拉姆齐模型课件

1、拉姆齐模型课件第三讲第三讲 无限期界模型（拉姆齐模型）无限期界模型（拉姆齐模型）Frank Ramsey Frank Ramsey (1903-1930), Britishmathe matician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statis

2、tics, probability and decision theory, economics and metaphysics.A Contribution to the Theory of Taxation,1927A Mathematical Theory of Saving,1928 拉姆齐模型课件一、问题的提出一、问题的提出 前面各种增长模型之所以都将储蓄率看作外生常数，主要是为了简化模型的分析，另一方面是因为在许多经济中其相对比较稳定，在一定时期内变化不大。但是，增长理论研究的是长期的动态经济增长，长期间储蓄率是变化的，将其作为外生常数排除了经济增长与其的相互作用。从前面的讨论可知

3、，一个经济是否有稳定状态，是否收敛，收敛速度多快以及是否存在内生经济增长等都与储蓄率的变化有关，因此排除经济增长对储蓄率的反作用必然使经济增长的关键特征都由模型的外生参数决定，使模型无法解释经济增长真正的内在规律和机制，这是造成哈罗德一多马模型、索洛（及其基础之上的衍生）模型解释经济增长能力局限性的根本原因。 拉姆齐模型课件 本讲的主要工作是将储蓄率作为内生变量引入模型，做到这一点的办法是考察家庭的消费行为，因为储蓄率是由家庭的消费行为决定的。 考察家庭费行为的办 法是利用消费的效用函数，家庭消费决策的原则是使长期内家庭整体消费效用最大化。 有了家庭的消费效用函数，我门可以分析家庭在各种资本和

4、产出水平(相当于当前和长期的消费约束)，如何选择消费量(或储蓄率)的规律，从而使储蓄率成为模型的内生变量。 首先建立这种家庭最优消费选择模型的是拉姆赛(Rmsey,1928) ，凯斯(Cass)和科普曼斯(Koopmans)在1965年又分别对它作了改进，我们把这种类型的增长模型称为拉姆赛模型。拉姆齐模型课件回顾：黄金分割律、最优消费和黄金率回顾：黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平资本存量水平 在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当 时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而

5、一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当 时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。goldssgoldss拉姆齐模型课件拉姆齐模型课件f(k)E拉姆齐模型课件拉姆齐模型课件二、模型假定二、模型假定 1完全竞争市场结构 2长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让） 3家庭和个人完全同质 4忽略资本的折旧 5暂不考虑政府行为拉姆齐模型课件在简单经济中，家庭与厂商之间的关系：拉姆齐模型课件三、厂商行为三、厂商行为拉姆齐模型课件四、家庭行为四、家庭行为拉姆齐模型课件1. 家庭效用函数定义家庭效用函数（也称作“幸福函数幸福函数”）

6、为：() ( ) ( )tntn ttotoUu c tdtu c tdteeen 说明子女越多，父母对每个子女福利的重视程度就会越小，即父母会加速对不断增多子女的轻视程度.拉姆齐模型课件2.家庭的资产和债务 记t时刻家庭拥有的总资产为A(t)。这里A(t)可以为正的，也可以为负的。当A(t)为正时表明此时家庭拥有正的资产;反之，A(t)表示家庭的负债。假设在完全竞争条件下，市场上的资本回报率(即利率)为r(t)。这样家庭所拥有的资产在t时刻可以带来的收益为A(t)r(t) 。如果A(t)为负， A(t)r(t) 表示此时家庭必须付的债务利息。同时，假设家庭可以为社会提供劳动力，得到工资回报。

7、假设在t时刻的工资率（人均工资）为w(t)，家庭提供的劳动力为L(t)。这样，家庭通过劳动得到的收益为w(t)L(t)。因此，在t时刻家庭的总收入为r(t)A(t)+w(t)L(t)。拉姆齐模型课件 C t/:A tw t L tr t A tC ttA tL tttC tL tttA tL ttA tw t L tr t A tC taw tr t a tc tna tna tn家庭收入除用来消费外，其余的用来储蓄以增加资产。记t时刻家庭的总的消费水平为，这样家庭的预算约束可以表示为:定义a为时刻家庭拥有的人均资产,c为和时刻家庭的人均消费,并且L的增长率为n,这样方程:a两边对求导,并将代

8、入得表示人口按 速率增长 aw tr t a tc tna tw tr t a tc tn时使家庭人均资产保持原有水平必须追加的投资或储蓄.方程表明:人均资产随着人均收入的增长而增长,随着人均消费和人口扩张率 的上升而下降.这是家庭消费最大化的第一个限制条件.拉姆齐模型课件 0:limexp0,.,limexpttta tr vndvr tnr tna tr vndv 第 二 个 限 制 条 件 是即 时 间 的 无 限 推 移 ,人 均 净 资 产 的 贴 现 值 渐 进 非 负 ,这 说 明 人 均 净 资 产 的 净 贴 现 值 由决 定 不 能 为 负 ,否 则 ,在 未 来 远 期

