(完整版)高考数学文化题目：阿波罗尼斯圆问题

1、高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：普通高考考试大纲数学修订，加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以 下建议：建议教师对数学文化这一概念认真学习， 结合教材内容学习，特别是教材中 渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数 学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。其主要意义为：(1)增加中华优秀传统文化的考核内容， 积极培育和践行社会主义核心价值观， 充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.(2)能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方 面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求

2、 .二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测：往年新课标高考实例分析：分析一：古代数学书籍九章算术、数书九章等为背景近年来在全国高考数学试题中，从九章算术中选取与当今高中数学教学 相映的题材背景.(1) 2015年高考全国卷I ,此题源于九章算术卷第五商功之二五, 将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合.(2) 2015年高考全国卷H ,此题源于九章算术卷第一方田之六:“又有九十一分之四十九.问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之，后人称之为“更 相减损术”.(3) 2015年高考湖北卷，此题背景源于九章算术卷

3、第五商功之一五.今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何；之 一六今有鳖月需，下广 五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺.问积几何.考题将“阳马”，“鳖月需” 相结合，以选修2-1 P109例4为源进行有机整合.巧妙嫁接，精典设问， 和谐优美的考题呼之即出.分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他 省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.数学文化题型背景预测：预测1 :古代数学书籍九章算术、数书九章等数为背景的数学文化 类题目.预测2:高等数学衔接知识类题目.如微

4、积分、初等数学和高等数学的桥梁， 由高中向大学的知识过渡衔接.预测3:课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、 更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。预测4:中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、 哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。三、直击高考经典公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一 书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于 已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A,B为两定点，动点P满足PA PB,/ 则 1时，动点P的轨迹为直线；当 1时，动点P的轨迹为圆/AB

5、 后世称之为阿波罗尼斯圆.证：设AB 2m (m 0), PA PB .以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A ( m,0) , B (m,0).又设 C (x, y),则由 PA PB得、:(x m)2 y2、；(x m)2 y2 ,两边平方并化简整理得(2 1) x2 2m ( 2 1) x ( 2 1) y2 m2(1 2),当 1时，x 0 ,轨迹为线段AB的垂直平分线;1 时，(x 1m)2 y22 122冬生r ，轨迹为以点(2 1)2(-21 m,0)为圆心,122m1长为半径的圆.6上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.高考经典试题分析：【2013江苏，

6、17】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线l : y 2x 4 .设圆C的半径为1 ,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y x 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M ,使MA 2MO ,求圆心C的横坐标a的取值范围.y x 1解：(1)联立： y ,得圆心为：q3, 2).y 2x 4设切线为：y kx 3,| 3k 3 2 |r. 一31 ,得：k 0 or k -.43故所求切线为：y 0 or y x 3 .4(2)设点 M(x, y),由 MA 2MO ,知：vx2 (y 3)2 2x2 y2 ,化简得：x2 (y 1)2 4,即：点M的轨迹为

7、以(0, 1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切.212故：10|CD|W3,其中 CD 7a (2a 3)2 .解之得：0Wa&=.5四、数学文化领悟高考数学试卷中，我们可以见到阿波罗圆的一般形式，阿波罗圆是一个重要的题根，在历次高考中累累出现.我们说“评10年高考，看一个题根”，其实这个圆 哪里只考了 10年.今年湖北卷中出现的，只不过是其更新颖的形式罢了。注：1.波罗尼斯(Apolloning,约公元前260170 ),古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有圆锥曲线论和平面轨迹等书。五、高考试题预测高考预测1:与圆有关的面积问题例1

8、满足条件AB 2,AC J2BC的三角形ABC的面积的最大值是 .解：以AB中点为原点，直线 AB为x轴建立平面直角坐标系，则A ( 1,0),B (1,0),设 C(x,y),由 AC&BC 得 (x1)2y26(x1)2y2 ,平方化简整理得y2 x2 6x 1(x 3)2 8 8,，y 2行，则S abc 1 2y 242 ,S abc 的最大值是 2yi2 .2高考预测2:与圆有关的范围问题例2在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0), B(3,0), C(0, a), D(0, a 2),若存在点P ,使得PA J2PB, PC PD ,则实数a的取值范围是 .解：设 P(x, y

9、),则 J(x 1)2y2 E J(x 3)2y2 ,整理得(x 5)2 y2 8,即动点P在以(5,0)为圆心，2衣为半径的圆上运动.另一方面，由PC PD知动点P在线段CD的垂直平分线y a 1上运动，因而问题就转化为直线 y a 1与圆（x 5）2 y2 8有交点,所以a 12J2,故实数a的取值范围是2a 1,2j2 1.例3在平面直角坐标系 xOy I I ,A 0,3，直线l： y 2x 4.设圆的半径为1 ,圆心在l上.若圆C上存在点M ,使MA2MO ,求圆心C的横坐标a的取值范围.解：设C a,2 a4 ,则圆方程为2y 2a 4又设 M（X0, y0）,Q MA 2MO2

10、x0y。人2234x4 y0222x0y014这说明M既在圆2x a y 2a21上，又在圆x24上，因而这两个圆必有交点，即两圆相交或相切,222 1 , a 0 2a 4 ( 1)12 12解得0 a 一，即a的取值范围是0, .55高考预测3:与阿圆有关的探索性问题问题例 4 已知 O o : x2 y2 1 和点 M (4,2).(1)过点M向。引切线l ,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心，且被直线 y 2x 1截得的弦长为4的。M的方程;(3)设P为（2）中。M上任一点，过点 P向。引切线，切点为 Q.试探究：平面内是否存在一定点R,使得PQ为定值？若存在，请举出一例，并指出相应

11、的定值；若不存在,PR请说明理由.解：（1）设切线l方程为y 2 k（x14k 218 .194),易得I 1 ,解得k ,-k2 115819切线l方程为y 2 (x154).（2）圆心到直线y 2x 1的距离为J5,设圆的半径为r,则r2 22 （J5）2 922，OM的万程为(x 4) (y 2)9（3）假设存在这样的点 R（a,b）,点P的坐标为（x, y）,相应的定值为根据题意可得PQ . x2 y21.,正 一y2 1.), ,I )(x a)2 (y b)2即x22222y 1(x y2ax 2by a2 b2)*),又点P 在圆上（x 4）2 （y2)29,即 x2 y2 8x 4y