高水平数学概念教学“教什么”课件

1、高水平数学概念教学高水平数学概念教学“教什么教什么” 李祎李祎福建师范大学福建师范大学目目 录录 一一. .什么是数学概念什么是数学概念 二二. .基于本质的数学概念教学基于本质的数学概念教学 三三. .基于过程的数学概念教学基于过程的数学概念教学 四四. .基于方法的数学概念教学基于方法的数学概念教学 五五. .基于结构的数学概念教学基于结构的数学概念教学 六六. .数学概念教学典型案例分析数学概念教学典型案例分析一、什么是数学概念一、什么是数学概念 1.1.数学概念的内涵数学概念的内涵 客观事物的性质客观事物的性质属性属性. . 感觉、知觉形成表象感觉、知觉形成表象感性认识感性认识. .

2、比较、分析、综合、概括，抽象出独有属性比较、分析、综合、概括，抽象出独有属性本质属性本质属性理性认识理性认识. . 概念是反映事物本质属性的思维产物概念是反映事物本质属性的思维产物. . 数学：空间形式和数量关系数学：空间形式和数量关系. . 数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物数学概念：反映数学对象的本质属性的思维产物. . 本质属性：本质属性：共有性，特有性，整体性，稳定性共有性，特有性，整体性，稳定性. . 示例示例1 1：“平行四边形平行四边形”概念概念 诸多属性：方位、大小、形状；诸多属性：方位、大小、形状； “四条边四条边”属性：与一般多边形相区分；属性：与一般多边形相区分；

3、 “对边平行对边平行”属性：与一般四边形相区分属性：与一般四边形相区分. . 把某些属性从众多属性中分离出来把某些属性从众多属性中分离出来, ,并将其作为并将其作为一个一个“整体整体”, ,便形成便形成“平行四边形平行四边形”这个概念这个概念. . 本质属性是本质属性是不可分割不可分割的，它的一部分，只是概念的，它的一部分，只是概念的属性，但不再是本质属性的属性，但不再是本质属性. . 2.2.概念与语词的关系概念与语词的关系 数学概念通常用特有的数学概念通常用特有的名称或符号名称或符号来表示来表示. . 概念反映名称或符号的内容，而概念的名称或符概念反映名称或符号的内容，而概念的名称或符号是

4、表达概念的语言形式号是表达概念的语言形式. . 有时同一个概念会有不同的名称或符号，有时同一个概念会有不同的名称或符号，如如“5”5”、“五五”、“five”five”都表示同一个数；等都表示同一个数；等边三角形和正三角形表达同一个数学概念边三角形和正三角形表达同一个数学概念. . 有时同一个名称在不同的情况下，会表达不同的有时同一个名称在不同的情况下，会表达不同的概念，概念，如如“角角”“”“数数”等等. . 3.3.概念与定义的关系概念与定义的关系 定义定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的是对于一种事物的本质特征或一个概念的内内涵和外延涵和外延所作的确切表述。所作的确切表述。 最有代表

5、性的定义是最有代表性的定义是“种差种差+ +属属”定义，即把某定义，即把某一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一个一概念包含在它的属概念中，并揭示它与同一个属概念下其他种概念之间的差别。属概念下其他种概念之间的差别。 同一个数学概念可以有不同的定义方式。同一个数学概念可以有不同的定义方式。 数学概念有数学概念有外延式定义和内涵式定义外延式定义和内涵式定义。二二. .基于本质的数学概念教学基于本质的数学概念教学 1.1.数学概念教学的关键是揭示本质属性数学概念教学的关键是揭示本质属性 示例示例2 2：集合概念的教学：集合概念的教学 幼儿园孩子学习集合。幼儿园孩子学习集合。 应如何学习集合？应如

6、何学习集合？ 示例示例3 3：数列概念的教学：数列概念的教学 数列的本质是什么？数列的本质是什么？ 应如何学习数列？应如何学习数列？ 示例示例4 4：距离：距离 初中阶段学过的初中阶段学过的“距离距离”:“:“两点之间的距两点之间的距离离”;“;“直线外一点到已知直线的距离直线外一点到已知直线的距离”;“;“两两平行线之间的距离平行线之间的距离”。 距离的本质：距离的本质：图形图形P P内任一点与图形内任一点与图形Q Q内任一点内任一点间的距离中的最小值，叫做图形间的距离中的最小值，叫做图形P P与与Q Q的距离。的距离。 把握住这一本质，高中阶段学习把握住这一本质，高中阶段学习“点到平面的点

