1U：lim丄n n 10 ,由比值判别法知，原级数收敛。9 .解： limnnUnnimnn3nlimnn3n

7、 1由比值判别法知,原级数收敛。nnn 12而limnn. n 12lim n、Unn11，由比值判别法知，原级数收敛。11 .解：|Un |黑，由正项级数的比值判别可知,n 1 2此级数收敛，故原级数绝对收敛。12 .解：|Un1ln n1发散。21 n n因此原级数非绝对收敛，又，显然In n 11ln nn 2,3,，且 lim n ln n故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13 .解： lim |Un |nlim |0n0|.原级数发散。14 .解：此为交错级数，即n 1，（n1）而级数 1发散,n 1 n故|U n |发散，即原级数非绝对收敛,n 1显然门单调递减且趋向于零，故原级

8、数条件收敛。15 .解：tlimnan 1an1级数为 1发散，当n 1屮nlim 3n1n3，nlim 3n级数为故原级数的收敛区16.解区间为17 .解：18 .解:tlimnan 1anan 1anan 1annnn 11111,.R ，收敛limn2nn2n 1 n 12。故当|x1| 2，即 1 x 3时收敛，当x1或x 3时发散，当x1时，级数为收敛；当x时，级数为发散。故收敛区间为1,3Un12n 3 & 1x2Uncn2n 12 x解：22x2.2 x2时收敛,1，即 2时发散，Ix . 2时原级数为2、2 ,发散,故收敛区间为、2,、220 .解:时，原级数n21 .解:22

9、 .解:an 1an3nn发散。故收敛区间为3,3n nx1,|x| 1 ,xf x dx0n 1 nxdxnx1dxdx2 , |x|x12n 1x12n 11In1。|x|12n 1x2n 1x x22x01dx ,x2n2n2n 1x21x21 dx,1x - In2 1|x|23 .解:1 2kx2 k 0 2k !24 .解:2 cos21cos2x2n !2x2n2n2n2n2n25 .解:In 1|x| 1j126 .解:31 x 33n3n1，即 0 x 627 .解：.吨为偶函数，bnn1,2,ancoscos nxdx2cos0cosnxdx21cos 一2cosn x d

10、x1 sina。x/.cos228 .解:cos nx2n 1.1sin2cos nx2n2n 12n 114n210,1,2,cosx 在2上连续cos nx4n21，2x是奇函数，故an0, n 0,1,2,bn2t sin ntdt1 1 . xcosnxsin xn1 n . sin nx。 n29 解:ancosn xdx32xcos xdx33 n xcos 0xdx330 解:上恒有F xa。bn2k1313n x cos3n x . n sin -3ncos3n x . n xsin331 时，a2x dx13nsin 3nxcosx2k时,a2k0。2k02xdx33xdx0

11、xdxn2xsi n -3-3xsi n0n x dx33. nsin x n 3n1，所以nxcos x33 .sinn10 2k 1 22k 1cosx31 sinn3 2n1上均成立。1 ）正弦级数,注意到n 0,1, 2,0,作奇延拓1,1使在0,1f x。再将Fx周期延拓得个以21为周期的连续函数，G x1,1 ,计算付氏系数如下:an 0(n 0,1,2,)12 n x xsin dxn xx sin dxl2 2 sin nn,n1,2, f x 勒 -sinsin O x l n 1 n 2 l2）余弦函数作偶延拓设F x , x l,l使在0,l上恒有F x f x。再将F

12、x周期延拓得G x，x ,，G x是一个以2l为周期的连续函数，G x F x，x l,l，计算付氏系数如下：xdxI I -2dxXanxcosn x ,dxn cos l-dxbn1 解:2l2 2: n2cosl222n1nl2-22n,n1,2,TSn2l2n121 nc n2cos-cosn xk 1 3 n 1 3n 4(B)n 1133n 113n 413n 41121.原级数收敛且和为12。2 解：t Sn原级数收敛且和为寸3 解：Snk 2 k 1 k 1 k，二原级数收敛且和为1、24 .解 ：VK2n 1nn 1 ! nn 12 n!知原级数收敛。5 .解：T n Un2

13、n:3n 12n 32n3n 1根值判别法知原级数收敛。6 .解：当n充分大nn； 22n 1n 2n3n 1由比值判别法nnnna,nn.Un由nn .2 lim n 2n 1nlimn 2n 11 n ，故 lim . U n2 n121，由根值判别法知原级数收敛。nbbann 7 .解：. Unan，当-1,即ab a时，原级数收敛；-a1，即b原级数发散，当ba时不定。8 解：当a 1时,11 an级数发散。anan(u1），而一收敛,n 1 an级数发散。anUn4 dx x2x2313收敛，由2比较判别法知级数收敛Un1Un2：n 1! 2n!n2?2n 11Un也发散，故也n 1

14、非条件收敛。n 1n2 n 12n2n2发散,1 n故级数 |Un |发散，即n 1原级数非绝对收敛，原级数为交错级数，显然数列1一单调递减且收敛于n 1零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12 .解：Tlim |Un 1n1n In 2 lim nn.9n2 4，而311发散，|Un |发散,n 1即原级数非绝对收敛记原级数为an为交错级数，v lim annInUn2 4ln 2又也an3n 2 3n 2ln即 an 1 an，i 21n 1,o 1 V 3n 1In 2 -n3n 2 3n 23n 51，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛,故原级数条件收敛。13 .解：Un1Un2 n

