统计量与抽样分布

1、引例 1899年，戈塞特进入都柏林a.吉尼斯父子酿酒公司担任酿酒化学技师，从事统计和试验工作。他发现，供酿酒的每批麦子质量相差很大，而同一批麦子仲能抽样供试验的麦子又很少，每批样本在不同的温度下做式样其结果相差很大，这决定了不同批次和温度的麦子样本是不同的，不能进行样本合并，这样一来实际上取得的麦子样本不可能是大样本，只能是小样本。小样本得出的结果和正态分布有较大差异，特别是尾部比正态分布高 大样本和小样本有什么差异？如何用样本推断总体？ 统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验 所谓所谓统计推断统计推断，就是根据概率论所揭示的随机，就是根据概率论所揭示

2、的随机变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信变量的一般规律性，利用抽样调查所获得的样本信息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。息，对总体的某些性质或数量特征进行推断。 参数估计参数估计 假设检验假设检验这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同这两类问题的基本原理是一致的，只是侧重点不同而已。而已。参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一参数估计问题侧重于用样本统计量估计总体的某一未知参数；未知参数；假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有假设检验问题侧重于用样本资料验证总体是否具有某种性质或数量特征。某种性质或数量特征。 统计推断统计推断 由于统计推断是根据观察到的部分数据

3、对总体作由于统计推断是根据观察到的部分数据对总体作出推测，因此推测就不可能绝对准确，有一定的出推测，因此推测就不可能绝对准确，有一定的不确定性。这种不确定性的程度可以用不确定性。这种不确定性的程度可以用概率概率的大的大小来表示。小来表示。总体与样本总体?x这个企业员工的月平均收入是多少？ niinxx1/信息由样本信息作为总体信息估计值从总体中抽取一小部分x样本统计学的重要意义就统计学的重要意义就是用样本统计量的性是用样本统计量的性质推断总体参数的特质推断总体参数的特征。征。第6章 统计量与抽样分布主要内容 总体和样本的统计分布 统计量统计量 抽样分布第一节 总体和样本的统计分布 一、统计推断

4、中的总体及总体分布一、统计推断中的总体及总体分布 总体的概念总体的概念 总体是根据一定的目的确定的所要研究的事物的全体，它是由客观存在的、具有某种共同性质的众多个体构成。总体中的各个单位称为个体。 由引例：每批麦子 每批麦子的每单位出酒量的数值 编制变量的分布数列 实物总体 数值总体 分布总体 总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分布。总体的含义可抽象为所感兴趣的变量及其分布。第6章 统计量与抽样分布二、统计推断中的样本及其性质二、统计推断中的样本及其性质 按照随机原则，通过观测或实验的方法所获得的总体中一部分个体的取值称为样本。样本。每个个体的取值称为样本点或样品。样本点或样品。 样本是随机

5、的，样本观测值是确定的。样本是随机的，样本观测值是确定的。 如果样本满足同分布、独立性（iid）则为简单随简单随机样本。机样本。 样本所包含的总体单位个数称为样本所包含的总体单位个数称为样本容量样本容量，一般，一般用表示。在实际工作中，人们通常把用表示。在实际工作中，人们通常把3030的的样本称为大样本，而把样本称为大样本，而把n n 3030的样本称为小样本。的样本称为小样本。12, , nxxxnxxx , , ,21( )xf x12, , nxxx12, , nxxx12, , nxxx12, , nxxx总体总体x 随机变量随机变量n( , 2) 观察值观察值 随机变量随机变量n(

6、, 2)的值的值 对象：某大学新生的身高对象：某大学新生的身高2、样本的联合分布12, , nxxx)(xfx12( , , )nfxxx12, , nxxx)(xfx12( , , )nfxxx1()niif x1()niif x12,nxxx),(2nx22 ()2111(,)2ninixfxxe221()211( 2)niinxe第二节第二节 统计量统计量 一、统计量与统计量的分布一、统计量与统计量的分布设设(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n) )是总体是总体x x的样本的样本, ,则由样本则由样本（x x1 1,x,x2 2x xn n）构成的且不含任何未知参数的函数）构成的且