7、到平面的距离距离”“”“直线到与它平行的平面的距离直线到与它平行的平面的距离”“”“两两个平行平面的距离个平行平面的距离”“”“异面直线的距离异面直线的距离”的概的概念时，学生也能做到不教自明。念时，学生也能做到不教自明。 2.2.凸显数学概念本质的基本策略是凸显数学概念本质的基本策略是“变式教学变式教学” 变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。变化当中保持不变的属性就是事物的本质属性。 变式是变更对象的变式是变更对象的非本质属性或本质属性非本质属性或本质属性特征的特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要

8、素。对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。 通过变式可以更好地掌握事物的本质和规律。通过变式可以更好地掌握事物的本质和规律。 数学概念变式教学，主要包括两类：数学概念变式教学，主要包括两类： 一类是属于概念的外延集合的变式，称为一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变概念变式式, ,也叫正例变式；也叫正例变式； 另一类是不属于概念的外延集合另一类是不属于概念的外延集合, ,但与概念对象但与概念对象有某些共同非本质属性的变式有某些共同非本质属性的变式, ,称为称为非概念变式非概念变式. . 概念变式和非概念变式，统称为概念变式和非概念变式，统称为概念性变式概念性变式. . （1 1）概念变式

9、）概念变式 数学概念是一种外延性概念，也就是说，每个概数学概念是一种外延性概念，也就是说，每个概念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能通过念都有一个明晰的边界，掌握概念意味着能通过内涵去确定一个具体对象是否在这个边界内。内涵去确定一个具体对象是否在这个边界内。 教学的有效途径就是将概念的外延作为变异空间教学的有效途径就是将概念的外延作为变异空间, ,将其所包含的对象作为变式将其所包含的对象作为变式, ,通过类化不同变式通过类化不同变式的共同属性而突出概念的本质属性。的共同属性而突出概念的本质属性。 示例示例5 5：复数的本质：复数的本质 二元的复数不仅有数量意义二元的复数不仅有数量意义, ,而

10、且还有方向意义，而且还有方向意义，“数量加方向数量加方向”是复数的本质属性。是复数的本质属性。 用几何形式表示：用几何形式表示：它的意义是一个向量，其本质它的意义是一个向量，其本质特征是向量的长度和方向特征是向量的长度和方向; ; 用三角形式表示：用三角形式表示：在在z=r(cos+isin)z=r(cos+isin)中，中，r r表表示复数向量的长度，示复数向量的长度，表示复数向量的方向；表示复数向量的方向； 用代数形式表示用代数形式表示: :在在z=a+biz=a+bi中，复数向量的长度中，复数向量的长度是是“ ”“ ”，“ ”“ ”就表示了复数向量的方就表示了复数向量的方向。向。22ab

11、ba （6 6）非概念变式）非概念变式 数学概念通常都不是孤立的，而是存在于概念体数学概念通常都不是孤立的，而是存在于概念体系之中。要明确概念的外延，就必须划清概念与系之中。要明确概念的外延，就必须划清概念与其周边概念之间的边界。有效途径就是利用所谓其周边概念之间的边界。有效途径就是利用所谓的的“非概念变式非概念变式”。 非概念变式一般有两个来源：一是来自非概念变式一般有两个来源：一是来自概念之间概念之间的逻辑关系的逻辑关系；二是基于学生；二是基于学生常见的错误常见的错误。 示例示例6 6：当学生通过当学生通过“标准图形标准图形”获得了对顶角的获得了对顶角的概念之后，宜采用反例变式：概念之后，

12、宜采用反例变式： 反例变式的运用，消除了非本质特征的干扰，明反例变式的运用，消除了非本质特征的干扰，明确了概念的外延，达到了对数学概念本质特征的确了概念的外延，达到了对数学概念本质特征的深刻理解。深刻理解。 3.3.背会数学定义不等于掌握了数学概念背会数学定义不等于掌握了数学概念 示例示例7 7：“比比”的概念的概念 两数相除又叫做两数的比。两数相除又叫做两数的比。 比的本质源于比的本质源于度量度量，度量解决了物体可度量的属，度量解决了物体可度量的属性（长度、面积、体积、质量）的可比性，比却性（长度、面积、体积、质量）的可比性，比却能够解决物体不可度量的属性（形状、速度、浓能够解决物体不可度量

13、的属性（形状、速度、浓度等）的可比性，这就是比的本质。度等）的可比性，这就是比的本质。 示例示例8 8：方程：方程 方程的定义方程的定义“含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程”，并没并没有反映方程的本原思想。教师在方程定义的黑体有反映方程的本原思想。教师在方程定义的黑体字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗字上大做文章，反复举例，咬文嚼字地学习，朗朗上口地背诵，没有实质性的意义。绝对没有学朗上口地背诵，没有实质性的意义。绝对没有学生因为背不出这句话而学不会生因为背不出这句话而学不会“方程方程”的。的。 方程的本质方程的本质在于对已知数和未知数一视同仁，通在于对已知数和未知数一视同仁