9、的 某 一 时 刻 ,家 庭 将 会 停 止 投 资 .也 可 反 过 来 说 ,一 个 家 庭 的 长 期 人 均 债 务 的 增 长 速 度 不 能超 过否 则 收 益 将 为 负现 在 家 庭 的 最 优 消 费 问 题 变 为 ,在 预 算 约 束 : 0()0: ( )tn ttoaw tr t a tc tna tUu c tdte和下求 解的 最 大 值 .拉姆齐模型课件 :0n tn tHamiltonHamiltonHu c ewrn actcHamiltonHuc ec利用系统来求解上述优化问题.对于上面的优化问题定义方程式中第一项是时刻 消费 的效用的贴现值. 为乘子,表

10、示在t时刻一个单位的资本存量的增加所带来效用增加量的现值,也有将其称为效用的影子价格.这样,第二项表示:t时收益的效用以0时刻的收益效用来表示.一阶最优条件为: 12lim( )03tHrnat a t 横截性条件(Transversality condition-TVC,这里应用了K-T定理的互补松弛条件.)拉姆齐模型课件 方程(1)表明在最优时，消费的边际效用（贴现）等于财富的边际值（贴现）。方程(2)为Euler Equation，我们将在后面进行讨论。横截性条件(3)排除了发散的均衡点的情形。它表明在时间充分长时，财富的价值充分小。这是因为如果在充分长的时间后财富的边际值为正，则消费者

11、的财富一定为零;否则，如果存在正的财富，消费者可以降低财富水平用来增加消费，从而提高总的效用。另一方面，如果在充分长的时间消费者还存在正的财富，那么消费者消费的边际效用一定等于零;否则，同样的道理消费者可以降低财富水平用来增加消费，从而提高总的效用。拉姆齐模型课件 Euler1Euler20.uccuc ccucu ccu cuc cdu cu cu cdc uu 现在来解释方程。考虑到方程，通过计算可以把方程变为：r= +是边际效用弹性 定义:边际效用弹性 =-该式说明家庭消费选择的准则是,使得投资报酬率r正好等于时间偏好率当前消费可以避免将来消费效用贬值损失的比率 与由于当前人均消费c的变

12、化而引起效用的变化率之和,这个和表明了当前消费的回报率,它应等于当前投资的回报率r.这就是通常所讲的市场无套利原则在宏观经济学中的体现.拉姆齐模型课件 11( ) ( ),0,(1)011;( ), ( )21 2( 1/2)/ ( 1/2)( 1/2)/ (C tu C tngudu Cu Cu CCu CCdC uuCCPPCCP 效用函数的形式为：保证效用 不发散该函数具有以下三个特点：边际效用弹性不变:跨期替代弹性不变，为1/ ，表示相对风险回避系数不变。，表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：11112ln1/21/2)ln1/2( ): ( )1. .1 12 2ln1/2ln1/2

13、( ).:( )1( ).111( )CCPPPC tMaxu C tstP CP CWCCLPPu Cu C CCCu CUu C C 针对应用 求极值法,求出C1和C2,代入得同理我们可证明一个两期效用函数的拉姆齐模型课件 1( ), ( ):1/,:lim0,0,tuc ccu CCu CCu cccrcTVCt a tt a t 将代入r得该式表明,r大于,等于,还是小于决定了家庭的最佳消费模式是人均消费不断上升 保持不变,还是逐步下降.我们讨论一下横截性条件该横截性条件表明,当时间趋向于无穷远时,家庭人均资产的效用必须趋向于 即无穷远时间的资产在现在.看来毫无价值拉姆齐模型课件 00

14、/,:00 exp,00(0) .lim( )0,limexp0ttttHrnrntar vn dvvvu ct a ta tr vn dv 方程两边对时间积分,得: (t)=是一常数,将上式代入则横截性条件变为:该式意味着:长期人均资产a不能以r-n那么快的速度增长,否则家庭不能实现效用最大化.如a的增长速度超过r-n, 00:exp0,.1/0.trttr ttr v dvtr vrer ttr v dvte那么多出来的那一部分用于消费,家庭人均福利能够提高.消费函数上述方程中的项是将时刻 的一单位收入转化为 时刻的等价单位的贴现因子.如果等于常数 则贴现因子简化为如果定义:为时间 至 之

15、间的平均利息率,则贴现因子为拉姆齐模型课件 1001,0,:TTr TnTr tntr tntcu ccwracnaa T ec t edtaw t edtTTVCc t 决定了人均消费 的增长率.为了确定家庭的消费函数,即各个时刻家庭人均消费的水平 必须用收入流量预算约束:a导出家庭的跨时期预算约束.将上式作为一价线性微分方程求解,得到对任何时刻T0都成立的跨时期预算约束:如果令根据条件有 00001/0(0)(0)(0)(0)/1/01/,:0,r tntr tntr tnttr ttedtaw t edtawww t edtwcrtr ttr v dvc tce其中: 为未来全部工资收入

