数值分析习题李庆杨第三章习题

1、1、已知 xxf2sin)(在)(xf，试给出1 , 0上的伯恩斯坦多项式 ),(1xfb),(3xfb及解：knknknxxknnkfxfb)1 (),(0 1110101)1 (111)1 (010),(1xxfxxfxfbn 时当xxx112sin00303)1 (0330),(3xxfxfbn 时当112sin)1 (33sin)1 (36sin0322xxxxx232633233523xxx xxx5 . 1401924. 00980762. 023时，求证、当xxf)(2xxfbn),(证明： knknkknknknxxknnkxxknnkxfb)1 ()1 (),(10knknk

2、xxkknnnnnk)1 (!) 1()2)(1(1xxxkknnnnnkknknk)1 ()!1() 1()2)(1(11xxxmmnnnnnkkmmnmnm110)1 (!) 11()2)(1(1xxxn)1 (1 3、证明函数nxx , 1线性无关。证明：只须证明如下等式 rxxcxcxccnn 02210只有零解 , 0),(10tncccc为此，分别取), 1 , 0(nkxk 对上式两端在 0,1上作带权1)(xp的内积,得 000012131211131214131211131211210nccccnnnnnnn该方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵,对称正定非奇异,故只有零解c=0,

3、因此4、计算下列函数在c0,1上的 21,fff与3) 1()( xxf21)( xxfnmxxxf)1 ()(（1） （2） （3）解：（1） ) 1 , 0( 0) 1( 3)(2xxxf，故)(xf单增1) 1 (, )0(max) 1(max310ffxfx41)1 ()(310101dxxdxxff71)(211022dxxff （2）21) 1 (, )21(, )0(max21max)(10fffxxfx 41)21()21()()(121210101dxxdxxdxxfxf121)21()()(21102211022dxxdxxfxf （3）nmnmnmxnmnmnmmfffx

4、xxf)()(, ) 1 (, )0(max)1 (max)(10)!1(!)1 ()(10101nmnmdxxxdxxffnm)0 ,0( )1 (),(1011qpdxxxqpbqp 性质1 对称性 ),(),(pqbqpb2 递推公式 ) 1,(11),(1, 0qpbqpqqpbqp有事实上，由分部积分公式，有1, 0qp )1 ( )1 (),(1011011pxdxdxxxqpbpqqpdxxxpqxpxqpqp1021)1 (101)1 (dxxxxxpqqpp21011)1 ()1 (1dxxxpqdxxxpqqpqp10111021)1 (1)1 (1),(1) 1,(1qp

5、bpqqpbpq ) 1,(11),(qpbqpqqpb即由对称性) 1,(11),(0, 1pqbqpqqpbqp有特别是,nnnq 逐次应用递推公式，有 )2,()2)(1()2)(1() 1,(11),(npbnpnpnnnpbnpnnpb) 1()2)(1() 1 ,()!1(pnpnppbn即而pdxxpbp1) 1 ,(101) 1() 1()!1(),(npppnnpb特别 当有),(,nnmnqmp )!1()!1()!1() 1() 1()!1(),(nmmnnmmmnnmb21211022211022)!122()!2()!2()1 ()(nmnmdxxxdxxffmm2(

6、 )1xx )(xn8、对权函数，区间-1,1，试求首项系数为1的正交多项式3 , 2 , 1 , 0,n解：定义内积 11( , )( ) ( ) ( )f gf x g xx dx000010000(,)0( )1, 0, ( )()(,)8/ 3xxxxx 52 3/815/16 ),(),( , 015/160),(),(0011111111x52)()(201112xxx7017 15/16525/136 ),(),( , 0525/1360),(),(1122222222xxxxx149)()(31222312、设 ,1 , 0, 23)(2xxxxf )(xf 1 , 0试求在上

7、关于 ( )1,1,xspanx的最佳平方逼近多项式，若取 2, 1 xxspan那么最佳平方逼近多项式是什么？ 解：设所求最佳平方逼近多项式为xaaxs10*1)(，定义内积为 dxxpxgxfgf)()()(),(10则,)(, 1)(10 xxx 211),( , 11 . 1),(10101000 xdxdx623)23(),( , 31),(102010211dxxxfdxx49)23(),(1021dxxxxf 从而该方程组为 49623312121110aa4,61110aa 故所求最佳平方逼近多项式为6114)(*1xxs，则得若取2, 1xxspan 2210*2)(xaxa

8、axs31),(,21),(, 1),(102201000dxx 则112310111200111( ,), ( ,), ( ,)234x dxx dx 202122111(,), (,), (,)345 6097)23(),( ,49),( ,623)23(),(102221020dxxxxffdxxf 从而该方程组为 1, 3, 2a ,60974962351413141312131211310210aaaaa23)(2*2xxxs故3)(xxf( )1x13、求在-1,1上关于的最佳平方逼近二次多项式。32),(, 0),(, 2),(1122011101100dxxxdxdx 解0),

9、( ,32),( , 0),(113211121101dxxdxx52),( , 0),( ,32),(114221202dxx0),( ,52),( , 0),( 115211411130dxxfdxxfdxxf0,53, 0 05205203203203202210210aaaaaaxxf2sin)(15、佳平方逼近多项式。 在-1,1上按勒让德多项式展开求三次最解：)(xf按勒让德多项式展开即 )()()()(2*21*10*0 xpaxpaxpaxfdxxpxfkpppfakkkkk11*)()(212),(),(其中xxxpxxpxxpxp2325)( ),13(21)( ,)( ,

10、 1)(33221011*002sin21xdxa故2158542. 1122sin212112*1xdxxa 112*20) 13(212sin25dxxxa2248914. 0)10(168)2325(2sin2711223*3dxxxxa )()()(3*31*1*3xpaxpaxs31.55319130.5622285xx故所求三次最佳平方逼近多项式为 1111112cos222sin22sinxxdxxdxxdxxxdxdxxxx22cos42cos2112cos211211228112sin4x16、观测物体的直线运动，得下表时间t/s00.91.93.03.95.0距离s/m01

11、0305080110求运动方程。解：经描图发现t与s近似服从线性规律，故做线性模型 , 1,sabtspant计算离散内积有 61) 1 , 1 (502j63.53),( , 7 .14), 1 (50250jjjjttttt 1078),( ,280), 1 (5050jjjjjststss求解该方程组得 107828053.6314.714.76ba22.253761b 855048. 7a22.253761t 855048. 7s222101 . 2)(25jjtss运动方程为 平方误差 17、已知实验数据如下：xi19 25 31 38 44yi19.0 32.3 49.0 73.3 97.8用最小二乘法求形如 的经验公式，并计算均匀误差。解：2, 1 xspan计算离散内积2yabx5327), 1 (