高等数学教学课件93

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1上次课回顾上次课回顾;),(),(lim),(0 xyxfyxxfyxfxx yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0偏导数的几何意义偏导数的几何意义00),(dd00 xxyxfxxfxxyy00),(dd00yyyxfyyfxxyy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy00),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲线0),(yyyxfzxtm0在点在点 m0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的

2、斜率.是曲线是曲线yxz0 xytoxt0y0mytm00),(xxyxfz在点m0 处的切线对对 y 轴的斜率轴的斜率.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，结论结论偏导数存在偏导数存在连续连续例如例如,函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,),(22yxyxf 高阶偏导数高阶偏导数 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4回顾一元函数的微分及其应用回顾一元函数的微分及其应

3、用可可表表示示为为如如果果)()(00 xfxxfy adxdyxxfyxaxxfyxaxoxay 的的微微分分，记记作作在在点点叫叫做做可可微微，而而在在点点则则称称的的常常数数，是是不不依依赖赖于于00)()(),(的的线线性性主主部部；的的线线性性函函数数，是是是是ydxdyxodyydxxfdy )(,)(. 10高高阶阶的的无无穷穷小小；是是比比xdyy .2是等价无穷小；是等价无穷小；与与时，时，当当dyydyyxfx , 1lim0)(. 3004.4.一元函数的可导与可微等价一元函数的可导与可微等价. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5三、小结 思考

4、题一、全微分的定义二、可微的条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6一、全微分的定义一、全微分的定义),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得2. 【全增量的概念】【全增量的概念】1. 【偏增量【偏增量与偏与偏微分】微分】二元函数二元函数对对x和对和对y的的偏增量偏增量二元函数二元函数对对x和对和对y的的偏微分偏微分机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束73.【全微分定义】【全微分定义】)(oybxaz可微即即【定义】【定义】0)

5、()(lim220)()(22 yxybxazyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, , 则函则函数在该点连续数在该点连续. . 事实上，由可微知：事实上，由可微知：),( oybxaz , 0lim0 z 1、若函数在某区域、若函数在某区域d内各点处处可微分，则称这函数内各点处处可微分，则称这函数在在d内可微分内可微分.2、说说 明：明：故有结论：故有结论：可微可微一定连续一定连续),(lim)0, 0(),(yyxxfyx),(lim0zyxf ),(yxf ),(),(yxfyyxxfz 而而机

6、动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9二、可微的条件二、可微的条件【证证】)( oybxaz 总成立总成立, ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxa axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzb 1. 【必要条件】【必要条件】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10可导与可微的关系可导与可微的关系: : 一元函数：一元函数：在某点的导数存在在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数：多元函数：各偏导数存在各偏导数存在 全微分存在全微分存在【举例说明】【举例说明】)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 所以所以

7、,)()(22yxyx 0, 00,),(222222 yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处有处有则则 )()( 22yxyx 22)()(xxxx ,21 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11当当 时，时，0 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 【结论结论】多元函数的各多元函数的各偏导数存在偏导数存在并不能保证并不能保证全微全微分存在分存在。故偏导数存在是可微分的。故偏导数存在是可微分的必要条件必要条件而不是而不是充分条件。充分条件。 但但如果再假定多元函数的如果再假定多元函数的各个偏导数连续各个偏导数连续，则，则可以证明函数是可以证明函数是

8、可微分可微分的。即有下面的定理。的。即有下面的定理。即即 可微可微 可偏导可偏导【警惕】【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出若偏导数存在，虽能从形式上写出dyyzdxxz 但它不一定是函数的全微分但它不一定是函数的全微分.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12 可微可微偏导数连续偏导数连续即即2.【充分条件】【充分条件】(1)习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz (3)全微分的定义（全微分的定义（或或叠加原理叠加原理）可推广到三元及三）可推广到三元及三元以上函数元以上函数.dzzudyyudxxudu (2)全微分符合全微分符合【注】【注】机动机

9、动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13【解】【解】,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分3. 【充要条件充要条件】 （即是（即是定义定义）0),(),(lim),(0 yyxfxyxfzyxfyx可微可微【注意】【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需 0),(),(lim00000 yyxfxyxfzyx验证验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14【解】【解】),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(

10、yxyyxyz dyyzdxxzdz ),4(),4(),4( ).74(82 【解】【解】, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 故所求全微分为故所求全微分为.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15内容小结内容小结1. 微分定义微分定义:),(为例以yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2. 重要关系重要关系:)( o函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续定义定义机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返

11、回 结束结束16多元函数的多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续偏导数连续之间的关系之间的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导极限存在极限存在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17在点 (0,0) 可微 .在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,),(yxf而),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxyx)0 , 0(),(, 0yx证证: 1) 因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0 , 0(f故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 证

12、明函数xy所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx),(yxfx,)0 , 0(),(时当yx,)0 , 0(),(时趋于沿射线当点xyyxp,0)0 ,(xf;0)0 , 0(xf. 0)0 , 0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx ),(lim)0 , 0(),(yxfxxx极限不存在 ,),(yxfx在点(0,0)不连续 ;同理 ,),(yxfy在点(0,0)也不连续.xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)题目 机动

13、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19),(yxf)0 , 0(),(,1sin22yxyxxy)0 , 0(),(, 0yx,)()(22yx4) 下面证明)0 , 0(),(在点yxf可微 :yfxffyx)0 , 0()0 , 0(1sinyx x 00.)0 , 0(),(可微在点yxf说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2022)(xaz22)(yaz04573zyx1.垂直；2. zox面上的曲线 或yoz面上的曲线3.母线平行于z轴的柱面； 5. 0),(. 422 yzxf21mm) 1 , 1, 1 ( s)2, 1 , 3(21smm0) 1( 2) 2() 1( 3zyx. 0723zyx1. 解：显然，在所求面内以及与所求面平行，故 为所求面的法向量，由点法式得 即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束213142zyx03)26()2(4:zyxtztytx3421t)3 , 1 , 6(3252642zyx 2解：（1）直线化为点向式：（2）过已知点与已知直线垂直的