四川省广安市高三第三次诊断考试理科数学试题 及答案

1、 2014年高2011级第三次诊断考试数学试题（理工类）注意事项：1本试卷满分150分，考试时间120分钟。2本试卷分为试题卷（14页）和答题卡两部分。试题卷上不答题，请将第卷选择题和第卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置。考试结束，只交答题卡。3可能用到的公式：球的表面积s=4r2,体积v=r3,其中r为球的半径. 柱体的体积v=sh,锥体的体积v=sh,其中s为底面积,h为高. 数据x1,x2,xn的平均数,方差.第卷 (选择题 共50分)注意事项：必须使用2b铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

2、合题目要求的)1设复数z满足z(i-1)=2i(其中i为虚数单位),则z等于(a)1-i (b)1+i (c)-1+i (d)-1-i2设集合,则等于(a) (b) (c) (d)3设为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(a)若a,b,则ab (b)若a,ab,则b；(c)若a,ab,则b (d)若a,ab,则b.4抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则实数a之值为(a)4 (b) (c) (d)-45已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若(a + b)(a - 2b),则实数x的值为(a)-2 (b)0 (c)1 (d)26设等比数列an的前n项积,若p12=32p7,则

3、a10等于(a)16 (b)8 (c)4 (d)27已知f(x)是定义在r上的奇函数,且当x0时,f(x)=3x,则f(log94)的值为(a)-2 (b) (c) (d)28关于函数f(x)=sinx(sinx-cosx)的叙述正确的是(a)f(x)的最小正周期为2 第9小题图(b)f(x)在内单调递增(c)f(x)的图像关于对称 (d)f(x)的图像关于对称9如图,一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形,则其外接球的表面积为(a) (b)2 (c)3 (d)410已知实数a,b满足,则不等式成立的概率为(a) (b) (c) (d)第卷 （非

4、选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置上)input a,bdoca-babbcloop until b0print aend11执行右图程序,当输入42,27时,输出的结果是_.12若实数x,y满足,则的取值范围是_.13从总体中随机抽出一个容量为20的样本,其数据的分组及各组的 频数如下表,试估计总体的中位数为_.分 组12,16)16,20)20,24)24,28)频 数4

5、85314设a为非零常数,已知的展开式中各项系数和为2,则展开式中常数项等于_.15已知函数,下列关于函数(其中a为常数)的叙述中:对ar,函数g(x)至少有一个零点;当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;ar,使得函数g(x)有三个不同零点;函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a0.其中真命题有_.(把你认为的真命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题12分)在四边形abcd中,adcd,ad=5,ab=7,bda=60,cbd=15,求bc长.17(本小题12分)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形,abc

6、=60,又pa底面abcd,ab=2pa,e为bc的中点.(1)求证:adpe;(2)求平面ape与平面pcd所成锐二面角的余弦值.18(本小题12分)盒子装中有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回.(1)若抽取三次,求前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率;(2)若不断抽取,直至取出标有偶数的卡片为止,设抽取次数为,求随机变量的分布列及数学期望.19(本小题12分)设数列an的前n项和为sn,已知a1=1,sn=nan-n(n-1),其中nn*.(1)求证:an是等差数列;(2)求证:an an+14sn;(3

7、)求证:.20(本小题13分)已知a、b是椭圆上的两点,且,其中f为椭圆的右焦点.(1)求实数的取值范围;(2)在x轴上是否存在一个定点m,使得为定值?若存在,求出定值和定点坐标；若不存在,说明理由.21(本小题14分)已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.(1)求f(x)的单调区间;(2)问过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切？并说明理由;(3)若在区间(0,1)内是单调函数,求a的取值范围.2014年高2011级第三次诊断考试数学试题（理工类）参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共50分）12345678910adbcadbdcc10提示：设,则且.由直线与

8、圆(四分之一)的位置关系知,解得a-4,-15,8.由不等式得|1-a|4,解得a(-,-3)(-1,3)(5,+).所以当a-4,-3)(5,8时不等式成立.由几何概型的概率公式可得。119 12 1319 14240 15.14提示：令x=1得a=2.又的展开式通项.因6-2r为偶数,故6-2r=-2即r=4.所以的展开式的常数项为.15提示：数形结合可得:当a0时无零点;当a=0时有2个零点;当a0时有4个零点.16解：在abcd中,由余弦定理得ab2=ad2+bd2-2adbdcos60, 即bd2-5bd-24=0,解得bd=8.（6分） 在bcd中,由正弦定理得:.（12分）17（

9、1）证明：因为底面abcd为菱形,abc=60,且e为bc的中点,所以aebc.又bcad,所以aead.又pa底面abcd,所以paad.于是ad平面pae,进而可得adpe.（6分）（2）解：分别以ae、ad、ap为x、y、z轴,设ap=1,则,.显然,平面ape的法向量为,设平面pcd的法向量为,则由解得.所以.故平面ape与平面pcd所成锐二面角的余弦值为.（12分）18解：（1）设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件a,“第三张为奇数”为事件b,则所求概率为.（6分）（2）=1,2,3,4. ; ; ; . 所以. （12分）19证明：（1）当n2,nn*时,由已知sn=nan-n

10、(n-1)得sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2).两式相减得sn-sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1).又sn-sn-1=an,所以(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1).即an-an-1=2(n2,nn*).所以an是以1为首项、2为公差的等差数列. （4分）（2）由(1)得an=2n-1,sn=n2,nn*.所以anan+1=(2n-1)(2n+1)=4n2-14sn; （8分）（3）由(2)得,所以 . （12分）20解：（1）由已知条件知:直线过椭圆右焦点. 当直线与轴重合时,. 当直线不与轴重合时,可设,代入椭圆方程,并整理得. 设,由根与系数的关系得,.所以.又由得,所以,解之得.综上,实数的取值范围是. （7分） （2）设，则为定值,所以,解得.故存在定点,使得为定值.（经检验，当与轴重合时也成立） （13分）21解：（1）由得,(舍去).所以f(x)在区间内单调递减,在内单调递增.（3分）（2）设切点,则切线方程为.因为过原点,所以,化简得（）.设,则,所以在区间内单调递增.又,故方程()有唯一实根,从而满足条件的切线只有一条.（8分）（3）. 设,则,显然在区间(0,1)内单调递减.当时,从而在(0,1)内