15、 1 c Ix 2n !2n2 n 1 ! x2x2n 1 2n，故对x，原级数收敛，所以收敛半径为,收敛区间为14 . limt lim n1 nnJanbn匕，：Rmax a,bmax a, b ，当 xmaxa,b时，原级数发散,故收敛区间为R,R，其中max a,b15 .解： 当 x 54Un 1Un1，即x 5 2n2 n 1x 7时，原级数发散，当x3n2n 4 n 12n 14 x 53时，原级数收敛，当乜7，原级数收敛，当x 3时原级数也收敛。16 .解：1 13，当|x 11 3，即3nnA2 n 1 1323，原级数收敛。当x时,原级数收敛，当x-时，原级数发散。故原级数

16、的收敛区间为34 23，317 .解:2xx22nx2n故有n x2nn 118 .解：1 2n 1x non!-2n x2n12 n 12 x12nex ，non!2n 1 2n x n o n !x 2x2nx2n 12n11x2x xe|x| 1 o1 2n 1 x n 0 n!2n 1 2n x n 1 n!2n 1 2n x n 1 n!2x xe2宀 2x2 x1 e 2x e 1，19 .解:nnxnnxn2n 1 nxxn11 x32x31 x|x| 1 o20 .证明：考虑级数nx2nn1 x S x ， | x | 2，逐项微分得: n 1 n 2S x1x11 1|x|n

17、 1 22212 x2f xxS x0dxx 1 . dx 02 xln|2S 11n n 1 n 2In 2。2。xx|0 In 2 In |2 x| ,取 x 1 ,得21 .解:12x 3x 12 1 21 2x 1 x ， 1 2xn 1 n2 x , |x|n 02n1|x| 2。22 .解:n 1n 1n 1 x 1, (|x 1| 1)n 123 .解:.11 1x 口 x21 x 22 4n 2n 1 ! nx2n !|x| 1x1 x22n 1 ! 2n 1x2n !|x| 1。125 .解：an 一xsin n xdxxcos nx22x12ncosnxdxn f x 1n

18、1lsi nnx。n 1n由于对 x 2k 1,2k 1，有x22k 1,2k 3，所以f x12x 22 k11x2kf x。因此f以2周期的周期22函数,并且显然只有当x2k 1，k 0, 1,2,时x是fx及f X第一类付氏级数在R处处收间断点，所以f x符合狄利克雷收敛定理的条件，故f x敛， k 0, 1, 2,，有 1n1-s innxfxn 1n2k 12k 126.解：x奇函数，所以an0 obn0 f X sin nxdx -2 xs in xdxsinn xdx0 21 .2 sinnx nn xcos nxcosnx2n2n所以f x11 . nsin - n n 2si

19、n nx ,除x 2n1 均成立，(n 0, 1, 2,)。27 .解：bn2 x sin 0xdxx1 2ncos xl2l.n xsin x2l22 2 cos nJ2nn 2l2l1n14121n 1n33nnnx又函数f x展成正弦级数为又:a。2I1 2an1n1ox2dxI 2X cos0.nsin xI2|23jx4I222n展开成余弦级数为f XI24I22ncos x,I1 解：Un2k 1(C)n 1111 1k 1 82k12k 12k 1 2k 31 111182n132n 3121n,122n12n 31234k1 2k 1 2k 1 2kk 1 2k 12 证：十a

20、n 11 an由比较判别法知原正项级数收敛。3n1nnn3n n!，二由比值判别法知，原级数发散。Un4 解:考虑函数fe2，易知f e21n 21 n n 12n 2n，0,1Inx2，由 f x 0时f x的最大值,所以当1地，n1In1为收敛的几何级数，.原级数也收敛。5 .解：an n产 1 e厂 1 n2有0芈匕1 ;而当0 x 1时, n 1有 ex 1 e x，二当 n 2 时,In n0 en2 11，而级九n1畀可判别其是收敛的，.原级数收敛。6 解：因为已知级数n 1112n 1条件收敛的级数。设其部分和数Sn极限为S，则有lim Snn,取其前2n项，其和与n 1n 12

21、n 11的部分和相等且为Sn，当 n时，2n1 n而级数.发散，故原级数收敛域为 si n-n 1 n 2Un1Un2x2，当 2x21，即 |x|T时收敛；当|x|乎时发散。故R今当x原级数收敛且和为n n 1 . n 1. nV 2x2 * n 1 i n 2n. n 2 , n 1级数为 n 1n 1,228 .解:ann，由于1“|an|n1而当 Hm Jan | 1，故 R 1 ;当x 1时，原级数为n 1于通项不以零为极限，故发散所以原级数的收敛域为1,19 解：当|x| 1时，级数2n1 n 1 丄x2n收敛n 1 n 2n 1|x| 1，则 f x 2n 1 2n 1n 12 n 11 x ， |x| 1 ， f1 n1x2n121 x2，|x| 1，两边积分得:tgx，( f 00);再积分一次2o 2arctgxdx 2xarctgx In 1 x , (v f0)；Unn 1In2,即原级数的和In 2。10 .解:ddx因为当n又当xx2!2 x3!12!1 2 x 2!时,故展开式对所有的敛区间为2x3!nn!xn 1n 1n!ex1x x Axe e 12xx均成立,x x xe e|x|在展开式中令1，得Un1n 1”3 n 11n 1 2 2 xn