初等变换与初等矩阵ppt课件

1、1第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换三、初等矩阵三、初等矩阵四、等价四、等价五、利用初等变换求逆矩阵五、利用初等变换求逆矩阵二、行阶梯形与规范形二、行阶梯形与规范形2第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 所谓矩阵的初等变换来源于对线性方程组的同解变换。所谓矩阵的初等变换来源于对线性方程组的同解变换。 前面几节主要引见了矩阵与矩阵之间以及矩阵与前面几节主要引见了矩阵与矩阵之间以及矩阵与(实实)数数之间的代数运算关系。之间的代数运算关系。 本节那么主要引见矩阵内部元素与元素之间

2、、行与行之间本节那么主要引见矩阵内部元素与元素之间、行与行之间以及列与列之间的操作关系。以及列与列之间的操作关系。3第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:( (记为记为 ) )kri ( (记为记为 ) )jirkr 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换( (记为记为 ) )jirr (1) 交换交换 (或对调或对调) 两行；两行；(3) 某行的某行的 k 倍加到另一行上。倍加到另一行上。(2) 将某行将某行 k 倍倍 ；)0( k矩阵的行初等变换与列初等变换统称为初等变换矩阵的行初等变换与列初等变换统称为初等变换同样可定义列初

3、等变换同样可定义列初等变换 (所用记号是把所用记号是把“r换成换成“c) .定义定义“ 衔接，不可用衔接，不可用“ = 衔接。衔接。留意留意对矩阵进展初等变换时，所得矩阵和原矩阵之间用对矩阵进展初等变换时，所得矩阵和原矩阵之间用4第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵例例利用初等变换利用初等变换“化简矩阵化简矩阵 264202642012600033221 000002642012600033221 00000126000264203322112)2(rr 13rr 34)1(rr 32rr 5第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵 00000126000264203322143cc 0000

4、0210001321033221 000000100000010000011)1(r 2)2/1(r3)6/1(r21)2(rr 32)3(rr 31)3(rr 132cc 15)7(cc 23)2(cc 255cc 45)2(cc 记为记为.0003 I 00000001000001000001 000002100050210702016第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与规范形二、行阶梯形与规范形1. 行阶梯形行阶梯形称矩阵称矩阵 A 为行阶梯形，假设满足如下条件：为行阶梯形，假设满足如下条件：(1) 假设假设 A 有零行，那么零行位于最下方。有零行，那么零行位于最下方。(

5、2) 每个非零行的第一个非零元每个非零行的第一个非零元(即非零首元即非零首元)的列号的列号定义定义严厉大于上一行的非零首元的列号严厉大于上一行的非零首元的列号 .7第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵,30002100 .00000380002642059713 二、行阶梯形与规范形二、行阶梯形与规范形1. 行阶梯形行阶梯形 00000022101003075312而而 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵 .以下矩阵都是阶梯形矩阵：以下矩阵都是阶梯形矩阵：,200010003 例如例如8第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与规范形二、行阶梯形与规范形1. 行阶梯形行阶梯形2. 行规范

6、形行规范形称矩阵称矩阵 A 为行规范形，假设满足如下条件：为行规范形，假设满足如下条件：(1) A 为行阶梯形；为行阶梯形；(2) 每个非零行的非零首元为每个非零行的非零首元为 1 .定义定义(3) 每个非零行的非零首元所在列的其他元素全为每个非零行的非零首元所在列的其他元素全为 0 .矩阵矩阵 为行规范形为行规范形 .例如例如 000003100020410507019第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与规范形二、行阶梯形与规范形1. 行阶梯形行阶梯形2. 规范行阶梯形规范行阶梯形3. 规范形规范形称矩阵称矩阵 A 为规范形为规范形, 假设假设 A 的左上角为单位阵的左上角为

7、单位阵, 其他的其他的定义定义 000rIA元素全为元素全为 0，即即.0000000000001000001000001 10第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与规范形二、行阶梯形与规范形1. 行阶梯形行阶梯形2. 规范行阶梯形规范行阶梯形3. 规范形规范形4. 结论结论(1) 对于任何矩阵，经过初等行变换总可以变为行阶梯形；对于任何矩阵，经过初等行变换总可以变为行阶梯形；(2) 进一步，经过初等行变换总可以变为行规范形；进一步，经过初等行变换总可以变为行规范形；(3) 更进一步，经过初等变换总可以变成规范形更进一步，经过初等变换总可以变成规范形 . 下面从另一个角度来认识初

