线性代数课件吕丹43

1、第三节第三节 向量组的秩向量组的秩一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系四、四、 小结小结 思考题思考题 作业作业三、三、 向量组秩的重要结论向量组秩的重要结论，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rraa , 21定义定义线线性性无无关关；）向向量量组组（ra ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rara. 的的秩秩称称为为向向量量组组数数最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个r; 0）（简简称称的的一一个个向向量量

2、组组是是那那末末称称向向量量组组aa最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组0. 它的秩为它的秩为有最大无关组，规定有最大无关组，规定只含零向量的向量组没只含零向量的向量组没一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组. 它的行向量组的秩它的行向量组的秩量组的秩，也等于量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向矩阵的秩等于它的列向证证. 0,)(),( 21 rmdrraraaaa阶子式阶子式并设并设，设设定理定理关；关；列线性无列线性无知所在的知所在的由由定理定理根据根据rdr022 . 4 .11 个列向量都线性相关个列向量都线性相关中任意中任意阶子式均为零，知阶子式均为零，知中

3、所有中所有又由又由 rara关组，关组，的列向量的一个最大无的列向量的一个最大无列是列是所在的所在的因此因此ardr . r等于等于所以列向量组的秩所以列向量组的秩).(ara的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于类似可证类似可证二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系的秩也记作的秩也记作向量组向量组maaa,21. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rdrdadrrr;1）最大无关组不唯一）最大无关组不唯一

4、（),(21maaar结论结论说明说明.2关组是等价的关组是等价的）向量组与它的最大无）向量组与它的最大无（是线性无关的，是线性无关的，向量组向量组维单位坐标向量构成的维单位坐标向量构成的因为因为neeeen,: 21解解. 的秩的秩一个最大无关组及一个最大无关组及的的，求，求作作维向量构成的向量组记维向量构成的向量组记全体全体nnnrrrn例1例1个向量都线性相关，个向量都线性相关，中的任意中的任意知知的结论的结论定理定理又根据又根据1 )3( 32 . 4 nrn. nrrenn的秩等于的秩等于的一个最大无关组，且的一个最大无关组，且是是因此向量组因此向量组 979634226441211

5、21112 a设矩阵设矩阵 例2例2.用最大无关组线性表示用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量属最大无关组的列向量无关组，并把不无关组，并把不的列向量组的一个最大的列向量组的一个最大求矩阵求矩阵a行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 a解解，知知3)( ara ， 00000310000111041211初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首421.,421无关组无关组为列向量组的一个最大为列向量组的一个最大故故aaa线性无关线性无关，故，故知知421

6、421,3),(aaaaaar ., 42153成行最简形矩阵成行最简形矩阵再变再变线性表示，必须将线性表示，必须将用用要把要把aaaaaa ),421aaa（事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 00000310003011040101 初等行变换初等行变换a 4215213334,aaaaaaa 即得即得. 的秩的秩的秩不大于向量组的秩不大于向量组量组量组线性表示，则向线性表示，则向能由向量组能由向量组设向量组设向量组abab., : ,: 1010sraaaabbbbsr 要证要证的一个最大无关组为的一个最大无关组为向量组向量组，的一个最大

7、无关组为的一个最大无关组为设向量组设向量组 证证定理定理. 00组线性表示组线性表示组能由组能由表示，表示，组线性组线性组能由组能由组线性表示，组线性表示，组能由组能由因因aaabbb.00组线性表示组线性表示组能由组能由故故ab使得使得即存在系数矩阵即存在系数矩阵),(ijsrkk 三、向量组秩的重要结论三、向量组秩的重要结论 srsrsrkkkkaabb111111),(),(），），有非零解（因有非零解（因简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果rskrkxxxksrrsr )( )0( 0 1有非零解，有非零解，从而方程组从而方程组0),( 1 kxaas有非零解，有非零解，即即0),

8、( xbbr. 0srsrb 不能成立，所以不能成立，所以线性无关矛盾，因此线性无关矛盾，因此组组这与这与. rsba和和的秩依次为的秩依次为与向量组与向量组设向量组设向量组证证. 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等推论推论1 1,同时成立同时成立与与故故srrs 示，示，表表两个向量组能相互线性两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即因两个向量组等价，即. rs 所以所以).()(),()( brcrarcrbacnssmnm ，则，则设设推论推论2 2用其列向量表示为用其列向量表示为和和设矩阵设矩阵ac 证证).,(),(11snaaaccc ，而而)(ijbb snsnsnbbbb

