中考数学反比例函数(大题培优)附详细答案

1、-X反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1lh1.如图，已知A ( - 4, 2) , B ( -1, 2)是一次函数 尸kx+b与反比例函数-a (m*0 , m BD丄y轴于(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值?(2) 求一次函数解析式及m的值：(3) P是线段AB上的一点，连接PC, PD,若 PCA和APDB而积相等，求点P坐标.-4k+b = -2-k+b=2解得【答案】(1)解：当4x-l时，一次函数大于反比例函数的值:2(2)把 A ( - 4,2), b ( - 1, 2)代入 y=kx+b 得25所以一次函数解析式为尸X+，

2、把B ( - 1, 2)代入尸(3)解：如下图所示:丄 5设P点坐标为(t,21+ 2),T PCA和厶PDB面积相等,2 22 丄；(丄丄 (t+4) = *(2 - t - 2),即得 2,P点坐标为（-2 , 4）【解析】【分析】（1）观察函数图彖得到当-4x-l时，一次函数图象都在反比例函 数图象上方；（2）先利用待左系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入尸无可计 算岀m的值；（3）设P点坐标为（t, 2t+纟）,利用三角形面积公式可得到2心（t+4） “小（2纟），解方程得到t一 2,从而可确定P点坐标.2.如图，已知抛物线y= - x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线（3x12

3、的一部分, 记作Gi ,且D （3, m）、E （12, m-3）,将抛物线y= - x2+9水平向右移动a个单位, 得到抛物线G2 .（1）求双曲线的解析式：（2）设抛物线y= - x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧，则线段BD的长为（3）点（6, n）为Gi与G2的交点坐标，求a的值.（4）解：在移动过程中，若G,与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和Gi于2M、N两点，若MNJ,直接写出a的取值范围. m 3 =(川/【答案】(1)把D (3, m) . E (12, m-3)代入y=x得，解得5 = 12 所以双曲线的解析式为尸x :（2） 2旧（3）解：把（6,

4、n）代入y二得6n=12,解得n=2,即交点坐标为（6, 2）, 抛物线G2的解析式为y=- （xa） 2+9,把（6, 2）代入 （x - a） 2+9 得-（6 - a） 2+9=2,解得 a=6 W ,即a的值为6 W :(4)抛物线G2的解析式为尸(x-a) 2+9,把 D (3, 4)代入 y二-(x-a) 2+9 得-(3 - a) 2+9=4.解得 a=3 - 或 a=3+& ；把 E (12, 1)代入 y= - (x - a) 2+9 得-(12-a) 2+9=1,解得 a=12 - 2 或 a=12+2 Gi与G2有两个交点， 3+ a12 - 2 Z设直线DE的解析式为y

5、=px+q把 D (3, 4) , E (12, 1)代入得 12p + q = 1、解得(1=5.1:.直线DE的解析式为y= - Sx+5,TG2的对称轴分别交线段DE和Gi于M、N两点，1 12M (a, - 3a+5) N (a.& ),2 MN 0,即(a-4) (a - 9) 0,a9,/. a的取值范用为9a12 - 2.【解析】【解答】解:(2)当y=0时, +9=0,解得xi= - 3, x2=3,则B ( - 3, 0),而 D (3, 4),所以 BE= Q (3 + 3)，+ 单=2 仍.故答案为2旧：k【分析】(1)把D (3, m)、E (12, m-3)代入尸；得

6、关于k、m的方程组，然后解方 程组求岀rm k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；(2)先解方程-x2+9=0得 到B ( -3, 0)，而D (3, 4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长：(3)先利用 反比例函数图象上点的坐标特征确泄交点坐标为(6, 2),然后把(6, 2)代入y=- (x -a) 2+9得a的值：(4)分別把D点和E点坐标代入y= - (x - a) 2+9得a的值，则利用 图象和G】与G2有两个交点可得到3+ a12 - 2远,再利用待左系数法求出直线DE的 解析式为y= - Sx+5,则M (“ - Sa+5) , N (a,占)，于是利用MN 3得到-J