8、等变换，下面从另一个角度来认识初等变换，变为对矩阵的运算。变为对矩阵的运算。并把对矩阵的操作并把对矩阵的操作11第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵引例引例 987654321100001010 987321654 100001010987654321 978645312 单位阵单位阵交换两行交换两行左乘矩阵左乘矩阵 矩阵被矩阵被交换两行交换两行 单位阵单位阵交换两列交换两列右乘矩阵右乘矩阵 矩阵被矩阵被交换两列交换两列12第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵单位矩阵单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初

9、等变换对应着三类初等矩阵三种初等变换对应着三类初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵定义定义(1) 交换单位矩阵的两行交换单位矩阵的两行 (列列)；(3) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) 的的 k 倍加到另一行倍加到另一行 (列列) 上。上。(2) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) k 倍倍 ；)0( k13第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵,10111101, jiR三、初等矩阵三、初等矩阵(1) 交换单位矩阵的两行交换单位矩阵的两行 (列列)；第第 i 列列第第 j 列列第第 i 行行第第 j 行行1. 三类初等矩阵三类初等矩阵.,jijiRC 14第二章 矩阵2.5 初等变换

10、与初等矩阵,1111)( kRki三、初等矩阵三、初等矩阵(1) 交换单位矩阵的两行交换单位矩阵的两行 (列列)；1. 三类初等矩阵三类初等矩阵(2) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) k 倍倍 ； )0( k第第 i 列列第第 i 行行.)()(kikiRC 15第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵(1) 交换单位矩阵的两行交换单位矩阵的两行 (列列)；1. 三类初等矩阵三类初等矩阵(2) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) k 倍倍 ；)0( k,1111)( kRkji(3) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) 的的 k 倍加到另一行倍加到另一行

11、(列列) 上。上。第第 j 行行第第 i 行行第第 i 列列 第第 j 列列.)()(kjikijRC 16第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵(1) 对对 A 施行一次初等行变换，施行一次初等行变换，三、初等矩阵三、初等矩阵1. 三类初等矩阵三类初等矩阵2. 初等矩阵的作用初等矩阵的作用定理定理设设 A 是一个是一个 阶矩阵，阶矩阵，nm (2) 对对 A 施行一次初等列变换，施行一次初等列变换，证明证明( (略略) )注注孤立地看一个初等阵，它既可以是一个行初等阵孤立地看一个初等阵，它既可以是一个行初等阵, 又可以又可以是一个列初等阵。是一个列初等阵。因此关键是要看它乘在矩阵的哪一边。因

12、此关键是要看它乘在矩阵的哪一边。相当于在相当于在 A 的左边乘以的左边乘以相应的相应的 m 阶行初等矩阵；阶行初等矩阵；相当于在相当于在 A 的右边乘以的右边乘以相应的相应的 n 阶列初等矩阵。阶列初等矩阵。17第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵1. 三类初等矩阵三类初等矩阵2. 初等矩阵的作用初等矩阵的作用结论结论(1) 任何矩阵左乘一系列行初等阵总可以变为行阶梯形任何矩阵左乘一系列行初等阵总可以变为行阶梯形;(2) 进一步左乘一系列行初等总可以变为行规范形；进一步左乘一系列行初等总可以变为行规范形；(3) 更进一步右乘一系列列初等总可以变成规范形更进一步右乘一系

13、列列初等总可以变成规范形 .这里所说的这里所说的 “变为变为 不再是不再是 “ 而是而是 “ = 。留意留意18第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵 jijiRR？I ，三、初等矩阵三、初等矩阵1. 三类初等矩阵三类初等矩阵2. 初等矩阵的作用初等矩阵的作用3. 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵 慕容复慕容复斗转星移术斗转星移术以彼之道以彼之道还施彼身还施彼身 )()/1(kikiRR？I ， )()(kjikjiRR？I ，;1jijiRR ;)/1(1)(kikiRR .)(1)(kjikjiRR 对列初等阵有类似的结果。对列初等阵有类似的结果。 可见，初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩

