淋雨问题数学建模

1、淋雨问题数学建模数091-2班 张烁来教室的时候天气晴朗均未带雨伞，而现在突降大雨。教室和家只相距1km,你有急事课后必须冒雨跑步回家。试建立数学模型探讨是否跑得越快淋雨就越少？一、问题提出1）把人体视为长方体，2）降雨大小用降雨强度i厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）降雨方向保持不变。4）你以一定常的速度跑完全程。二、模型假设及符号说明二、模型假设及符号说明符号说明人在雨中行走时可能出现以下三种情形：情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身三、模型的建立)( 222米wddhwhs)(秒vdt )/()3600/01. 0()/(0

2、1. 0)/(smiii时米时厘米（升）米sivdsitc3600/)/(10)(01. 0)3600/(3为变量。为参数，而vsid,淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中（1）情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为此时后背淋不到雨（如图2所示）图212,sbc sab当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s1，迎面部分面积为s2，则分别计算其淋雨量如下：淋雨时间：dtv雨速垂直分量：cosu雨速水平分量：sinu 顶部淋雨量：11coscosdqs twbcwv迎面淋雨量：22sinvduvqs twabwuvu所以总的淋雨量为

3、：12cos( sin)cos( sin)bcduwabdw uvbdwcua uvq qquvuv （2）情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为，此时正面淋不到雨（如图3所示） 图 3 当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为s3，背面部分面积为s4，则34,sbc sab，分别计算其淋雨量如下：淋雨时间：dtv 雨速垂直分量：cosusinusinuv雨速水平分量：故相对雨速v= 方向与v相同，故相对雨速 顶部淋雨量：33coscosqs twbcdwv背面的淋雨量： 44|sin|vabdw uvqs twuuv总淋雨量为：

4、34cos( sin)( cossin),sincos(sin)( cossin),sinqqqbdw cua uvbdw u caavvuauvuvbdw cua vubdw u caavvubuvuv（3） 由（1）式知总淋雨量(22)dqstwabacbcwv mvv q易知 v越大，q值越小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。即：当时，最小；对（2）式关于v求导可得 ：2cossin0qbdw cuauvuv mvv q故q关于v是单调递减函数，故此种情况下，当最小；时对（3）式，分以下两种情况讨论如下：1sinvu 关于v求导可得 2cossin0qbdw cuauvuv 可知v越大，淋雨量q越小q，又因为sinvu 故知当sinvu时，q最小 2sinvu tancasinuv 由上面的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背