I二次曲面介绍

1、2 二次曲面介绍二次曲面介绍二次曲面：三元二次曲面：三元二次方程所表示的曲面二次方程所表示的曲面.222210,xyab 椭圆柱面椭圆柱面222210,xyab 双曲柱面双曲柱面220.xpy抛物柱面抛物柱面 2222220 xyzabc 二次锥面二次锥面222221xyzbc单叶旋转双曲面222221yxzbc双叶旋转双曲面22220旋转抛物面xyczc 2221122331213231232222220.c xc yc zc xyc xzc yzc xc yc zc方程方程 所表示的曲面所表示的曲面.1 222222 czbyax( , ,0)a b c abcyx zo可以看成是球面可以

2、看成是球面沿沿 轴和轴和 轴压缩一下得到轴压缩一下得到. .2222xyzayz( ,)bcxyzaa( , , )x y z( , )x y z,.aaxx yy zzbc2222xyza2222221xyzabc椭球面的简单性质：椭球面的简单性质：（1 1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标对称性：关于原点，坐标轴，坐标平面对称平面对称. .（2 2） 有界性：椭球面上点的坐标适合有界性：椭球面上点的坐标适合|,|,|.xayb zc也就是说椭球面可以被包含在六个平面也就是说椭球面可以被包含在六个平面所围成的长方体里所围成的长方体里.,.xa yb zc 2222221xyzabc用一族平面

3、用一族平面z = h去去截椭球面，截线截椭球面，截线为椭圆，其方程为：为椭圆，其方程为：用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo2222221,.xyhabczh 这些椭圆的顶点这些椭圆的顶点分别在分别在 平面平面,xz yzabcyx zo椭球面与椭球面与 平面的交为：平面的交为：,xz yz22221,0 .xzacy22221,0 .yzbcx和和椭球面可以看成是由一个椭圆变动椭球面可以看成是由一个椭圆变动产生的，这个变动的椭圆的顶点分产生的，这个变动的椭圆的顶点分别在两个正交的椭圆上运动别在两个正交的椭圆上运动. .这两个椭圆有一对共同的顶点并且这两个椭圆有

4、一对共同的顶点并且正交，也就说它们所在的平面垂直正交，也就说它们所在的平面垂直.蓝色的椭圆蓝色的椭圆绿色的椭圆绿色的椭圆红色的椭圆，它的四个顶点在绿色和蓝色的椭圆上变动，产生椭球面。2222221xyzabc椭球面的椭球面的中心中心：对称中心。：对称中心。主轴：主轴：对称轴。对称轴。主平面主平面：对称平面。：对称平面。如果如果 半长轴半长轴 ，半中轴半中轴 ，半短轴，半短轴 .,abcabcabcyx zo方程方程 所表示的曲面所表示的曲面.222222 1xyzabc可以看成是单叶旋转双曲面可以看成是单叶旋转双曲面向向 平面压缩得到平面压缩得到222221xyzbcyz(, , )ax y

5、zb( , , )x y z xyoz( , )x y z2 单叶双曲面的简单性质：单叶双曲面的简单性质：（1 1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标对称性：关于原点，坐标轴，坐标平面对称平面对称. .（2 2） 用平面用平面 去截，截线是个椭圆去截，截线是个椭圆zh2222221xyhabczh 这个椭圆的顶点在这个椭圆的顶点在 平面平面,xz yz（3 3）曲面在）曲面在 平面的截线为平面的截线为,xz yz和和22221,0 xzacy22221.0yzbcx这是两条有共同的虚轴和虚轴长的双曲线，它们这是两条有共同的虚轴和虚轴长的双曲线，它们所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直. . xy

6、oz单叶双曲面可以看成是一个顶点在两条双曲线上的椭圆（红色的椭圆）沿这两条双曲线变动产生的。2222221xyzabc3 双叶双曲面双叶双曲面方程方程 所表示的曲面所表示的曲面.2222221xyzabc222221yxzbc可以看成是双叶旋转双曲面可以看成是双叶旋转双曲面向向 平面压缩得到平面压缩得到yz(, , )ax y zc( , , )x y zyzxo( , )x y z 双叶双曲面的简单性质：双叶双曲面的简单性质：（1 1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标对称性：关于原点，坐标轴，坐标平面对称平面对称. .zxoy（2 2） 用平面用平面 去截，截线去截，截线是个椭圆是个椭圆(|