7、不含任何未知参数的函数t(xt(x1 1,x,x2 2x xn n) )称为称为统计量统计量。2)(21xxb2122212)(3)(xxdxxc例：例：设设(x1,x2)是总体是总体n( , 2) 的一个样本的一个样本,其中其中 已知已知， 未知参数未知参数,则下列哪个不是统计量：则下列哪个不是统计量：1 1 、统计量定义、统计量定义/)(1xa推断统计研究的重点寻找统计量及其分布利用概率论对总体进行推断 统计量通常是随机变量统计量通常是随机变量，但统计量的观测值是确统计量的观测值是确定的，没有随机性定的，没有随机性。比如，如果（x1,x2,xn）是样本（x1，x2，,xn）的观测值，那么t

8、 t(x1,x2,xn）为统计量统计量t(x(x1 1,x,x2 2x xn n) )的观测值。则t(x(x1 1,x,x2 2x xn n) )是随机变量。 统计量是随机变量，那么它应该有概率分布。统计量的分布也称抽样分布。 统计量的分布不一定和总体分布一致。 在统计推断中，一个重要的工作就是寻找统计量，导出统计量的抽样分布或渐近分布。2、常用统计量设（设（x x1 1，x x2 2，,x xn n）为总体）为总体x x的样本，则的样本，则样本均值niixnx1_1) 1 (niixxns122)(11)2(样本方差；样本方差；, 2 , 1,1)4(1kxnmnikik样本样本k阶阶(原点

9、原点)矩矩样本标准差样本标准差niixxns12)(11)3(样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikkxxnm1,2, 1,)(1)5(221221)(12snnsxxnmknnii，记为称为样本的未修正方差时，此外，还有 1、顺序统计量、顺序统计量(x1，x2，xn)是总体x的一个简单随机样本，(x1，x2，xn)是一个样本观察值，将它由小到大的顺序排列，得到x(1)x(2)x(n) ，取x(i)作为x(i)的观测值，由此得到的统计量x(1)，x(2)，x(n)称为样本(x1，x2，xn)的一组顺序统计量，x(i)称为第i个顺序统计量其中，最大顺序统计量x(n)=max x1，x2，xn最小顺

10、序统计量x(1)=min x1，x2，xn2、样本中位数mnxxmnxmmmme2,)(2112,)1()()1(当当3、样本极差r=x(n)- x(1)4、样本p阶分位数）1)(1)(1(npnpnppxxnnppnxm其中，0p1，np取整数。5、样本切尾均值 nkxkntikn0 ,21,第三节 抽样分布 正态分布正态分布 如果连续型随机变量x的密度函数为 则称随机变量x服从均值为，方差为2的正态分布，记为xn(，2)。 如果一个正态分布的=0，=1，则称该正态布为标准正态分布，相应的随机变量称为标准正态随机变量，用z表示，即zn(0，1)，相应的分布密度函数为 xxpx222e21 z

11、zpz22e21 一般正态分布 与标准正态分布 的关系: 若随机变量x服从正态分布n (，2)，则随机变量 z = 服从标准正态分布，即zn(0，1)。x第三节 抽样分布 一、一、 分布分布2 1定义 设x1，x2，xn是来自正态总体n(0，1)的样本，则称统计量为服从自由度为 n 的 分布，记作 (n)222212nxxx2220f(x)n=1n=5n=15x 2 (n)分布的概率密度：其中 为 函数 在 处的函数值0, 00,e221)(2122/xxxnxfnnn2n)0(de)(01sxxsxs2ns ) 1) 1 (, !) 1(,21),() 1(nnsss2 性质2：设 x (n

12、1)，y (n2)，且x与y相互独立, 则 x+y (n1+n2) 性质3：设 为x的样本，则 证： 性质4：设 (n)，则对任意实数x，有 nxddnxeeniinii2)()(,)()(122122 3分布的性质： 性质1：设 (n)，则e( )=n，d( )=2n 证：因xin(0,1)，e(xi2)=1 ，d(xi)=1 3d21)()(24442xexxexexi2)()()(2242iiixexexd2222niinx1222)()(1nxxxnx,),(212) 1 , 0( nxininiiinxx122122)()(1txnnpxtnde212lim22222222 例如 取