14、，通过建立起已知数和未知数之间的等式关系，从而过建立起已知数和未知数之间的等式关系，从而求得未知数。求得未知数。 理解方程的本质，首先要理解等式的意义。理解方程的本质，首先要理解等式的意义。 等式的等式的“程序性观点程序性观点”：3 32 25 5 等式的等式的“结构性观点结构性观点”：3 32 21 14 4 程序性观点程序性观点过程层面的思维方式过程层面的思维方式； 结构性观点结构性观点对象层面的思维方式对象层面的思维方式。 认识方程的认识方程的显性特征显性特征：两次分类的方法；：两次分类的方法； 认识方程的认识方程的隐性特征隐性特征：方程是表示已知量和未：方程是表示已知量和未知量之间相等

15、关系的一种数学模型。知量之间相等关系的一种数学模型。 示例示例9 9：基本事件是相对的还是绝对的？：基本事件是相对的还是绝对的？ 在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为事果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为事件空间。件空间。（未明确进行定义）（未明确进行定义） 基本事件的特点：基本事件的特点： （1 1）任何两个基本事件是互斥的；）任何两个基本事件是互斥的； （2 2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。基本事件的和。 问题：问题：在连续两次掷一枚骰子的

16、随机试验中，向上在连续两次掷一枚骰子的随机试验中，向上的点数之和是偶数的概率是多少？的点数之和是偶数的概率是多少？ 教师甲：教师甲：P(A)=18/36=1/2P(A)=18/36=1/2 (1(1，1) (11) (1，2) (12) (1，3) (13) (1，4) (14) (1，5) (15) (1，6)6) (2(2，1) (21) (2，2) (22) (2，3) (23) (2，4) (24) (2，5) (25) (2，6)6) (6(6，1) (61) (6，2) (62) (6，3) (63) (6，4) (64) (6，5) (65) (6，6)6) 教师乙：教师乙： 基

17、本事件共有基本事件共有4 4个，即：个，即： （奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶）（奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶） P(A)=2/4=1/2P(A)=2/4=1/2 区别在于确定基本事件的方法不同区别在于确定基本事件的方法不同： 甲按照点数的具体值找基本事件；甲按照点数的具体值找基本事件； 乙按照点数的奇偶性找基本事件。乙按照点数的奇偶性找基本事件。 在同一个解决问题的过程中，基本事件应是在同一个解决问题的过程中，基本事件应是不能不能再分或不必再分再分或不必再分的事件。的事件。 4.4.数学概念教学应数学概念教学应“淡化形式，注重实质淡化形式，注重实质” 示例示例1010：对称轴：

18、对称轴 如果沿某条直线对折如果沿某条直线对折, ,对折的两部分是完全重合对折的两部分是完全重合的的, ,那么就称这样的图形为轴对称图形那么就称这样的图形为轴对称图形, ,这条直线这条直线叫做这个图形的对称轴。叫做这个图形的对称轴。 示例示例1111：角：角 有公共端点的两条射线组成的图形叫角。有公共端点的两条射线组成的图形叫角。 陈省身：陈省身：“当然不能考定义、定理，只能考具体当然不能考定义、定理，只能考具体问题，看你能不能把定义落实到例子上问题，看你能不能把定义落实到例子上”。 形式与实质之困：形式与实质之困： 示例示例1212： 一般地，函数一般地，函数 叫做指数函数。叫做指数函数。 一

19、般地，函数一般地，函数 叫做对数函数。叫做对数函数。 思考：思考： ， 是指数函数吗？是指数函数吗？ ， 是对数函数吗？是对数函数吗？ 给出一个函数，怎么才知道它能否变成一个指给出一个函数，怎么才知道它能否变成一个指数函数或对数函数呢？数函数或对数函数呢？(0,1)xyaaalog(0,1)ayx aa12 2xy1222222logloglogyxxx1logxay 13xy 含有未知数的等式叫做含有未知数的等式叫做方程方程； 一般地，如果一般地，如果A A，B B表示两个整式，并且表示两个整式，并且B B中含有中含有字母，那么式子字母，那么式子A/BA/B叫做叫做分式分式。 x-x=0 x

20、-x=0是不是方程？是不是方程？ x/2xx/2x是不是分式？是不是分式？ 示例示例1313：概率的统计定义：概率的统计定义 一般地，在大量重复试验中，如果事件一般地，在大量重复试验中，如果事件A A发生的发生的频率频率 会稳定在某个常数会稳定在某个常数p p附近，那么事件发生附近，那么事件发生的概率的概率P P（A A）=p=p。 频率稳定于概率，是不是说频率的极限是概率？频率稳定于概率，是不是说频率的极限是概率？频率稳定于频率稳定于p p，能不能写成：，能不能写成：nnpnnnlim “ “ 稳定于稳定于p”p”意味着对意味着对 ，有，有 即是说只要即是说只要n n充分大，则充分大，则频率