16、的现值之和.上式表明:消费的现值等于初始资产a(0)和未来收入的现值之和. 将c对时间积分,并利用求得消费函数为将该 01/0(0)(0)000(0)(0)100r tntr tntc t edtawawedt 式代入可导出 时刻的消费为:c其中称为财富的消费倾向,由下式决定:拉姆齐模型课件 1/01,01,2,.0.r tntr tedtr t 对给定的财富量 平均利率的提高对方程中的边际财富消费倾向有两方面的影响:较高的利率提高当前消费相对于将来消费的机会成本 跨时期消费的替代效应会刺激人们把当前消费改为将来消费,即当前少消费,多储蓄(投资).较高的利率又有收入效应 会提高所有时间的消费水

17、平 包括当前的消费水平因此平均利率的提高对的净影响取决于上述哪种效应更强 : 11(0),0,021,0,031,0,r tcr tcnr t分析如果越小,随的上升将下降也将下降,意味着当前少消费,多储蓄(投资).说明替代效应强.如果越大,随的上升也会上升上升,说明替代效应强逐渐减弱,而收入效应逐渐增强.如果两种效应相互抵消,简化为与无关.拉姆齐模型课件五五.厂商的经济行为厂商的经济行为 :,.:,;00 ,01.:./gtgtgtYF K ALYF K ALF K LA tAegALALLeyYLKLyYLfYKfYLffe 厂商的生产函数且规模报酬不变令将正规化为则为有效劳动的单位产出.

18、k为单位有效劳动占有资本.生产函数也可写为:k 且满足稻田条件.容易证明:kkkk拉姆齐模型课件 0.,:1,gtK ALrKwLrwrKwLK ALrKwLf krkwefkrfk 代表性厂商在任一时点的净利润流量:=F,其中: 为资本市场的平均利率;为资本折旧率; 为工人工资上式表明:净利润等于总产出减去资本的租金和工人的工资考虑一个有效劳动投入为L的厂商 其净利润为:=F,L容易验证,为使 最大化 须满足即单位有效资本的边际产出等于资本的租 ;2,.1 , 2gtrf kk fkewEuler金即劳动力要素的边际产出等于工资上述实为定理.拉姆齐模型课件六.均 衡 1;,/,gtgtrwr

19、wk kwracna akkKLKLekefk前面介绍了给定利率 和工资率情况下家庭的行为方式,接着又讨论了给定利率 和工资率情况下完全竞争厂商的行为规律.现在将它们结合起来分析两部门均衡. 在均衡时,总需求等于总供给,家庭最终净债务水平为零,因此有:人均资本a= ( =K/L).k与a相等是因为在两部门模型中,全部资本都由国内居民(工人)拥有.根据 a再依据 ,:.gtgtgtgtgtgtgtgtrfkk fkewkk egkewracna egkewrkcnk egkefkcgnkcceL ALgn和可得其中有效人均消费上述等式是生产的资源约束:单位有效劳动资本的变化等于单位有效劳动资本的

20、产出减去消费和资本的广化,这里考虑到了以的速率增长上述等式也可表述为:资本的深化等于人均产出减去消费和资本的广化.拉姆齐模型课件 .,.21kf kcgnkf kcc 微分方程是决定有效劳动资本的增长路径,从而也是产出y路径的关键关系式,是模型的基本微分方程.但该模型还缺少决定的机制如果有决定 变动的另一个微分方程 就可以研究经济运行的全部动态过程了 索洛模型是通过假定储蓄率为常数,从而消费是产出的固定比例来解决这个问题的.本模型中储蓄率已不是常数,根据对家庭最优化消费路径的分析,已经知道c按c/c= /1/gtrrfkfkg 增长,再根据c=ce和- ,可得: c/c=c/c-g=拉姆齐模型

21、课件 003limexp0limexp0,.1 , 2 , 3tgttttakkkea tr vn dvkfkgn dvkkfkKgn 将和代入式,则TVC条件变为: 如果要 趋向一个常数稳定状态值则上式要求稳定状态时的净资本报酬率单位资本的净报酬大于稳定状态的资本的增长率 上述就构成了关于kckc和 的微分方程,也就决定了 和 的增长路径.拉姆齐模型课件七.稳定状态 0,kf kcgnkk 与索洛模型一样,本模型稳定状态时c, k, y的增长率都为零,即c=k=y=0.这时,单位有效劳动的资本k ,消费c, 产出y 都是一稳定值,而人均资本k ,消费c, 产出y 都以技术水平的增长率g为速率

22、增长,总量指标K, Y, C, 则以速率g+n增长. 根据上述结论,稳定状态c, k, 值可以令中的和c/c=c/ 1/0.0,.goldfkgkf kgnkfkgnfkgnkc-g=中的c而求得满足的 k c 在图3.4中构成了曲线c该曲线的最高点的切线斜率为零,因此满足即资本报酬率与稳定状态的产出增长率相等.由于这个最高点是最好的稳定状态消费水平,而对应的资本水平被称为黄金法则资本水平,记为 拉姆齐模型课件 0,.,fkgfkgggfkgk ckkkkf kkc意味着: 即稳定状态的资本报酬率必须等于有效折扣率其中反映了由于消费以 的速率增长而引起的消费效用递减的影响.在图3.4中,满足的构成一条垂直于 轴, 恒等于 的垂线 存在唯一的是因为是 的单调函数拉姆齐模型课件 .,110kkcf