7、a+512 2-3,然后解此不等式得到a9,最后确左满足条件的a的取值范用.3.如图，已知直线y=ax+b与双曲线y=x （x0）交于A （xi , 与x(1)轴交于P（ Xoyi) B (xz t yz)两点0),与y轴交于点(2)(3)证明)（3, y2）,求点P的坐标. 且AB二BP,求A, B两点的坐标.若A, B两点坐标分別为（1, 3）,若b=yi+l,点P的坐标为（6, 0）,结合（1） , （2）中的结果，猜想并用等式表示X】,X2 , X。之间的关系（不要求【答案】(1)解：直线y=ax+b与双曲线y二x (x0)交于A (1, 3) ,/. k=lx3=3,3y= x,VB

8、 (3, y2)在反比例函数的图象上，Sy2= =1 B (3, 1), .直线y=ax+b经过A、B两点，a = -1b =4a + b = 3解得直线为 y= - x+4,令 y=0,则 x=4, P (4, O)(2)解：如图，作AD丄y轴于D, AE丄x轴于E, BF丄x轴于F, BG丄y轴于G, AE、BG 交于 H,则 AD II BGII x 轴,AEII BFII y 轴，CD AD PF BF PB ocop _ 辰一冠9T b二yi+1. AB二BP,丄丸 - 6PF BF 1PE 二6十再 1B (2, 2yi)TA, B两点都是反比例函数图象上的点,6 +西 1xi*y

9、i= 2 - yi 解得x】=2,a代入1+1= 6 ,解得y】=2.(3)解：根据(1) ,(2)中的结果.猜想：xx , x2 , X。之间的关系为x1+x2=x0k【解析】【分析】(1)先把A (1, 3) ) , B (3, y2)代入尸；求得反比例函数的解析 式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析 式，继而即可求得P的坐标：(2)作AD丄y轴于D, AE丄x轴于E, BF丄x轴于F, BG丄yCD AL Pb B卜 Pb轴于 G, AE、BG 交于 H,则 AD II BG II x 轴，AEII BFII y 轴，得出 OC=OF , P

10、EAEPA,1 xi Pb Bb 16 xi 1根据题意得出匕人E,瓦=五=2,从而求得B (2, 2yj),然后根据“xy得6 + xi 11 xi出X* 22丫】，求得X1=2,代入VI * 1 = 6 ,解得y讦2,即可求得A、B的坐 标：(3)合(1) ,(2)中的结果，猜想xi+x2=xo4. 已知点A, B分别是x轴、y轴上的动点，点C, D是某个函数图象上的点，当四边形 ABCD (A, B, C, D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方 形.例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+l图象的其中一个伴侣正方形.第（D题图第2）题图Ah（3, 4）43-

11、2-13 -2 -112 3x-1-2-第3）题图（1）若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长:（2）若某函数是反比例函数y=A- （k0）,他的图象的伴侣正方形为ABCD,点D （2,m） （m2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式：（3）若某函数是二次函数y=ax2+c （aO），它的图象的伴侣正方形为ABCD, C、D中的一个点坐标为（3, 4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,写岀符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时, OC=OD=1.正方形ABCD的边

12、长CD= ； Z OCD=Z ODC=45%当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时, 设小正方形的边长为a,易得CL二小正方形的边长二DK二LK,故3a二CD二&.解得a=T ,所以小正方形边长为一次函数y=x+l图象的伴侣正方形的边长为农或万（2）解：如图2,作DE, CF分别垂直于x、y轴,易知 ADE竺厶BAO更 CBF此时，m 0)的图象与BC边交于点E求该函数的解析式：(2)当k为何值时， EFA的面积最大，最大而积是多少？【答案】(i)解在矩形OABC中，0A二6, 0C二4. B (6, 4),TF为AB的中点，F (6, 2),又点F在反比例函数r - A (k0)的图象上，