21、充分接近概率的频率充分接近概率的概率就是概率就是1 1。 大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定大数定律以严格的数学形式表达了频率的稳定性。也就是说性。也就是说当当n n很大时，事件发生的频率与很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小概率有较大偏差的可能性很小。 抛掷硬币实验，目的是体验用大数次实验的频抛掷硬币实验，目的是体验用大数次实验的频率来估计概率，而不是验证可能性相等。率来估计概率，而不是验证可能性相等。nn01)(|limpnPnn三三. .基于过程的数学概念教学基于过程的数学概念教学1.1.数学概念学习的过程性特征数学概念学习的过程性特征（1 1）数学概念学习的形成与同

22、化）数学概念学习的形成与同化 数学概念的形成数学概念的形成 数学概念形成的过程数学概念形成的过程, ,是从大量具体实例出发是从大量具体实例出发, , 分化出各种属性分化出各种属性, ,同化出共同属性同化出共同属性, ,抽象出本质属抽象出本质属性性, ,再概括到一类事物中再概括到一类事物中, ,从而形成数学概念从而形成数学概念. . 概念形成的学习形式接近于人类自发形成概念概念形成的学习形式接近于人类自发形成概念. . A.辨别各种辨别各种刺激模式刺激模式； B.分化出各种刺激模式的分化出各种刺激模式的属性属性； C.概括出各个刺激模式的概括出各个刺激模式的共同属性共同属性,并提出它们的并提出它

23、们的共同关键属性的种种假设；共同关键属性的种种假设； D.在特定的情境中检验假设在特定的情境中检验假设,确认确认关键属性关键属性； E.进一步概括进一步概括,从而从而形成概念形成概念； F.把新概念的共同关键属性把新概念的共同关键属性推广推广到同类事物中；到同类事物中； G.用习惯的形式符号用习惯的形式符号表示新概念表示新概念. 示例示例1414：(1)(1)教师给出一组函数，引导学生进行教师给出一组函数，引导学生进行观察，找出它们的各种属性；观察，找出它们的各种属性；(2)(2)引导学生提出引导学生提出所给例子的共同成分的假设所给例子的共同成分的假设, ,并依据这些假设检并依据这些假设检验每

24、个例子；验每个例子；(3)(3)提出一个一般模式，检验每一提出一个一般模式，检验每一实例是否属于该模式；实例是否属于该模式；(4)(4)教师给出幂函数的定教师给出幂函数的定义，并对其进行解释，把幂函数的表达式与之前义，并对其进行解释，把幂函数的表达式与之前所学过的有关函数联系起来；所学过的有关函数联系起来；(5)(5)通过列举正反通过列举正反例例, ,使学生加强对幂函数概念的理解；使学生加强对幂函数概念的理解；(6)(6)讨论幂讨论幂函数的定义域、图像及性质；函数的定义域、图像及性质；(7)(7)举例、练习。举例、练习。 数学数学概念的同化概念的同化 概念同化是指在以定义方式概念同化是指在以定

25、义方式直接给出直接给出概念的条件概念的条件下，学习者利用已有知识，主动地与原有认知结下，学习者利用已有知识，主动地与原有认知结构中的有关概念相联系，从而掌握概念的方式。构中的有关概念相联系，从而掌握概念的方式。 同化能否顺利进行同化能否顺利进行, ,与学习者与学习者原有的认知结构原有的认知结构有有很大关系很大关系. .如果认知结构中有适当的起固定作用如果认知结构中有适当的起固定作用的观念可以利用的观念可以利用, ,同化就能顺利进行；否则同化就能顺利进行；否则, ,就难就难以实现同化。以实现同化。 A.A.揭示数学概念的揭示数学概念的本质属性本质属性, ,给出它的定义、名给出它的定义、名称和符号

26、；称和符号； B.B.对概念进行对概念进行特殊分类特殊分类, ,再讨论这个概念表达的再讨论这个概念表达的各种特殊情况各种特殊情况, ,突出概念的本质属性；突出概念的本质属性； C.C.建立与原认知结构中的有关概念的建立与原认知结构中的有关概念的联系联系, ,同化同化新学习的概念；新学习的概念； D.D.用肯定例证和否定例证让学生进行用肯定例证和否定例证让学生进行辨认辨认； E.E.实际实际应用应用强化概念强化概念, ,并把所学的概念并把所学的概念纳入纳入到相到相应的概念系统中。应的概念系统中。 示例示例1515 (1)(1)教师给出幂函数的定义：形如教师给出幂函数的定义：形如y=xy=x的函数

