完整word版,[很全]抛物线焦点弦的有关结论

1、 很全 抛物线焦点弦的有关结论知识点 1：若 AB 是过抛物线 y22 px p0 的焦点 F 的弦。设 A x1 , y1 , B x2 , y2（ 1）x1x2p 2；（ ）p242 y1 y2A证明：如图，y（1）若 AB 的斜率不存在时，p ,p2xo依题意 x1x2x1 x2F24B若 AB 的斜率存在时，设为 k, 则 AB : ykxp，与 y22 px 联立，得22k 2 p 22p2 px2222 px0k x2kxk4x1 x2p2综上： x1 x2p24.4（2）x122y1y2p 4y1 y2p 2 ,y1 , x2y2 ，222 p2p但 y1 y20, y1 y2p

2、 2（2）另证：设 AB : xmyp 与 y 22 px 联立，得 y22 pmyp20, y1 y22知识点 2：若 AB 是过抛物线 y22 px p0 的焦点 F 的弦。设 A x1 , y1 , B x2 , y2（1） ABx1x2p; （2）设直线 AB 的倾斜角为，则AB2 p。sin2证明：（ 1）由抛物线的定义知AAFx1p , BFx2p ,y22ABAFBFx1x2poFp , 由（ 1）知 AB 2 p2 p（2）若900 ,则 x1x2B2sin 2若900 ,设 AB : ykxp,与 y22 px 联立，得2，则p 2，则1p2k 2 p 2k 2 x2 pxk

3、 2 x 2k 22 px024x1x2p k 22,ABx1x2p2 p k 21 ，而 ktan ，k 2k 2AB2 p 1tan 22ptan 2sin 2知识点 3：若 AB 是过抛物线 y22 px p0 的焦点 F 的弦，则以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。y证明：过点 A、B 分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为AA1、 B1 , 过 AB 中点 M 向准线引垂线，垂足为 N ,设以 AB 为直径的圆的半径为 r ,oF2rABAFBFAA1BB12 MNBMNr .以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。知识点 4：若 AB 是过抛物线 y22 px p0 的焦点 F

4、的弦。过点 A、 B 分别向抛物线yA的准线引垂线，垂足分别为A1、B1, 则 A1FB1900 。证明借助于平行线和等腰三角形容易证明oFB知识点 5：若 AB 是过抛物线 y22 px p0 的焦点 F 的弦，抛物线的准线与 x 轴相交于点 K，则AKFBKF .yA证明：过点 A、B 分别作准线的垂线，垂足分别为A1、B1 .AA1 / KF / BB1oFKA1 KAFA1 A, BFB1 BBB1 K而 AFFBA1K A1 AA1KB1K ，而 AA1 KBB1K 900B1K B1 BA1A B1BAA1K BB1 KA1 KAB1 KBAKFBKF2知识点 6：若 AB 是过抛

5、物线 y22 px p0 的焦点 F 的弦， o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点C,则 BC / OF.yA证明：设 A x1 , y1 , B x2 , y2，则y1x,Cp,y1 poFAB : yx122x1CByCy1 py1 pp22x1y12y122 p由知识点 1 知 y1 y2p 2yCp 2y2BC / OFp2y2逆定理：若 AB 是过抛物线 y 22 px p0 的焦点 F 的弦，过点 B 作 BC / OF 交抛物线准线于点 C , 则 A、C、 O 三点共线。证明略知识点 7：若 AB 是过抛物线 y 22 px p 0的焦点 F 的弦，设 AF

6、 m, BFn,则112yAmn.p证法：（1）若 ABx 轴，则 AB 为通径，而 AB2p,oF112 .Bmnpmnp（ 2）若 AB 与 x 轴不垂直，设 A x1 , y1, B x2 , y2， AB 的斜率为 k ，则 l : yk xp 与2p2k 2 p 2y 22 px 联立，得 k 2 x2 pxk 2 x 2k 22 px024x1x2p k 22, x1 x2p2.k 24由抛物线的定义知 mAFx1p , nBFx2p22311mnx1x2 p2mnmnpp2px1x2x1x224知识点 8：已知抛物线 y22 px p0中， AB 为其过焦点 F 的弦， AF m

7、, BFn, 则S AOBp 2nmyA4mn证明：设AFx, 则oFS AOBS AOFS BOFB1pm sin1psin2222p mn sin4而 mp,np,mnp 2,sinp 21cos1cossin2mnS AOBp mnp 2p2nm .4mn4mn逆 定 理 ： 已 知 抛 物线 y 22 px p0 中 ， AB 为 其 弦 且 与 x 轴 相 交于 点 M ， 若AMm, BMn, 且 S AOBp2nm , 则弦 AB 过焦点。4mn证明：设 A x1 , y1, B x2 , y2， AMx, Mt,0，则S AOBS AOMS BOM= 1 tm sin1 tn sin1 mn t sin222而 siny1,siny2,sin2y1 y2mnmnsiny1 y2S AOB1 mn ty1 y21m n ty1 y2mnmn22mn而SAOBp2nm1mnp 2ty1 y2p24mn2mn22又可设l : xayty22 pay2 pt 0y1 y22 pt y22 px4由得 tpAB 恒过焦点p ,022抛物线 y22 px p0，过