13、. k=12,12该函数的解析式为y二匚(x0)(2)解：由题意知E, F两点坐标分别为E (血4) , F (6, 6) t11 k kS a efa - F尸 EB 二；X n(6 _ ?12)2 - 14448当k“2时,S有最大值.S k=3【解析】【分析】)当F为AB的中点时，点F的坐标为(3, 1),由此代入求得函数解 析式即可；根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次 函数求出最值即可.&如图，P】、P2是反比例函数 屮x (k0)在第一象限图象上的两点，点A】的坐标为 (4, 0)若P】OA】与ZiP2A】A 2均为等腰直角三角形，其中点Pl P2为

14、直角顶（1）求反比例函数的解析式.（2）求P2的坐标.根据图象直接写出在第一象限内当X满足什么条件时，经过点kPl，P2的一次函数的函数值大于反比例函数尸；的函数值.【答案】（2）解：过点Pi作PjB丄x轴，垂足为B .点A】的坐标为（4, 0） , PiOA为 等腰直角三角形2/. OB=2, PiB= 2 OAi=2Pi的坐标为（2, 2）k将Pi的坐标代入反比例函数尸X （k0）,得k=2x2=4斗y =反比例函数的解析式为x（2）过点P2作P2C丄x轴，垂足为C PzAiAz为等腰直角三角形 P2C=A1C设 P2C=AiC=a,则 P2 的坐标为（4+a, a）斗V =将P2的坐标代

15、入反比例函数的解析式为，X,得4a= 4十 a ,解得 ai=2ji2, a2=222 （舍去）P2的坐标为（2 + 2血，2爲_2）2血时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.【解析】【分析】（1）先根据点A】的坐标为（4, 0） , A PiOAx为等腰直角三角形，求得Pi的坐标，再代入反比例函数求解：（2）先根据 P2A】A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a a） 并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P】的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范用.9【阅读理解】我们知道，当a0且b0时，（口 - 岳）20t所以a2 +0,从而a+b2（当a=b时取等号）,aa【获得

16、结论】设函数y=x+； （a0, x0）,由上述结论可知：当x二即x=G时，函数 y有最小值为2 G（1）【直接应用】1if yi=x （x0）与 y2=（x0）,则当 x=时，yi+y2取得最小值为（2）【变形应用】若 yx=x+l （x - 1）与 丫2二（X+1） 2+4 （x - 1）,则耳的最小值是（3）【探索应用】6在平面直角坐标系中，点A （ -3, 0），点B （0, -2），点P是函数尸；在第一象限内 图象上的一个动点，过P点作PC丄x轴于点C, PD丄y轴于点D,设点P的横坐标为x,四 边形ABCD的而积为S 求S与x之间的函数关系式： 求S的最小值，判断取得最小值时的四边

17、形ABCD的形状，并说明理由.(2) 46 6(3) 解：设 P (x, x),则 C (x, 0) , D (0, a ),6.AC=x+3, BD=x+2,1169 S=2ACBD 二纟(x+3)( a*+2) =6+x+a-；x0,-门 x+ A-2 Al 丄=6,当x二x时，即x=3时，x+x有最小值6,9此时S=6+x+ x有最小值12, P （3, 2） , C （3, 0） , D （0, 2）,.A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分,四边形ABCD为菱形【解析】【解答】解：（1）Vx0, /.y1+y2=x+22,二当x二x时，即xhL时

18、,yi+y2 有最小值 2,故答案为：1： 2：(2) V x - 1, /. x+l0, /.x + 1=当x+l= x八I寸，即x=l时，刃有最小值4,故答案为：4：【分析】（1）直接由结论可求得英取得最小值，及英对应的X的值；（2）可把x+1看成6一个整体，再利用结论可求得答案；（3）可设P（X, I ），则可表示出C、D的坐 标，从而可表示岀AC和BD,再利用面积公式可表示出四边形ABCD的而积，从而可得到S 与x的函数关系式：再利用结论可求得苴最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、 D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱 形.10.如图，