27、叫的函数叫做幂函数；做幂函数； (2)(2)教师解释定义，给出实例说明；教师解释定义，给出实例说明； (3)(3)讨论幂函数的定义域、图像及性质；讨论幂函数的定义域、图像及性质； (4)(4)举例强化幂函数的概念；举例强化幂函数的概念； (5)(5)学生练习。学生练习。 （2 2）数学概念学习的）数学概念学习的APOSAPOS理论理论 数学概念形成：活动数学概念形成：活动过程过程对象对象图式。图式。 活动阶段活动阶段：观察、呈现数学概念的具体实体阶段：观察、呈现数学概念的具体实体阶段. . 过程阶段过程阶段：对具体实体进行思维概括得出数学概念：对具体实体进行思维概括得出数学概念. . 对象阶段

28、对象阶段：将概念作为一个对象应用到它生存的土：将概念作为一个对象应用到它生存的土壤或背景中壤或背景中, ,将它作为一个工具和对象来看待将它作为一个工具和对象来看待. . 图式阶段图式阶段：能够区分、评价此概念与彼概念：能够区分、评价此概念与彼概念, ,概念概念以一种完整图式储存于大脑中以一种完整图式储存于大脑中, ,其中包括具体实例、其中包括具体实例、抽象过程、完整定义及概念之间的联系等抽象过程、完整定义及概念之间的联系等. .示例示例1616：函数：函数A. A. 活动阶段活动阶段 理解函数需要进行活动或操作。例如，在有现理解函数需要进行活动或操作。例如，在有现实背景的问题中建立函数关系实背

29、景的问题中建立函数关系y yx x2 2，需要用具，需要用具体的数字构造对应：体的数字构造对应：2424；3939；416416；525525；通过操作，理解函数的意义。通过操作，理解函数的意义。B. B. 过程阶段过程阶段 把上述操作活动综合成为一个把上述操作活动综合成为一个函数过程函数过程。一般。一般地有地有xxxx2 2；其它的各种函数也可以概括为一般；其它的各种函数也可以概括为一般的对应过程：的对应过程：xf(x)xf(x)。 C. C. 对象阶段对象阶段 把函数过程上升为一个独立对象来处理把函数过程上升为一个独立对象来处理, ,如函如函数 的 加 减 乘 除 、 复 合 运 算 等数

30、 的 加 减 乘 除 、 复 合 运 算 等 . . 在 表 达 式在 表 达 式f(x)f(x)g(x)g(x)中，函数中，函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)均作为整体对均作为整体对象出现象出现. . D.D.图式阶段图式阶段 此时函数概念以一种综合的心理图式而存在于此时函数概念以一种综合的心理图式而存在于脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位脑海中，在数学知识体系中占有特定的地位. .这这一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、一心理图式含有具体的函数实例、抽象的过程、完整的定义，乃至和其它概念的区别和联系完整的定义，乃至和其它概念的区别和联系( (方方程、曲线、图像等等程、曲线、

31、图像等等).). 2.应注重数学概念形成过程的教学应注重数学概念形成过程的教学 示例示例1717：直线的方向向量与平面的法向量：直线的方向向量与平面的法向量 为什么要提出方向向量与法向量的概念？为什么要提出方向向量与法向量的概念？ 如何来刻画直线与平面的方向？如何来刻画直线与平面的方向？ 为什么要用向量平行来刻画直线的方向？为什么要用向量平行来刻画直线的方向？ 为什么要用向量的垂直来刻画平面的方向？为什么要用向量的垂直来刻画平面的方向？李李祎祎. .基于探究学习的数学教学策略研究基于探究学习的数学教学策略研究, ,数学通数学通报报，20092009年第年第2 2期期 示例示例1818：函数的单

32、调性：函数的单调性（形式化过程）（形式化过程） 单调性教学设计大体从三个层次展开：单调性教学设计大体从三个层次展开： 首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；从几何直观角度加以认识； 其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；随自变量的增大而增大（或减小）； 最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。用精确的数学语言刻画函数的变化规律。 教学的困惑教学的困惑：从图像上不难获

33、得图像：从图像上不难获得图像“上升上升”或或“下降下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？究它呢？ 解释和说明：解释和说明：“上升上升”“”“下降下降”是一种日常语言，是一种日常语言，用日常语言描述用日常语言描述“单调增单调增”“”“单调减单调减”这样的数这样的数学性质是学性质是不够准确的不够准确的。 能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？可以的话，又该如何来描述呢？ 这时结合图像的特点，即它是这时结合图像的特点，即它是“函数函数”的图像的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二