7、)yk kb2222221,.xzkacbyk这个椭圆的顶点在这个椭圆的顶点在 平面平面,xy yz曲面在曲面在 平面的截线平面的截线,xy yz22221,0.xyabz和和22221,0.yzbcx这是两条有共同的实轴和实轴长的双曲线，它们这是两条有共同的实轴和实轴长的双曲线，它们所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直. .双叶双曲面可以看成是一个顶点在两条双曲线上的椭圆沿这两条双曲线变动产生的。椭球面，单叶双曲面，和双叶双曲面都有对椭球面，单叶双曲面，和双叶双曲面都有对称中心，所以称做称中心，所以称做中心二次曲面。中心二次曲面。abcyx zo xyozyzxo椭球面椭球面单叶双曲面单叶双

8、曲面双叶双曲面双叶双曲面可以看成是旋转抛物面可以看成是旋转抛物面222xyza向向 平面压缩得到，平面压缩得到，XY( , )bxy za( , , )x y z( , )x y z 所表示的曲面所表示的曲面.2222xyzab4 椭圆抛物面椭圆抛物面xz0 xzy0（1 1）关于）关于 平平面对称面对称. .,xz yz（2 2）用平面）用平面 去截去截曲面，得到椭圆曲面，得到椭圆zh2222,.xyhaczh椭圆的顶点在椭圆的顶点在 平面，而平面，而曲曲在这两个平面的截线为抛物线在这两个平面的截线为抛物线,xz yz22,0.xa zy和和22,0.yb zx椭圆抛物面可以看成是一个顶点在

9、两条抛物线上的椭圆运动产生。用用z = h截曲面得截曲面得到到用用y = 0截曲面得到截曲面得到用用x = k截曲面得到截曲面得到xzy05 双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）2222,.xyhabzh22,0.xa zy2222xyzab所表示的曲面所表示的曲面. .对称性：对称于对称性：对称于 平面和平面和 轴轴. .,xz yzz2222()kybzaxk 双曲抛物面可以看成是顶点在一条抛物线上的抛物线运动产生。椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做无心二次曲面无心二次曲面xzy0 xzy0.椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面

10、2222221:xyzabc椭球面2222:xyzab双曲抛物面2222:xyzab椭圆抛物面2222221:xyzabc双叶双曲面222222:1xyzabc单叶双曲面学会在坐标系中画出前四种曲面的图形.3 二次方程的化简二次方程的化简二次曲面：三元二次曲面：三元二次方程所表示的曲面二次方程所表示的曲面.三元二次方程的一般形状；三元二次方程的一般形状；2221122331213231232222220.c xc yc zc xyc xzc yzc xc yc zc2212223,yaa xa ya z1111213,xaa xa ya z3313233.zaa xa ya z( ,),用坐标

11、变换引进新的坐标化简上面的方程。坐标变换公式为x y z坐标变换可以把上面的方程化为书上的17种方程，这17种方程所表示的曲面都是我们已经讨论过的.2(1),(2)(3)(4),没有混乘项，即无项如果有某个坐标的平方项，就没有它的一次项，即和 项不可能同时出现。如果有一次项，就没有常数项.顶多有一个一次项,即不可能同时出现。xy xz yzxxx y这17种方程有下面的特点。这17种方程叫做二次曲面的标准方程。我们可以根据方程的特点建立新的坐标系把方程化为17种标准方程中的一种，从而可以得到方程所表示的曲面。2222(1),(2),(3)21,(4)2.如zxyzxyxxyyzzxyxy(4)

12、2zxyxy11221122令xxyyxyzz222112211(2 )22211(2).22222原方程化为 =- 2 -2.-=-3zxyxzxxyxy1231233, ,.11,(,0),2211(,0),22新的坐标系=O e e eO O eeee 1e2e3e=O O1e2e3e坐标变换公式这仍不是标准方程，它在新的坐标系中所表示的曲面仍不明显.23令xxyyzz211222原方程化为 =zxy2= +即= -3x xyyz z123123112233,., ,( 2,0,-3),建立新的坐标系在中的坐标为而=O e e eOO e e eee ee ee211(2).222=-3zxyO=O O12312