高等数学同济大学第优秀课件

1、高等数学同济大学第优秀一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu2. 2. 函数的求导法则函数的求导法则高等数学同济大学第优秀证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvh

2、xvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvhxvxuxvxuxvxuxvhxuh)()()()()()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 高等数学同济大学第优秀2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxfhxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 高等数

3、学同济大学第优秀推论推论. )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ).()()()()()()()()( )()3(2121211xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfnnnnii .)()()(2xfxfCxfC 高等数学同济大学第优秀例例1 1.sin223的的导导数数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx .)(ln2sinln)2(sin xxx

4、xy两个函数之积两个函数之积高等数学同济大学第优秀例例3-13-1.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyx2cos xxx222cossincos xx22seccos1 xx2sec)(tan xx2csc)(cot 同理可得同理可得即即xx cos)(sin )(cossin xx高等数学同济大学第优秀.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxy.tansecxx xx2cossin xxxcotcsc)(csc 同理可得同理可得xx2cos)(cos xxxtansec)(sec 即即例例3-23-2 求曲线求曲线 上与上与 轴平行的切

5、线方程轴平行的切线方程.32xxy x解解0322 令令由由于于xy32,3221 xx切点为切点为)964,32()964,32( 故所求的切线方程为故所求的切线方程为:964 y.964 y与与例例4 4高等数学同济大学第优秀记记内内单单调调且且连连续续在在某某邻邻域域知知存存在在反反函函数数连连续续定定理理由由题题设设及及反反函函数数存存在在与与.)(,xIxfy 二、反函数的导数二、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数

6、数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证.lim0 xyx 需考察极限需考察极限反反 )()(xfxxfy ,xIx 现现任任取取0 xx 以以增增量量给给),(xIxx 原原 )()(yyyx 高等数学同济大学第优秀的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 00 yx 于是有于是有,1yxxy . 00,)(yxxf 时时当当连连续续性性由由得得的的极极限限两两端端取取又又,0, 0)( xy .)(1)(yxf 即即xyx 0limyxy 0lim1)(1)()(lim10yyyyyy xxfxxfxfx )()(lim)(0高等数学同济大学第优

7、秀例例5-15-1.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 ,1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 211)(arccosxx 同理可得同理可得211)(arctanxx )(arcsin x211)cot(xxarc 211)(arcsinxx 即即高等数学同济大学第优秀例例5-25-2.)0(log的导数的导数求函数求函数 xxya, 0ln)( aaayy且且,), 0(内内有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln

8、1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地xx1)(ln axxaln1)(log 即即高等数学同济大学第优秀三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(xufdxdyxxfyxuufyxxu 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)

9、(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 )()()(;xxfxfuyydxdududydxdyxux 多多种种表表示示式式高等数学同济大学第优秀证证因因而而有有可可导导在在点点,)()1(uufy )0lim()(0 uufuy即即(*)(uuufy 得得的的极极限限式式两两端端取取在在,0(*)x ).()(xuf 0limlim00 ux, 0)()()()( ufufufuufy ,0时时但但当当 u 得得乘乘上上式式两两端端用用时时当当,0uu )(lim0ufuyu .(*)式式成成立立仍仍使使)()(?xxxu 得得式式两两端端除除用用,(*

10、)0)2( x (*)(xuxuufxy ,)()3(故故连连续续可可导导xu xuxuufxuxuufxyxxxxx 00000limlimlim)()(limlim .证证毕毕, 0 xx 一一增增量量给给有有增增量量相相应应地地)(xu 有有增增量量)(xfy )()(xfxxfy ),()(ufuuf ),()(xxxu ?lim0 xyx 高等数学同济大学第优秀例例6 6.的的导导数数求求shxy 解解 )(21)( xxeeshxy xe(21.chx 同理可得同理可得shxchx )(chxshx )()(xe xchxshxchchxshx222)( xch21 )( thx

11、)1(ln()(2xxarshx)11(2xx 221)1(xxxx 211xx xchthx21)( 2211)1(ln(xxx 211x 高等数学同济大学第优秀例例7 7 求下列函数的导数求下列函数的导数;sinln)1(xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy u1xxsincos xcot xcos. )0(arcsin22)2(222 aaxaxaxy的的导导数数求求函函数数解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222xaa .22xa 222222222)()(xaxxaxaxa 2221)(1)()(arcsinxaaxaxax 2221xa 22

12、221xax 高等数学同济大学第优秀.)1()3(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx.)2(21ln)4(32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx.)5(1sin的的导导数数求求函函数数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 高等数学同济大学第优秀.)6(1的的导导数数求求函函数数xxy 解解)(ln1 xxey)1ln(221xxxxx )ln1(

13、ln1 xxexx.)(),(,ln)(sin)(sin)7(222有有连连续续的的导导数数其其中中xgxfxxgxfy )(sin22xfy ln)(cos2xxg)1)(2(ln)(cos)(sin)(sin2sin22222xxgxxxgxfxfx )(sin22xf解解 ln)(sin2 xxg )(sin2xfxxcossin2 )(2xgx2）x1 )ln1 (21xxx 高等数学同济大学第优秀;)()(22xuufxf 左左 )()(22 xfxf勿勿混混淆淆：切切)()(xufdxdyxu 链链式式法法则则中中).(2)()( )(2222xfxxufxfxu 右右 .)()(