34、个层次。从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。 教学的难点教学的难点：如何用符号化的数学语言来描述递：如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：增的特征，这其中有两个难点： 3.3.应注重将陈述性数学概念应注重将陈述性数学概念“算法化算法化” 程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述程序性知识是由陈述性知识转化而来的，是陈述性知识的动态成份性知识的动态成份。 不少数学概念具有过程性特征，概念的定义就反不少数学概念具有过程性特征，概念的定义就反映了某种数学过程或规定了操作过程。映了某种数学过程或规定了操作过程。 “分母有理化分母有理化”的概念；的概念；“平均数平均数”的概念

35、；的概念； “向量的加法向量的加法”的概念；的概念；“导数导数”的概念。的概念。 为了更好地运用概念，需将概念为了更好地运用概念，需将概念算法化算法化，即要将，即要将陈述性的概念定义转化为程序性的算法化知识陈述性的概念定义转化为程序性的算法化知识 示例示例1919：“二面角的平面角二面角的平面角”的算法化的算法化 （1 1）“二面角二面角”概念概念 角的顶点在二面角的棱上角的顶点在二面角的棱上; ; 角的两边分别在二面角的两个面内角的两边分别在二面角的两个面内; ; 角的两边与二面角的棱垂直。角的两边与二面角的棱垂直。 （2 2）作二面角的平面角的算法）作二面角的平面角的算法：先在二面角的：先

36、在二面角的棱上任取一点，再从这点出发，在二面角的两个棱上任取一点，再从这点出发，在二面角的两个面内分别作与二面角的棱垂直的射线；面内分别作与二面角的棱垂直的射线； （3 3）判断一个角是否为二面角的平面角的算法）判断一个角是否为二面角的平面角的算法：顶点是否在棱上顶点是否在棱上; ;角的两边是否分别在二面角的角的两边是否分别在二面角的两个面内两个面内; ;角的两边是否都与棱垂直角的两边是否都与棱垂直 没有实现陈述性概念定义的算法化没有实现陈述性概念定义的算法化, ,是学生不能是学生不能应用概念的主要原因之一应用概念的主要原因之一四四. .基于方法的数学概念教学基于方法的数学概念教学 数学概念是

37、基于问题解决的需要而建立的。但有数学概念是基于问题解决的需要而建立的。但有的数学概念本身就蕴含着解决问题的方法。的数学概念本身就蕴含着解决问题的方法。 这时教师在教学中需要着重思考：这时教师在教学中需要着重思考： 概念解决的是什么类型的问题？概念解决的是什么类型的问题？ 解决问题的思路与方法是什么？解决问题的思路与方法是什么？ 不能将数学概念教学简单化，不能将数学概念教学简单化，以为学生会利用概以为学生会利用概念进行推理和运算就是理解了概念念进行推理和运算就是理解了概念。 示例示例2020：导数与定积分：导数与定积分 解决问题：解决问题：导数求解的是瞬时变化率问题；定积导数求解的是瞬时变化率问

38、题；定积分求解的是总量问题。分求解的是总量问题。 解决思路：解决思路：导数是辩证转化与否定之否定思想的导数是辩证转化与否定之否定思想的成功运用；定积分是成功运用；定积分是“化整为零、积零为整化整为零、积零为整”的的辩证思想的成功应用。辩证思想的成功应用。 示例示例2121：古典概型与几何概型：古典概型与几何概型 解决问题：解决问题：随机试验中某一事件发生的概率；随机试验中某一事件发生的概率； 适用条件：适用条件：两者均是等可能概型，古典概型适用两者均是等可能概型，古典概型适用于试验结果有限个的情形，几何概型适用于试验于试验结果有限个的情形，几何概型适用于试验结果无限多的情形。结果无限多的情形。

39、 解决方法：解决方法：辨别；计算。辨别；计算。 ( )P A 构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 概率模型的类型，也是相对而言的。概率模型的类型，也是相对而言的。 一个靶子如图所示，飞镖手随机地掷一个飞镖扎一个靶子如图所示，飞镖手随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在靶子上，假设飞镖既不会落在靶心，也不会落在两个区域之间，求飞镖落在在两个区域之间，求飞镖落在4 4号区域的概率。号区域的概率。 五五. .基于结构的数学概念教学基于结构的数学概念教学 数学概念系统是一种多层次的复杂结构数学概念系统是一种多层次的复杂结构, ,因此因

40、此, ,理理解和掌握数学概念应遵循由简单到复杂、由具体解和掌握数学概念应遵循由简单到复杂、由具体到抽象、由低级到高级的认识顺序到抽象、由低级到高级的认识顺序. . 一个新概念的建立要依靠哪些旧概念一个新概念的建立要依靠哪些旧概念, ,这个概念这个概念在教材中是怎样发展的在教材中是怎样发展的, , 理解要分为几个层理解要分为几个层次次教师要清楚地了解这些问题教师要清楚地了解这些问题. . 1.1.数学概念的逻辑结构数学概念的逻辑结构 示例示例2222：角的概念：角的概念 A.A.平面角平面角: :静态的定义静态的定义; ; 动态的定义动态的定义 B.B.异面直线所成的角异面直线所成的角 C.C.

