数学物理方法第一章

1、数学物理方法数学物理方法信息与通信工程学院信息与通信工程学院李莉李莉1教学目的教学目的n通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导方程和方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：分方程等典型数学物理方程的常用解法：分离变量法、行波法、积分变换法和离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟函数法等等。熟悉和掌握悉和掌握Bessel函数和函数和Legendre函数等两类特殊函数的函数等两类特殊函数的性质和应用。性质和应用。n通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运

2、用数学的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为电磁场电磁场、微波理论微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能等后续课程的学习及培养初步的科研能力打下基础。力打下基础。2数学物理方法：数学物理方法：数学物理方程数学物理方程+特殊函数特殊函数n数学物理方程数学物理方程从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中导出的，反映物理量之间关系的导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程偏微分方程和和积分方程积分方程。n特殊函数特殊函数q与初等函数相对；与初等函数相对；q初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函

3、数、初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数三角函数和反三角函数3主要内容主要内容n第第4章章 数学物理方程及其定解条件数学物理方程及其定解条件 n 4.1 基本方程的建立基本方程的建立n 4.2 定解条件定解条件n 4.3 定解问题的提法定解问题的提法n 4.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简二阶线性偏微分方程的分类与化简n第第5章章 分离变量法分离变量法n 5.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法）维齐次方程的分离变量法n 5.2 二维二维Laplace方程的定解问题方程的定解问题n 5.3 非齐次方程的解法非齐次方程的解法n 5.4 非齐次边界条件的处理非齐次边

4、界条件的处理4n第第6章章 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法 本征值问题本征值问题n6.1 二阶常微分方程的级数解法二阶常微分方程的级数解法n6.2 Sturm-Liouville（斯特姆（斯特姆-刘维尔）本征值问题刘维尔）本征值问题n第第7章章 Bessel函数的性质及其应用函数的性质及其应用n 7.1 Bessel方程的引入方程的引入n 7.2 Bessel函数的性质函数的性质n 7.3 Bessel函数的应用函数的应用n *7.4 修正修正Bessel函数函数n *7.5 可化为可化为Bessel方程的方程方程的方程5n第第8章章 Legendre 多项式及其应用多项式及

5、其应用n 8.1 Legendre 方程及方程及Legendre 多项式的引入多项式的引入n 8.2 Legendre 多项式的性质多项式的性质n 8.3 Legendre多项式的应用多项式的应用n *8.4 关联关联Legendre 多项式及其应用多项式及其应用n *8.5 其它特殊函数方程简介其它特殊函数方程简介n第第9章章 行波法与积分变换法行波法与积分变换法n 9.1 一维波动方程的一维波动方程的DAlember(达朗贝尔达朗贝尔)公式公式n 9.2 三维波动方程的三维波动方程的Poisson公式公式n 9.3 Fourier积分变换法求定解问题积分变换法求定解问题n 9.4 Lapl

6、ace变换法解定解问题变换法解定解问题6n第第10章章 Green函数法函数法n 10.1 引言引言n 10.2 函数的定义与性质函数的定义与性质 n 10.3 Poisson方程的边值问题方程的边值问题n 10.4 Green函数的一般求法函数的一般求法n 10.5 用电像法求某些特殊区域的用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函函数数7教学基本要求教学基本要求n掌握掌握波动方程波动方程、热传导方程热传导方程、Laplace方程方程的的物理背景及其定解问题的提法；物理背景及其定解问题的提法；n熟练掌握三类方程定解问题的解法：熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量分离变量法法

7、，行波法、积分变换法等；，行波法、积分变换法等；n熟悉熟悉Bessel函数和函数和Legendre函数的性质及其函数的性质及其应用。应用。物理过程物理过程数学模型数学模型数学解数学解物理解物理解学习方法学习方法物理现象物理现象第第4章章 数学物理方程及其数学物理方程及其定解条件定解条件典型方程和定解条件的导出典型方程和定解条件的导出94-1 基本方程的建立基本方程的建立n基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的基本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的数学表达数学表达n任务任务：将物理规律：将物理规律“翻译翻译”为数学语言，即列出某为数学语言，即列出某类物理现象所满足的数学物理方程类物理