19、在菱形ABCD中，= 60 , AB = 4,点E是边BC的中点，连接DE,AE.B（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF,交DE于点G,连接EF,若ZDAG = ZFEG, 求证： age s w 求DF的长.【答案】（1）解：连结BDE四边形ABCD是菱形 : CB = CD = AB = 4,： ZC = 60 ：4 CDB定等边三角形 : DB = DC = BC = 4J点E是边BC的屮点 : DE 1 BC DE 二 g _ Cf = 2 氐(2)解：/DAG = ZFEG, ZAGD = ZEG卜/.A AGD EGFAG DGEG FGX J ZAGE 二 ZD

20、GF/.A AGE s4 dcf：/ AGE sj DGF,DE 1 BC : ZEAG = ZGDF = 90 一 ZC 二 30 ZAGD 二 ZEGF, ZAGE = ZDG卜 : ZGFE = ZADG =妙 乂 V DE = 2yj3+ D庐二書1 : EF 二寻 E 过点E 作 EH丄DC Th在Rt 4 ECH中,FH = Qe声 _ Elf = 2 : CF 二 FH 十 CH = 2 十 1 = 3Z DF = CD - CF = 1【解析】【分析】（1）连结BD，根据菱形的性质及等边三角形的判立方法首先判定岀 ACDB是等边三角形，根摒等边三角形的性质得岀DE丄BC, CE

21、=2,然后利用勾股左理算岀 DE的长：AG _ DG（2）首先判断岀AAGD-AEGF,根据相似三角形对应边成比例得岀EG F6 ,又 Z AGE二Z DGF,故厶 AGE-厶 DGF；根据相似三角形的性质及含30。直角三角形的边之间的关系及勾股左理得岀EF的长， 然后过点E作EH丄DC于点H,在RtA ECH中，利用勾股左理算岀FH的长，从而根据线段 的和差即可算岀答案.门如图所示，在平而直角坐标系xoy中，直线y= v3x+ VJ交x轴于点B,交y轴于点A,过点C （1, 0）作x轴的垂线I,将直线I绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为a （0a 0),/. 0= g+b,. b= -直线I的

22、解析式为y=x-(2)解：对于直线y=令x=0得y=&,令y=0得x=-l, A (0, 仔),B (-It 0), C (1, 0),.仏=八如，如图1中，作CEII OA,OCtanZ OAC= OA 3 , Z OAC=30 Z ACE = 30,a=30（3）解：如图2中,当a=15时， CEII OD, Z ODC=15% Z OAC=30%Z ACD = ZADC=15, AD=AC=AB,ADB, A ADC是等腰三角形，OD垂直平分BC, DB = DC,DBC是等腰三角形：当 a = 60时，易知Z DAC=Z DCA=30% DA=DC=DB, ABD、 ACDx BCD均

23、为等腰三角形:当 a = 105时，易知Z ABD = Z ADB = Z ADC=Z ACD = 75 Z DBC = Z DCB=15, ABD、 ACD、 BCD均为等腰三角形；图小当a = 150时，易知ABDC是等边三角形, ABD、 ACD. BCD均为等腰三角形，综上所述：当a=15a或60。或105。或150。时， ABD. ACD、 BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】（1）设直线I的解析式为y=Wx+b,把点C （1, 0）代入求岀b即 可；（2）求出点A的坐标，利用两点间距离公式即可求出AC的长；如图1中，由0CCEII OA,推出Z ACE = Z OAC,由 tan

24、Z OAC= OA 3 ,推出z OAC = 30 即可解决问 题：（3）根据等腰三角形的判泄和性质，分情况作出图形，进行求解即可.12如图1,在矩形ABCD中，AB二6cm, BC=12cm，点P从点A开始以lcm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发,设运动时间为ts,(1)备用当t=2时,求厶PBQ的面积:3（2）当t=2时，试说明4是直角三角形：（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是 否能平分ZADQ?若能，求出点Q运动的时间：若不能，请说明理由.【答案】（1）解:当 t=2 时,AP