41、直线与平面所成的角直线与平面所成的角 D.D.二面角二面角 空间的空间的“异面直线所成的角异面直线所成的角”“”“直线与平面所成直线与平面所成的角的角”“”“二面角二面角”, ,都是在都是在“平面角平面角”概念的基概念的基础上发展和推广的础上发展和推广的; ;反之反之, ,这些空间中的角又是转这些空间中的角又是转化为化为“平面角平面角”来进行表示来进行表示. . 示例示例2323：单调性、斜率、正切、导数：单调性、斜率、正切、导数 A.A.单调性单调性 B.B.斜率斜率 直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简单的变化。即直线在某个区间简单的变化。即直线在

42、某个区间 上的平上的平均变化率均变化率 ，与直线上任意一点，与直线上任意一点x x0 0的瞬的瞬时变化率（导数）时变化率（导数） 是相同的，都等于这是相同的，都等于这条直线的斜率条直线的斜率k k。 2121()()f xf xxx C.C.正切正切 D.D.导数导数 导数是平均变化率的极限，即表示瞬时变化导数是平均变化率的极限，即表示瞬时变化率。其几何意义是切线的斜率：率。其几何意义是切线的斜率： 递增；递增； 递减。递减。2121tanyyyxxx00000( )()()limlimxxxxf xf xykfxxxx( )0,( )fxf x( )0,( )fxf x 2.2.数学概念的认

43、知结构数学概念的认知结构 示例示例2424：函数：函数 初中数学：初中数学： “在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。有些量的数值是始终不变的，我们称它为变量。有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量。们为常量。”( (人教版八年级上册人教版八年级上册) ) “一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且对于，并且对于x x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y都有唯一都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说确定的值与其对应，那么我们就说x x是自变量，是自变量，y y是是x x的函

44、数的函数。”( (人教版八年级上人教版八年级上) ) 高中数学：高中数学： 设设A A、B B是非空数集，如果按照某种确定的对应关是非空数集，如果按照某种确定的对应关系系f f，使对于集合，使对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数x x，在集合，在集合B B中中都有唯一确定的数都有唯一确定的数f(x)f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函数，记作的一个函数，记作y=f(x)y=f(x)，xA.xA.其中其中x x叫做自变量，叫做自变量，x x的取值范围的取值范围A A叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与x x的值相对

45、应的的值相对应的y y值叫做值叫做函数值，函数值的集合函数值，函数值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函数的叫做函数的值域值域. .显然，显然，值域是集合值域是集合B B的子集的子集. .（人教版数学人教版数学1 P161 P16） 大学数学：大学数学： 设集合设集合X X、Y Y，定义，定义X X与与Y Y的积集为的积集为 对于积集对于积集X XY Y中的一子集中的一子集R R，若，若 ，则称，则称x x与与y y有关系有关系R R，记为，记为 ，X X称作关系称作关系R R的定义的定义域，域，Y Y称作关系称作关系R R的值域。的值域。 设设f f是集合是集合X X与集合与集合Y Y的

46、关系，即的关系，即 ，如，如果还满足果还满足 则则 ，那么称，那么称f f是集合是集合X X到集合到集合Y Y的函数。的函数。 ( , ),XYx y xX yY( , )x yRxRyYXf,),( ,),(2111fyxfyx21yy 进一步思考：函数的本质究竟是什么？进一步思考：函数的本质究竟是什么？ A.“A.“非空数集非空数集”是函数的本质属性之一吗是函数的本质属性之一吗泛函数泛函数. . B.“B.“单值对应单值对应”是函数的本质属性之一吗是函数的本质属性之一吗多值函数多值函数. . C. “C. “对应法则对应法则”是函数的本质属性之一吗是函数的本质属性之一吗 D. AD. A同

47、同f f同、但同、但B B不同的两个函数，是否为同一不同的两个函数，是否为同一个函数？个函数？ E.E.函数本质上是一种人为约定的特殊函数本质上是一种人为约定的特殊“对应对应”. .2,0,1,0,1yx xyxx和 示例示例2525：对称性：对称性 小学数学：小学数学：二年级上二年级上“美丽的对称图形美丽的对称图形”（认识（认识并画出：画一画）；五年级并画出：画一画）；五年级“图形的变换图形的变换轴轴对称对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）一量，数一数） 初中数学：初中数学：初二上初二上“轴对称轴对称”（坐标系中研究轴（坐标系中研究轴对