8、现象所满足的数学物理方程n常用的方法：常用的方法：q微元法微元法：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这：在整个系统中分出一个小部分，分析邻近部分与这一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到一小部分的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到所研究问题满足的数学物理方程所研究问题满足的数学物理方程q规律法规律法：将物理规律（比如：将物理规律（比如Maxwell方程组）用（容易求解方程组）用（容易求解的）数学物理方程表示出来的）数学物理方程表示出来q统计法统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理方程，常用于经济、社会科学

9、等领域。方程，常用于经济、社会科学等领域。104.1.1 波动方程波动方程q均匀弦的微小横振动均匀弦的微小横振动设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。下面研究弦作下面研究弦作微小横振动微小横振动的规律。的规律。所谓所谓“横向横向”是指全部运动出现在一个是指全部运动出现在一个平面内，而且弦上的点沿垂直于平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方轴的方向运动。向运动。所谓所谓“微小微小”是指运动的幅度及弦在任是指运动的幅度及弦在

10、任意位置处切线的倾角都很小，以致它们意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项可以忽略不计。的高于一次方的项可以忽略不计。弦是均匀的，设其线密度为弦是均匀的，设其线密度为 ；11弧段两端所受张力为弧段两端所受张力为 和和设弦上具有横坐标为设弦上具有横坐标为x的点，在时刻的点，在时刻t的位置为的位置为M，其位移，其位移MN记为记为u。显然，在振动过程中，位移显然，在振动过程中，位移u是变量是变量x和和t的函数，即的函数，即( , )uu x t采用采用微元法微元法来建立位移来建立位移u满足的方程：满足的方程：把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后再考虑

11、小弧段趋于零的极限情况。后再考虑小弧段趋于零的极限情况。在弦上任取一弧段在弦上任取一弧段 ，其长度为，其长度为ds，TT由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向切线方向。MM是弦的线密度是弦的线密度12现在考虑弧段现在考虑弧段 在在t时刻的受力和运动情况。时刻的受力和运动情况。根据根据牛顿第二定律牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的质量乘以该方向上的运动加速度。质量乘以该方向上的运动加速度。在在x方向方向弧段弧段 受力总和为受力总和为由于弦

12、只做横向运动，所以由于弦只做横向运动，所以按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和和M点处切线的点处切线的倾角都很小，即：倾角都很小，即：MMMMcoscosTTcoscos0TT0,013略去略去 和和 的所有高于一次方的项时，就有的所有高于一次方的项时，就有 由由代入式代入式便可近似得到：便可近似得到：在在u方向方向弧段弧段 受力总和为受力总和为其中，其中， 是是 的重力。的重力。gds24cos12!4! cos1,cos1coscos0TTTTMMsinsin,TTgdsMM14当当 时，时，小弧段在时刻小弧段在时刻t沿沿u方向的

13、方向的加速度加速度近似为近似为 ，22( , )u x tt小弧段的质量为小弧段的质量为ds由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有将近似式代入，将近似式代入，0,02,tansintan,1tanu x tx,sintan,u xdx tx2,1.u x tdsdxdxx22,sinsinu x tTTgdsdst22,u xdx tu x tu x tTgdxdxxxt15上式左端方括号的部分是由于上式左端方括号的部分是由于x产生产生 的变化引起的的变化引起的 的改变量，可以用微分近似代替：的改变量，可以用微分近似代替：dx( , )u x tx所以式（所以式（*）变为）变为（*）或或一般来说，张

14、力较大时弦振动的速度变化很快，即一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即 要比要比g大得多，大得多，所以可以把所以可以把g略去。略去。22( , )u x tt可得：可得：22222( , )( , )u x tu x tatx其中，其中，2/aT这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在空间上是一维的，故称空间上是一维的，故称一维波动方程一维波动方程。22,u xdx tu x tu x tTgdxdxxxt22,u xdx tu x tu x tu x tdxdxxxxxx2222,u x tu x tT