14、00 xfxf与与区区分分 xxf)( ).()(xxf 高等数学同济大学第优秀四、基本求导法则与求导公式四、基本求导法则与求导公式xx tansec1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxcotcsc axln1)0(1 xx0 xcosx2sec1 xxsin x2csc aaxlnxe )(C )(x )(xa )(xe )(log xa )(ln x )(sin x )(cos x )(cot x )(tan x )(sec x )(cscx211x )(arcsin x211x )(arctan x )(arccos x211x )cot(xarc211x 高

15、等数学同济大学第优秀2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（2）vuvuuv )(, （3）)0()(2 vvvuvuvu.（1） vuvu )(, 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. .注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.uccu )( ( 是常数是常数) )C.2vvc

16、vc 高等数学同济大学第优秀例例.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy )(21121xxxxxxx )211(21121xxxxxx.812422xxxxxxxxxx 高等数学同济大学第优秀例例.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解 )(sin1nnnxnfy )(sin1nnxn nxcos).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn )(sinnnxf )(sinnx 1 nnx)()(),10(:xfxaxaeefyaxaxyxaa 求求函函数数的的导导数数?,33)(2分分别别是是则则是是可可

17、导导函函数数设设baxbaxxxxf .0)(,0001arctan)(2处处的的连连续续性性在在讨讨论论设设 xxfxxxxxfxaxeln 高等数学同济大学第优秀 .,0,0,1sin32xfxxxxxxf 并并求求出出内内的的连连续续性性与与可可导导性性，在在七七、研研究究函函数数 ,11cos1sin2,022 xxxxxxfx时时 ,3,02xxfx 时时,0时时 x .)0(,1cos1sin2limlim00不不存存在在不不存存在在 fxxxxfxx高等数学同济大学第优秀, 0)0(, 0)0()0( fff且且内可导内可导在在故故,),()(xf.0,30,11cos1sin2

18、)(222 xxxxxxxxxf.),()(,内内连连续续在在所所以以由由于于可可导导必必连连续续 xfxfxffx)0()(lim)0(0 , 00lim30 xxx, 001sinlim)0()(lim)0(200 xxxxfxffxx高等数学同济大学第优秀例例1010.)(,)(来来的的复复合合函函数数形形式式表表示示出出用用将将下下列列函函数数的的导导数数件件满满足足反反函函数数求求导导定定理理条条设设xfxf 解解 )()()(1)()(0)()(,1)()(1)3(111211111111111111xffxfffxffxffxffyyxffyxffyxxffyxffy 得得求求导

19、导两两端端关关于于设设.1)(arcsin(111)(1) )() )(arcsin(,arcsin),() 1 (212111xxffxyfuufxfxuufyxu 则则设设)(1)3();()2();(arcsin)1(11111xffxffxf yxffxfuufy )(),(),() 2(1111则则设设)()(1)(1)(1) )(1111xffxfffufyfuufxu 变变量量还还原原高等数学同济大学第优秀小小 结结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用导数定义求分界点导数用导数定义求.高等

20、数学同济大学第优秀反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.高等数学同济大学第优秀思考题思

21、考题 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；高等数学同济大学第优秀思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)( 在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x )1(取取4)(

22、xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x )2(高等数学同济大学第优秀思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x )1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2(高等数学同济大学第优秀一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设xxysin ，则，则y = = _._.2 2、 设设xeayxx23 ，则则dxdy=_.=_.3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy= = _._.4 4、 设设1sectan2 xxy, ,则则y

23、= =_._.5 5、 设设553)(2xxxfy , ,则则)0(f = =_._.6 6、 曲线曲线xysin2 在在0 x处的切线处的切线轴轴与与x正向的正向的夹角为夹角为_._.练练 习习 题题高等数学同济大学第优秀二、二、 计算下列各函数的导数：计算下列各函数的导数：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求抛物线求抛物线cbxaxy 2上具有水平切线的点上具有水平切线的点. .四、四、 写出曲线写出曲线xxy1 与与x轴交

24、点处的切线方程轴交点处的切线方程. .高等数学同济大学第优秀一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .练习题答案练习题答案高等数学同济大学第优秀一、一、 填

25、空题：填空题：1 1、 设设4)52( xy, ,则则y = =_._.2 2、 设设xy2sin , ,则则y = =_._.3 3、 设设)arctan(2xy , ,则则y = =_._.4 4、 设设xycosln , ,则则y = =_._.5 5、 设设xxy2tan10 ，则，则y = =_._.6 6、 设设)(xf可导，且可导，且)(2xfy ， 则则dxdy= =_._.7 7、 设设xkexftan)( , ,则则)(xf = =_， 若若ef 4 ，则，则 k_._.练练 习习 题题高等数学同济大学第优秀二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1ar

26、ccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf, ,求函数求函数)()(22xgxfy 的导数的导数 . .四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .高等数学同济大学第优秀一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、1