13、 ，则查表有 25, 1 . 0n382.34)25(21 . 0 4 (n)分布的上 分位点： 设 (n)，对于给定的正数 ， 称满足条件 的点 为 (n) 分布的上 分位点 ) 10()(222d)()(nxxfnp)(2n22220f(x)x)(2n 5、 2分布的自由度分布的自由度 可以自由选择数值的可以自由选择数值的变量个数。变量个数。niinx1222)()(1niinxx122_2) 1()(1自由度自由度1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n -1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值3. 例如，样本有

14、3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值例例) 1 ()3/() 1 , 0()3/(3 , 0n0x.)()(,22232132123212,i226542321621），（所以，解：分布服从，使随机变量试决定常数有分布的简单随机样本，是来自均值为零的正态，xxxnxxxxxxncycxxxxxxyxxx由卡方分布的可加性有由卡方分布的可加性有)2(3/)(3/)(22265422321xxxxxx则有该卡方分布自由度为则有该卡方分

15、布自由度为2，且，且c=1/32 二、二、t t 分布（学生分布）分布（学生分布） 1定义 设xn (0,1)，y (n)，且 x 与y 独立，则称随机变量服从自由度为 n 的 t 分布，记作 t t (n)nyxt/2 2t (n)分布的概率密度： xnxnnnxfn,1221)(212 3性质：t (n) 分布的概率密度关于 y 轴对称，且xxfxn,e21)(lim22e(t)=0, d(t)=n/(n-2)f(x)x0n=10n=4n=3)(1nt)(ntf(x)0 x 4t (n) 分布的上 分位点： 设 t t (n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为 t (n) 分布的上 分

16、位点，且有 ) 10()(nttp)(ntuntntnt)(),()(15.t分布自由度越小，分布的方差越大，分布比较平坦。当自由度较大时，方差较小，越接近标准正态分布。6.t分布的自由度由生成t分布的分母卡方分布随机变量的自由度决定。 三、三、f f分布分布22 1定义：设x (m)，y (n)，且 x 与 y 独立，则称随机变量为服从自由度是 m、n 的 f分布，记作 ff (m, n)，nymxf/其中 m 称为第一自由度，n 称为第二自由度 2f(m,n)分布的概率密度为0, 00,1222)(2122xxxnmxnmnmnmxfnmmm 3f(m, n) 分布的性质: 若ff(m,

17、n)，则 ),(1mnffm=10,n=5m=10,n=25xf(x)xf(x),(nmf 4f (m, n) 分布的上 分位点： 设 ff(m, n)，对于给定正数 ，称满足条件 的点 为f(m, n)分布的上 分位点，且有 )10(),(nmffp),(1),(1mnfnmf),(nmf如如f 0.01(10,15)=50.0511(12,9)0.357(9,12)2.80ff4,)4()2()2(2)(2,2)(22nnnmnmnfdnnnfe6.3.4 抽样分布定理（正态总体统计量的分布） 本节介绍来自正态总体的样本均值与样本方差的抽样分布这是参数估计与假设检验的基础 定

18、理1 设 为来自总体 x 的简单随机样本，则 ， nxxxnx,),(212niin,nxnx121) 1, 0(/nnx niiniinxxnx12221222) 1()(1, )()(1样本均值与样本方差样本均值与样本方差 相互独立相互独立).1(/,),(,2221 ntnsxsxnxxxn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1 , 0(/nnx 因为因为),1()1(222 nsn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nsnnx ).1( nt化简即可化简即可.定理定理2定理定理3

19、设总体 ，总体 ，且 x 与 y 独立x1，x2，与y1，y2，分别为来自总体 x 与总体 y 的样本，且这两组样本相互独立 ，则有),(211nx),(222nynjjmiinjjmiiyynsxxmsynyxmx1222122111)(11,)(11,1,1(i) , .nmnyx222121,) 1, 0()()(222121nnmyxz (ii) 若 ，则 ，其中 22221)2(11)(21nmtnmsyxtw222212,2) 1() 1(wwwssnmsnsms),()()(1221212122nmfyxmnfnjjmii (iii) (ii) 由定理 3 得 ， ， 于是 又由 (i) 及 t 分布定义，有即 ) 1() 1(2221msm) 1() 1(2222nsn)2() 1() 1(2222221nmsnsm)2()2() 1() 1()(2222212221nmtnmsnsmnmyx)2(112) 1() 1()(222121nmtnmnmsns