15、g dxdxxt2222,u x tu x tTgxt16其中，其中， ，表示，表示t时刻单位质量的弦在时刻单位质量的弦在x点所受的外力。点所受的外力。如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力，如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力，即力密度为即力密度为F(x,t)。则在方程左端还应加上一项外力。则在方程左端还应加上一项外力 。( , )F x t dx( , )( , )/f x tF x t受迫振动受迫振动则方程组则方程组应该变为：应该变为：重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：22

16、222( , )( , )( , )u x tu x taf x ttx（*）式（式（*）称为弦的受迫振动方程。）称为弦的受迫振动方程。coscos0TT22,sinsinu x tFdsTTgdsdstcoscos0TT22,sinsinu x tTTgdsdst17包括有非零自由项的方程称为包括有非零自由项的方程称为非齐次方程非齐次方程。自由项恒等于零的方程称为自由项恒等于零的方程称为齐次方程齐次方程。方程（方程（*）为一维齐次波动方程，）为一维齐次波动方程，22222( , )( , )u x tu x tatx方程（方程（*）为一维非齐次波动方程。）为一维非齐次波动方程。22222(

17、, )( , )( , )u x tu x taf x ttx方程（方程（*）和方程（）和方程（*）的差别在于方程（）的差别在于方程（ * ）的右端多了一个与未）的右端多了一个与未知函数知函数u无关的项无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。，这个项称为自由项。（*）（*）18杆的杆的质量密度质量密度为为 ，横截面横截面为为S（常数），（常数），长度长度为为 q均匀弹性杆的微小纵振动均匀弹性杆的微小纵振动一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动长或缩

18、短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动的传播就是的传播就是波波。弹性模量弹性模量E：杆伸长单位长度所需的：杆伸长单位长度所需的力力x点在点在t时刻的时刻的纵向位移纵向位移为为u(x,t) 。( , )x t外力密度外力密度为为F(x,t)，应力应力 ：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力：杆上：杆上x点在点在t时刻的应力。时刻的应力。应变：应变：杆的相对伸长杆的相对伸长x19x点的应变点的应变为：为：如图，如图，AB段的相对伸长是：段的相对伸长是：(, )( , )ABABu xx tu x txAB0(, )( , )(

19、 , )limxu xx tu x tu x txx 由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度( , )( , )u x tx tEx由由牛顿第二定律牛顿第二定律，可得，可得x,x+x段的运动方程为：段的运动方程为：1222( , )(, )( , )(, )xxutS xxx t Sx t SF xx t S xt 虎克（虎克（Hooke）定律：）定律：应力应力=弹性模量弹性模量*应变应变201222( , )( , )( , )(, )xxxxxutututS xESESF xx t S xt ( , )( , )u x tx tEx1222(

20、, )(, )( , )(, )xxutS xxx t Sx t SF xx t S xt 将虎克定律将虎克定律 代入上式代入上式 得：得：122222( , )( , )(, )xxxututS xESxF xx t S xt 将函数将函数 在在 处展开为泰勒级数并取前两项，得：处展开为泰勒级数并取前两项，得：( , )xxut x其中，其中， 满足满足12, 01 (1,2)ii21122222( , )( , )(, )xxxututS xESxF xx t S xt 以以 除上式两端，得：除上式两端，得：S x122222( , )( , )(, )xxxututEF xx tt 令令

21、 ，得：，得：0 x ( , )( , )( , )ttxxux tEux tF x t记记( , ), ( , )EF x taf x t方程变为：方程变为：2( , )( , )( , )ttxxux ta ux tf x t一维波动方程一维波动方程22q传输线方程传输线方程对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫（对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的（指频率还没有高到能显著地辐射电路中电流相等。但对于较高频率的（指频率还没有高到能显著地辐射电磁波的情况），电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一磁波的情况）