14、阵。可见，初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。19第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵那么称矩阵那么称矩阵 B 为为 A 的等价规范形的等价规范形 .四、等价四、等价定义定义(1) 假设矩阵假设矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵 B，记作记作.BA 性质性质(1) 反身性，反身性，(2) 对称性，对称性，(3) 传送性，传送性，;AA 即即假设假设那么那么,BA ;AB 那么那么.CA 假设假设,BA ,CB 与与 B 等价，等价，(2) 假设矩阵假设矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵,000 rIB1. 等价的定义与性质等价的定义与性质等价

15、等价类似类似合同合同那么称那么称 A20第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵四、等价四、等价1. 等价的定义与性质等价的定义与性质2. 关于可逆方阵的几个结论关于可逆方阵的几个结论定理定理(3) 仅用初等行变换就可以将仅用初等行变换就可以将 A 化为单位矩阵化为单位矩阵.(2) A 一定可以表示成一些初等矩阵的乘积；一定可以表示成一些初等矩阵的乘积；(1) A 一定等价于单位矩阵；一定等价于单位矩阵；设设 A 为为 n 阶可逆方阵，那么阶可逆方阵，那么21第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵证明证明,000 rItsQQQAPPP2112.2112IQQQAPPPts 即即 A 一定可以表

16、示成一些初等矩阵的乘积一定可以表示成一些初等矩阵的乘积 .(1) 一定存在初等矩阵一定存在初等矩阵 和和 使得使得sPPP,21tQQQ,21由由 A 可逆且初等矩阵可逆有可逆且初等矩阵可逆有,nr 即得即得,1112111211 QQQIPPPAts(2) 由上式可得由上式可得即仅用初等行变换就可以将即仅用初等行变换就可以将 A 化为单位矩阵化为单位矩阵.(3) 由由 可得可得1112111211 QQQIPPPAts,1221IAPPPQQQst 22第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵例例 010102001A将矩阵将矩阵 表示成有限个初等初阵的乘积。表示成有限个初等初阵的乘积。,01

17、01000013,2 R.100012001)2(12 R解解IRRRRA)1(2)1(33,2)2(12 ,)1(2)1(33,2)2(12 RRRR,100010001)1(3 R,100010001)1(2 R其中其中23第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵四、等价四、等价1. 等价的定义与性质等价的定义与性质2. 关于可逆方阵的几个结论关于可逆方阵的几个结论3. 对于普通矩阵的几个结论对于普通矩阵的几个结论定理定理(1) 设设 A, B 为为 mn 矩阵，那么矩阵，那么 A 和和 B 等价的充要条件是等价的充要条件是存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩

18、阵 Q，PAQ = B .(2) 对于矩阵对于矩阵 Amn , 一定存在可逆矩阵一定存在可逆矩阵 , nnmmQP ,.000 rIPAQ( (可作为矩阵等价的另一种定义可作为矩阵等价的另一种定义) )使得使得使得使得24第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵五、利用初等变换求逆矩阵五、利用初等变换求逆矩阵,121IAPPPPll ,1121 AIPPPPll设设 A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，那么仅用初等行变换就可以将那么仅用初等行变换就可以将 A 化为化为)(121IAPPPPll . )(1 AI即即1. 原理原理即存在初等矩阵即存在初等矩阵 ，使得，使得lPPP,21单位矩阵单位矩阵.n

19、eee,21求解系数阵为求解系数阵为 A, 右端项分别为右端项分别为的的 n 个线性方程组个线性方程组思索思索它与它与有何联络？有何联络？IAP 1 AIP)(IAP)(1 AI25第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵五、利用初等变换求逆矩阵五、利用初等变换求逆矩阵1. 原理原理2. 方法方法对矩阵对矩阵 施行一系列初等行变换，施行一系列初等行变换，)(IA当把当把 A 变成变成 I 时，原来的时，原来的 I 就变成了就变成了.1 A注注利用初等行变换求逆矩阵时，不用先判别矩阵能否可逆；利用初等行变换求逆矩阵时，不用先判别矩阵能否可逆；在作变换的过程中，假设出现零行，在作变换的过程中，假设出现零行， 那么那么 A 不可逆。不可逆。可否利