高等数学II(微积分龚德恩范培华)31导数的概念课件

1、高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念1微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 导数导数描述函数变化描述函数变化快慢快慢描述函数变化描述函数变化都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从研究函数从研究函数)最早由法国最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton第三章第三章 导数与微分导数与微分高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念23.1 导数的概念第三章第三章 导数与微分导数与微分3.2 求导

2、法则3.3 基本导数公式与高阶导数3.4 函数的微分3.5 导数在经济学中的简单应用高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念33.1 导数的概念导数的概念一、导数产生的背景一、导数产生的背景二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系四、单侧导数四、单侧导数高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念4一、导数产生的背景一、导数产生的背景变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为)(tf

3、s 0t则则 到到 的的平均速度平均速度为为0t0tt v00()( )f ttf tt而在而在 时刻的时刻的瞬时速度瞬时速度为为0t0 lim ty00()( )f ttf tt212sgtso)(0tf0()f tt0tt自由落体运动自由落体运动物理背景物理背景高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念5 LMQLMMQMT曲曲线线在在点点处处点点切切线线为为点点沿沿 曲曲线线趋趋向向点点割割线线的的极极限限位位置置 平面曲线上切线的概念平面曲线上切线的概念LMQT割线割线MQ切线切线MT切点切点曲线的切线斜率曲线的切线斜率数学背景数学背景高等数学

4、高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念6 xyo)(xfy L曲线曲线:( )L yf xNT0 xM在在 M 点处的切线点处的切线0 xx割线割线 M N 的极限位置的极限位置 M T(当当 时时)割线割线 M N 的斜率的斜率tan00()()f xxf xx切线切线 MT 的斜率的斜率tanktanlim0 limxk 00()()f xxf xx高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念7瞬时速度瞬时速度0 limtv 00()( )f ttf tt切线斜率切线斜率0 limxk 00()()f xxf x

5、x所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限 .共性？共性？0limx 函函数数的的增增量量自自变变量量的的增增量量高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念801 ) (yf xx 设设函函数数在在点点的的某某个个邻邻域域内内有有定定定定义义义义，当当自自0( )xxxf x 变变量量在在点点处处取取得得改改变变量量时时, ,函函数数取取得得相相应应改改变变量量00()().yf xxf x 0 x 如如果果当当时时，极极限限0000limlim()()xxf xyxxf xx 0( )yf xx 存存在在，则则称称

6、函函数数在在点点处处，并并称称此此可可导导极极限限值值为为函函0( )yf xx 数数在在点点处处的的导导数数，记记为为0000()()()lim.xf xxf xfxx 0( )f xx如如果果上上式式的的极极限限不不存存在在，则则称称函函数数在在点点处处不不可可导导。二、导数的定义二、导数的定义高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念9由定义求导数（由定义求导数（三步法三步法）);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值 y 若若极极限限存存在在则则记记为为0(3)lim,xyx 求求极极限限高等数学高

7、等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念1022 1yxx求求函函数数在在点点例例处处的的导导数数。22022()limxxx 022()( ) limxfxfx 解解 04limxx 20444limxxxx 4 24 ( )f 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念11001 0,xxxxxx 如如记记，则则即即注注，所所以以0000( )()()lim.xxf xf xfxxx k 0为常数为常数.0()fx 0()fx 如果函数如果函数 f (x) 在点在点 x0 处可导处可导, 反之是否成立？反之是否成立

8、？0000()()limlimxxf xxf xyxx 0()fx 000()()limxf xk xf xk x 000()()limxf xxf xx 0002()()limxf xxf xxx 不成立！不成立！高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念12xyo)(xfy CT0 x0Px0( )yf xx 函函数数在在点点的的导导数数也也可可用用如如注注2 2 下下表表示示法法：000dd ( )|,|,|.ddxxxxxxyf xyxx 0000()3 :( )(,()fxCyf xP xf x 导导数数表表示示曲曲线线在在点点注注的的切切0

9、0PTPT线线的的斜斜率率, ,从从而而切切线线的的方方程程为为: :而而其其法法线线方方程程为为：导数的几何意义导数的几何意义000()()(),yf xfxxx 0001(.()()yf xxxfx 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念13x 轴轴、或、或不存在不存在, 反映出点反映出点 x0 处的导数值也是处的导数值也是三种情况三种情况。 y O x x0 y = c f (x0) = 0 y O x f (x0) = x0 O xyx0 y O x x0f (x0)不存在不存在f (x0)不存在不存在切线平行于切线平行于x 轴：轴：切线垂