9、aacc111111),(),( 由由).()(arcr 因此因此),()(, tttttbrcrabc 由上段证明知由上段证明知因因的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，的列向量组能由的列向量组能由知矩阵知矩阵ac).()(brcr 即即思考思考？有什么异同有什么异同与推论与推论定理定理 22, rrb个向量，则它的秩为个向量，则它的秩为含含设向量组设向量组 证证. 3的一个最大无关组的一个最大无关组是向量组是向量组则向量组则向量组线性表示，线性表示，能由向量组能由向量组线性无关，且向量组线性无关，且向量组组组的部分组，若向量的部分组，若向量是向量组是向量组设向量组设向量组推论推论abba

10、bab.1条件条件所规定的最大无关组的所规定的最大无关组的满足定义满足定义所以向量组所以向量组b，组的秩组的秩组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因raba 个向量线性相关，个向量线性相关，组中任意组中任意从而从而1 ra., 等价等价与向量组与向量组秩相等，证明向量组秩相等，证明向量组且它们的且它们的线性表示线性表示能由向量组能由向量组设向量组设向量组baab例3例3.线性表示线性表示能由向量组能由向量组只要证明向量组只要证明向量组ba,:,:1010rrbbbaaabar和和的最大无关组依次为的最大无关组依次为组组组和组和，并设，并设设两个向量组的秩都为设两个向量组的秩都为 使使阶方

11、阵阶方阵表示，即有表示，即有组线性组线性组能由组能由组线性表示，故组线性表示，故组能由组能由因因rkrabab00证一证一rrrkaabb),(),(11 rbbrkrrr ),()( 221，有，有推论推论根据定理根据定理.),(10rbbrbr 组线性无关，故组线性无关，故因因.)()(rkrrkrrr ，因此，因此但但,),(),(111 rrrrkbbaak 可逆，并有可逆，并有于是矩阵于是矩阵.00组线性表示组线性表示组能由组能由即即ba. 组线性表示组线性表示组能由组能由从而从而ba,0个向量个向量含含组的最大无关组组的最大无关组故故组的秩为组的秩为又因又因rbbrb .),(,)

12、,(组线性表示组线性表示组总能由组总能由故故组的部分组组的部分组组是组是而而baabaa 证二证二. rba 的秩都为的秩都为和和设向量组设向量组.),(,组线性表示组线性表示能由能由成的向量组成的向量组组合并而组合并而组和组和故故组线性表示组线性表示组能由组能由因因ababaab .),(,),(rbaaba组的秩也为组的秩也为因此因此组等价组等价组与组与所以所以 .),(,),(00组等价组等价组与组与而而从从组的最大无关组组的最大无关组组也是组也是因此因此bbabab .),(;., 000000的最大无关组的最大无关组都是向量组都是向量组与与证法二实质上是证明证法二实质上是证明性表示的

13、系数矩阵可逆性表示的系数矩阵可逆线线用用证法一证明证法一证明等价等价与与们的最大无关组们的最大无关组转换为证明它转换为证明它等价等价与与本例把证明两向量组本例把证明两向量组babaabbaba.,),(),( 0组等价组等价与与组组推知推知等价等价与与组等价，组等价，组与组与由由babbabaa注意注意,59354645),( ,13112032),( 2121 bbaa已知已知例4例4.),(),(2121等价等价与与证明向量组证明向量组bbaa.),(),( ,),(),( ,2 21212121ybbaaxaabbyx 使使阶方阵阶方阵要证存在要证存在证明证明.x先求先求 5913351

14、146204532),(2121bbaa最简形矩阵：最简形矩阵：施行初等行变换变为行施行初等行变换变为行阵阵对增广矩对增广矩的方法的方法类似于线性方程组求解类似于线性方程组求解),(, 2121bbaa 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa31rr 591345324620351131rr 462010155046203511132rr 143rr )2(2 r 46201015502310351113312rrrr 143rr 462010155046203511 0000000023103511)2(2 r 462010155023103

15、511235rr 242rr 0000000023103511235rr 242rr .0000000023101201 21rr 11 r x.,., 01 21211等价等价与与此向量组此向量组因因即为所求即为所求取取可逆可逆知知因因bbaaxyxx 0000000023101201),(2121初等行变换初等行变换bbaa 即得即得 2312最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结四、小结 比较教材例比较教材例7 7的证的证法一、二、三，并总法一、二、三，并总结这类题的证法结这类题的证法思考题思考题证法一根据证法一根据向量组等价的定义向量组等价的定义，寻找两向量，寻找两向量组