22、，电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。支路中电流未必相等。考虑一来一往的高频传输线考虑一来一往的高频传输线（具有分布参数的导体）（具有分布参数的导体）在具有分布参数的导体中，电流通在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度过的情况，可以用电流强度I与电压与电压V来描述，此处来描述，此处I与与V都是都是 的函的函数数,记作记作 与与 。, x t( , )I x t( , )V x tR每一回路单位的串联电阻；每一回路单位的串联电阻； L每一回路单位的串联电感；每一回路单位的串联电感；C每单位长度的分路电容；每单位长度的分路电容； G每单位长度的分路电

23、导。每单位长度的分路电导。23采用微元法采用微元法根据基尔霍夫第二定律，在长度为根据基尔霍夫第二定律，在长度为的传输线中，电压降应等于电动势的传输线中，电压降应等于电动势之和，即之和，即()IVVVR x IL xt 两边除以两边除以 ，并令，并令 ，可得，可得VIRILxt 另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即即()()()VVIIIC xG x VVt 可得可得IVCGVxt xx0 x 24VIRILxt IVCGVxt 即即I 和和V应满足如下方程组：应满足如下方程组：0,0.IVCGVxtV

24、ILRIxt从这个方程组消去从这个方程组消去V (或或I), 即可得到即可得到I (或或V)所满足的方程。所满足的方程。250,0.IVCGVxtVILRIxt（1）（2）将方程（将方程（1）对）对x微分（假定微分（假定V与与I对对x,t都是二次连续可微的），得：都是二次连续可微的），得：22220IVIIGLCRCxxtt同时在方程（同时在方程（2）两端乘以）两端乘以C后再对后再对t微分，可得：微分，可得：2220IVVCGxt xx 2220VIICCLCRx ttt 将两个结果相减，即得：将两个结果相减，即得：2622220IVIIGLCRCxxtt将将 代入上式，得代入上式，得VIRI

25、Lxt 2222()IIILCRCGLGRIxtt电流电流I满足的微分方程满足的微分方程类似可得电压类似可得电压V满足的方程：满足的方程：2222()VVVLCRCGLGRVxtt2222()IIILCRCGLGRIxtt2222()VVVLCRCGLGRVxtt传输线方程传输线方程27根据不同的具体情况，对参数根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作不同的假定，就可以得到传作不同的假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。输线方程的各种特殊形式。无损耗传输线：无损耗传输线：0GR此时传输线方程此时传输线方程可简化为可简化为2222()IIILCRCGLGRIxtt2222()VVVL

26、CRCGLGRVxtt22221IItLCx22221VVtLCx无损耗传输线方程无损耗传输线方程2822221IItLCx22221VVtLCx若令若令21aLC这两个方程与一维齐次波动方程标准形式完全相同。这两个方程与一维齐次波动方程标准形式完全相同。22222( , )( , )u x tu x tatx由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。场理论中，还要研究高维的波动方程。

27、29q电磁波方程电磁波方程电磁场由电场强度电磁场由电场强度E，电位移矢量，电位移矢量D，磁场强度，磁场强度H，磁感应强度，磁感应强度B描述。描述。电磁场的规律由以下的麦克斯韦方程组表述：电磁场的规律由以下的麦克斯韦方程组表述：Dt BE0BtDHJ其中，其中， 是自由电荷密度，是自由电荷密度， 是传导电流密度。是传导电流密度。J这组方程还必须与下述场的物质方程相联立这组方程还必须与下述场的物质方程相联立DEBHJE其中，其中， 是介质的介电常数，是介质的介电常数， 为导磁率，为导磁率， 为导电率。为导电率。（1-1）（1-2）（1-3）（1-4）（2-1）（2-2）（2-3）30哈密顿算符：哈密顿算符：xyz ijk运算规则：运算规则：是个矢量微分算子，在运算中具有矢量和微分双重性质。是个矢量微分算子，在运算中具有矢量和微分双重性质。uu