10、直于切线垂直于x 轴：轴：无切线无切线：无切线无切线：曲线曲线 y = f (x) 在点在点 x0 处的切线可能处的切线可能平行于平行于x 轴轴、垂直于垂直于 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念1400d4 dx xyyxxx 导导数数| |称称为为变变量量对对变变量量在在点点的的注注变变化化率率, ,它它表表示示函函数数值值的的变变化化相相对对于于自自变变量量的的变变化化的的快快慢慢。瞬时速度瞬时速度0 limtv 00()( )f ttf t切线斜率切线斜率0 limxk 00()()f xxf xx类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角

11、速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是是速度增量速度增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是转角增量转角增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限是是质量增量质量增量与与长度增量长度增量之比的极限之比的极限是是电量增量电量增量与与时间增量时间增量之比的极限之比的极限变化率问题变化率问题高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念15 ( )2yf xI 如如果果函函数数在在开开区区间间 中中的的每每一一定定义义点点都都可可导导，则则( ),f xIxI 称称函函数数在在区区间间 上上可可导导。这这时时，对对每每一一个个0()( )( )lim

12、.xf xxf xfxx ( )()fxxII 可可以以看看成成是是定定义义在在 上上的的一一个个新新的的函函数数，称称它它为为( )f xyx原原来来的的函函数数的的( (简简称称) )，也也可可以以说说成成函函数数导导数数对对导导的的dd,dd(dd)ddyfyxxyf xxx 导导数数，并并记记作作或或或或也也可可记记作作，或或。ddddd1ddd yfxyxxxxy注注 或或是是一一个个整整体体， 表表示示对对 求求导导，表表示示 作作为为xx的的函函数数对对求求导导。高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念16( )2 yf xI 如如果果

13、函函数数在在开开区区间间 中中的的每每一一点点都都定定义义可可导导，则则( ),f xIxI 称称函函数数在在区区间间 上上可可导导。这这时时，对对每每一一个个0()( )( )lim.xf xxf xfxx ( )()fxxII 可可以以看看成成是是定定义义在在 上上的的一一个个新新的的函函数数，称称它它为为( )f xyx原原来来的的函函数数的的( (简简称称) )，也也可可以以说说成成函函数数导导数数对对导导的的dddd,( )ddddyfyyf xxxxx 导导数数，并并记记作作或或或或也也可可记记作作，或或。000( )()( )2 f xxfxfxx 在在点点的的导导数数就就是是导

14、导函函数数在在点点注注的的值值，0000.d()( )|()|dx xx xyfxfxy xx 即即或或 先求导、后代值！先求导、后代值！高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念17 ( )2() f xC 求求函函数数常常数数例例的的导导数数。解解:0limxCCx 0即即()0C xxfxxf)()(0limx 通常说成：通常说成：常数的导数为零常数的导数为零.,xR高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念180sin()sinlimxxxxx 练习练习 求函数求函数xxfsin)(的导数的导数. 解解

15、:()()fxxfxx 0limx 0limx 22cos()xx 2sinx 02lim cos()xxx 22sinxx xcos即即(sin)cosxx 类似可证得类似可证得(cos)sinxx x 和差化积和差化积等价无穷小等价无穷小02lim cos()xxx 或重要极限或重要极限高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念19 ( )3(nf xxnZ 求求幂幂函函数数例例的的导导数数。0()lim nnxxxxx0limxyx 011lim nnxxxxx110lim nnxnxnx1 () nnxnx等价无穷小代换等价无穷小代换解解:0l

16、im nxxxnxx高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念20例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x x1 11 x 0 x11 () ()xxR 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念21 (0,1)xyaaa 求求指指数数函函数数例例4 4的的导导数数。00limlimxxxxxyaaxx 0lnlimxxxaax 01limxxxaax lnxaa()lnxxaaa ()xe 解解:(4 )x()bxa() lnb xbaalnbxbaa4 ln4x() )b xa

17、( 0 )ab、为为常常数数等价无穷小代换等价无穷小代换 xe高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念22 log(0,0 )ayx ax 求求对对练练习习数数函函数数的的导导数数。lnloglnaxyxa0log ()log limaaxxxxx 1 (log) lnaxxa0ln 11limlnxxxax 1lnxa等价无穷小替代等价无穷小替代故故解解:(ln )x 01limlnxxxax 1 x高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念23 ( ) f xxa 设设函函数数在在例例5 5点点可可导导，

