微积分基本原理

1、第二节第二节 微积分基本定理微积分基本定理 （一）变限积分与原函数（一）变限积分与原函数 （二）牛顿（二）牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 小结小结引例 在变速直线运动中, 已知位置函数)(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21TT内经过的路程为)()(d)(1221TsTsttvTT这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .( )( ).s tv t这里是的一个原函数 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续， 并并且且设设x为为,ba上上的的一一点点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx变上限积分

2、变上限积分（一）变限积分与原函数（一）变限积分与原函数abxyox)(x xa1 f(x)a,b,(x)f(t)dta,b 定定理理设设在在上上连连续续则则在在上上可可导导, ,且且( (x x) )= =f f( (x x) )abxyoxx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x xdttfdttfdttfxaxxxxa )()()(x(a,b),xa,xb 分分讨讨论论x(a,b) 当当,)( xxxdttf 由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( xxx 介介于于 与与之之间间)(limlim00 fxxx (x)f(x). ab

3、xyoxx )( x xxlimf( )f(x) x(a,b)当当xa 当当x0 x0limlim f( )x alimf( ) f(a) xb 当当x0 x0limlim f( )x blim f( ) f(b) (x)f(x). xa,b 当当cdt) t ( fdx)x( fxa xa () f(x)a,b,(x)f(t)dtf(x)a,b 定定理理2 2原原函函数数存存在在定定理理设设在在上上连连续续则则是是在在上上的的原原函函数数不定积分和定积分之间关系不定积分和定积分之间关系:-牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式baba| )x(F)a(F)b(Ff(x)dxf(x),(x)F,ba

4、,f(x) 3 . 6 则则且且连连续续在在设设定定理理又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，,bax 证证xaF(x)f(t)dtC babaaaF(b)F(a)f(t)dtC(f(t)dtC)f(t)dt baf(x)dxF(b)F(a). 注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的桥梁之间的桥梁例例 1 1 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与 x轴轴所所围围 成成的的平平面面

5、图图形形的的面面积积. 解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 2x-1-t320 x 1. edt 2. cos (x1)dx 例例1 1 求求下下列列函函数数的的导导数数2xax2ady dy dy3. y=sintdt,dx da dt4. (x)sin(t )dt 设设求求xad(f(t)dt)f(x)dx 解解,2xu 设设复复合合而而成成和和由由则则22sin)(xudttxua )(x dxdudttdudua 2sinxu2sin2 xx2sin4 如果如果)(tf连续，连续，)(xa、)(xb可导，可导， 则则dttfxFxbxa )()()()(的导数

6、为的导数为 补充补充 ( )( )( )( )f b xb xf a xa x ( )( )( )( )b xa xF xf t dt 32xx5. sin5xdx 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF 例例2 2 求求2x1t1cosx22x0 x1lntdtedt1tlim; limx(x1) x02x0f(t) (xt)dt lim,f(x) x 求求连连续续)1( f, xdt) t ( f,f(x) 31x02求求为为连连续续函函数数例例 )x(y),x(yy0tdtcosdte

7、 4x0y0t 求求确确定定函函数数例例内内的的极极值值点点在在求求例例)23,2(dttcos1tsint)x( f 5x02 例例 6 6 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( xf.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一个个解解. 12322x02400 (1) e dx(2) sin xsin xdx(3) 1sin2xdx 例例7 7求求下下列列积积分分例例8(1) 8(1) , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12（2 2

8、） .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原原式式.211 xyo2xy xy 122 1010 f(x)0,1,f(x)xf(t)dt1,f(x)dxf(x) 例例1 10 0设设在在连连续续 且且求求及及x01sinx ,0 x11 f(x)20 x0 xx)f(t)dt(,) 当当时时，例例设设，当当或或时时，求求 （在在内内的的表表达达式式3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()

9、()(aFbFdxxfba 三、小结三、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的桥梁之间的桥梁思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xa

10、dxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、设设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,

11、（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三三、 计计算算下下列列各各定定积积分分：1 1、 212

12、2)1(dxxx; ; 2 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; ; 4 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . . 六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . . 七、七、 设设 时时，或或，当当时时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . . 八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)0,0； 7 7、;6145 8