25、=t=2 BQ=2t=4, . BP二ABAP=4,1 PBQ的面积=2x4x4二8：S(2)解：当 t二纟时，AP=1.5, PB=4.5, BQ二3, CQ=9,. DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25, PQ2=PB2+BQ2=29.25, DQ2=CD2+CQ2=117, PQ2+DQ2二DP?, Z DQP=90% DPQ是直角三角形.（3）解：设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点0设QB的长度为x,则QC的长度为（12-x）, DCII BO, Z C=Z QBO, Z CDQ二Z O, CDQ BOQ,又 CD=6, QB二x, QC=12-x,CQ

26、CD 12 _ x _ 6 . 无，R卩 x BC,6x解得：BO= 12 - x ,36 十 3xP _ 12-xD0 =6x72 AO二AB+BO二6+ 12 x 12 T Z ADP=Z ODP, 12： DO=AP： PO,代入解得x=0.75,DP能平分Z ADQ,T点Q的速度为2cm/s,P停止后Q往B走的路程为（6-0.75） =5.25cm.时间为2.625s,加上刚开始的3s, Q点的运动时间为5.625s.【解析】【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出AP=t=2, BQ=2t=4,所以BP=4,进 而根据三角形的而积计算方法即可算岀答案：（2）当t=2时，根据路程等于

27、速度乘以时间得岀AP=1.5, BQ=3,故PB=4.5, CQ=9,根 据勾股左理表示岀DP2,PQ2,DQ2,从而根据勾股左理的逆左理判断岀Z DQP=90。， DPQ是 直角三角形：（3）设存在点Q在BC上，延长DQ与AB延长线交于点O ,设QB的长度为x,则QC 的长度为（12-x）,判断岀CDQ-ABOQ,根据全等三角形的对应边成比例得岀 CQ CDBQ BG,根据比例式可以用含x的式子表示出BO的长，根据角平分线的性质立理得岀 12： DO=AP： PO,根据比例式求出x的值，从而即可解决问题.13已知关于彳的一元二次方程x2 - 3x k - 1 = 6有实数根，R为正整数.V

28、4321-4 -3 2 -1 -11234 x-2-3-4-(1) 求人的值：(2) 当此方程有两个不为0的整数根时，将关于*的二次函数y =- 3x k - 1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图彖的解析式：(3) 在(2)的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿X轴翻折，图象 的其余部分保持不变，得到一个新的图象G.当直线y = 5X + 0与图象G有3个公共点 时，请你直接写出。的取值范围.【答案】(1)解：丁方程有实数根，山$ G.13k w13 - 4k Z 6,解得 4 . &为正整数，R为1, 2, 3(2)解：当k = 1时，4方程的两个整数根为6, 0：当k

29、=2时，A =5f方程无整数根：当k = 3时，A =1,方程的两个整数根为2, 1/. k = S,原抛物线的解析式为：y = * - % + 2.平移后的图象的解析式为.卩二f _ 3x二/ -/亠 3x(x 0)(3)解：翻折后得到一个新的图象G的解析式为 3x2 0),f _ d 亠 3x(x 0)联立 y = 5x + b 得 - 十 3x 二 5x + 力，即 f 十 2x + b 二 G.由 d =哆 - 4b M G得 Z? W /.当b = i或时，直线v = 5x b与-八3x(x 0)有一个交点，当 0 b匕/时，直线v = 5x -f- b与y = -/亠3x(x 6或力二- 时，直线丫二5x * b与y二*-3丫仗20丿有一个交点，当 -6 b W G时，直线y = 5x + b与y = - 2十3x(x 勿有两个交点.要使直线V = 5x b与图象G有3个公共点即要直线Y二5x + H与 -齐+ 3x(x 0)有一个交点且与y = 一孫+ 3x(x 0)有两个交点；或直线 y = 5x + b与y= - d + 3x(x 0)有两个交点且与y = -+ 3x(x 0)有一个