18、且且01lim(2 )( )4hhf ahf a ( )fa 求求。fa12( ) 000001limlim(2 )( )(2 )( )11limlim(2 )( )(2 )( )22221(2 )( )2lim2hhhhhhf ahf af ahf ahf ahf af ahf ahhf ahf ah （）（）解解 14 fa( )2 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念24三、导数的几何意义三、导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为0tan()fx高等数学高等数学II(微

19、积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念2520 (3,9)yxP 求求抛抛物物线线在在点点处处的的切切线线方方程程例例6 6和和法法线线方方程程。解解:2()yx 2x 36 ,xy 963()yx 即即69yx故点故点 (3 ,9) 的切线方程为：的切线方程为：1936()yx 即即6570+-xy 点点 (3 ,9) 的法线方程为：的法线方程为：高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念261 :450yL xyx 求求双双曲曲线线的的平平行行于于直直线线例例7 7的的切切线线方方程程。解解:1()yx 21x 450:L x

20、y 所所求求切切线线平平行行于于直直线线20114x 14:k 切切线线斜斜率率1111点点(2, )(-2,-)(2, )(-2,-)的的切切线线方方程程分分别别为为：222211224yx （）440 xy整整理理得得：02x 11224+yx （）440 +xy高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念27000( )(,3 )yf xxxx 设设函函数数在在点点及及其其一一个个左左( (右右) )邻邻域域定定义义00(,)xx 有有定定义义，如如果果极极限限-+000000()()()()lim( lim)xxf xxf xf xxf xxx

21、0( )f xx存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数在在点点左左( (右右) )导导的的数数，记记作作00(),()()fxfx 所所以以-0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx +0000000()()( )()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 00( )( )f xxf xx 函函数数在在 点点可可导导 在在点点 的的左左、右右导导数数存存定定理理在在且且相相等等。四、四、 单侧导数单侧导数高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念28(| ) |yf xx 求求绝

22、绝对对值值函函数数例例8 8的的导导数数。xyoxy0,x 当时1( ),fx 0,x 当时( )1,fx0,x 当时00(0)limxxfx 1, 00(0)limxxfx 1, 0( )f x在在 点点不不可可导导1,0( ).1,0 xfxx,0,( ),0,xxf xxx 连续不一定可导！连续不一定可导！判断可导性判断可导性:用导数定义！用导数定义！高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念2921,1, ( ) ( )2 ,1,xxf xfxxx 若若设设求求例例若若9 9。解解1,x 当当时时2( ),fxx 1,x 当当时时( )2,fx

23、1,x 当当时时20(1)1 2(1)limxxfx 2, 02(1)2(1)limxxfx 2, 12( ).f 2 ,1( ).2,1xxfxx202limxxxx 高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念3000()()0fxfxx 从从导导数数的的定定义义可可知知, ,如如果果导导数数存存在在, ,则则当当时时必必有有0( )f xx即即函函数数在在点点连连续续。000( ) ( )f xxf xx函函数数在在点点连连续续在在点点注注可可导导。逆否命题是？逆否命题是？00()()yf xxf x 00( )( )f xxf xx在在点点不不连

24、连续续在在点点不不可可导导。五、函数的可导性与连续性的关系五、函数的可导性与连续性的关系可导必连续！可导必连续！高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念3121,0, (0,10)03 ,xxg xxxx 判判断断分分段段函函数数在在点点例例是是否否可可导导。00 xx判判断断在在点点是是否否可可导导应应先先判判断断注注 分分段段其其在在函函数数点点是是否否连连续续，若若不不连连续续则则必必不不可可导导，若若连连续续，则则还还需需要要判判断断其其左左右右导导数数是是否否相相等等。解解(0)0g xxxxg xxg xx00200lim( )lim 3

25、0lim( )lim (1)1 g x( )0在在 点点不不连连续续g x( )0在在 点点不不可可导导高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念32 f (x) 在 x = 0 处可导,从而 f (x) =1 + bx, x0e x, x 0f (0) = 1 f (x) 在 x = 0 处连续, f (0) = a .00 lim( )lim1 , 1 . xxxf xea又又故故设a + bx, x0求 a, b 之值.e x, x 0y =在 x = 0 可导,例例11.解解:高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念33由可导性：故 b = 1, 此时函数为f (x) =1 x , x 0e x, x 000(0)(0)1limlimxxxfxfexx 00(0)(0)(1) 1limlimxxfxfb xbxx 0lim1xxx . 1 , 1ba高等数学高等数学II(微积分龚德恩范培华微积分龚德恩范培华)31导导数的概念数的概念3