48、称的特征和性质）对称的特征和性质） 高中数学：高中数学：函数的对称性函数的对称性奇偶性；方程曲线奇偶性；方程曲线的对称性的对称性于 的中心（）直于 的曲于 的于直 的（）直于直 的曲于直 的点关 点 对称对称问题 点对称问题线关 点 对称线关 点 对称对称问题点关线 对称轴对称问题 线对称问题线关线 对称线关线 对称函数图象的对称性：函数图象的对称性：方程曲线的对称性：方程曲线的对称性：六六. .数学概念教学典型案例分析数学概念教学典型案例分析 示例示例2626：斜率：斜率 人教人教B B版和苏教版的处理版和苏教版的处理; ;其他版本教材的处理。其他版本教材的处理。 （1 1）用倾斜角的正切值

49、定义斜率）用倾斜角的正切值定义斜率（人教版数学（人教版数学2 2第第8282页）页） 确定直线位置的几何要素确定直线位置的几何要素倾斜程度倾斜程度倾斜角倾斜角斜率斜率过任意两点的斜率公式过任意两点的斜率公式 直接用倾斜角的正切值定义斜率的弊端直接用倾斜角的正切值定义斜率的弊端 为什么有了角已能确定直线的前提下，还一为什么有了角已能确定直线的前提下，还一定要将其代数化？定要将其代数化？ 把实际例子范围缩小到了把实际例子范围缩小到了“坡度坡度”问题；问题； 把代数形式的表示缩小到了把代数形式的表示缩小到了“正切；正切； 为什么想到要用坡度？为什么想到要用坡度？ 为什么要用正切？为什么要用正切？ 学

50、生可能会知其然，而不知其所以然。学生可能会知其然，而不知其所以然。 倾斜角代数化的理由倾斜角代数化的理由 “率率”是指两个相关数的比值，是指两个相关数的比值，x x变化单位变化单位长时，看长时，看y y变化了多少，实质是对变化了多少，实质是对x x和和y y变化变化的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。该特定比值越大。 斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性。线倾斜角的优越性。( (解析思想解析思想)()(列方程之需列方程之需) ) 斜率在研究直线平行与垂直上的作用。斜率在研究直线平

51、行与垂直上的作用。 一次函数一次函数y=kx+by=kx+b中中k k的几何意义。的几何意义。 斜率使用正切的理由斜率使用正切的理由 首先与首先与“坡度坡度”概念一致。坡面的铅直高度概念一致。坡面的铅直高度和水平长度的比。（垂直变化率）和水平长度的比。（垂直变化率） 其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。映的都是倾斜角越大，斜率越大。 第三，正切值就是直线的变化率，这样，第三，正切值就是直线的变化率，这样，采采用正切值与导数保持了一致性用正切值与导数保持了一致性。 （2 2）直接用变化率定义斜率）直接用变化率定义斜率 根据根据

52、“两点确定一条直线两点确定一条直线”可知，两点就可刻可知，两点就可刻画直线的倾斜程度。画直线的倾斜程度。 解析几何的本质是用解析几何的本质是用“数数”刻画刻画“形形”，因而，因而用数用数 刻画直线的倾斜程度，符合解析几刻画直线的倾斜程度，符合解析几何的思想。何的思想。 倾斜角本身包含了形，用它来刻画直线的倾斜倾斜角本身包含了形，用它来刻画直线的倾斜程度，就像程度，就像“倾斜角相等倾斜角相等两直线平行两直线平行”一样，一样，看似直观，却不能体现解析几何的思想。看似直观，却不能体现解析几何的思想。2121yyxx 教学思路：教学思路： 两点确定一条直线，一点呢？两点确定一条直线，一点呢？一点无法确

53、定一点无法确定直线的方向直线的方向两点可以确定直线的方向两点可以确定直线的方向直直线定、倾斜程度定线定、倾斜程度定用两点刻画直线的倾斜程用两点刻画直线的倾斜程度度引出斜率概念引出斜率概念已知两点与任一动点已知两点与任一动点 直线的两点式直线的两点式。 一点加一倾斜角也可确定直线一点加一倾斜角也可确定直线任一动点和已任一动点和已知点，与倾斜角存在怎样的联系？知点，与倾斜角存在怎样的联系？动点运动动点运动所形成的直线的倾斜程度，用斜率刻画，发现它所形成的直线的倾斜程度，用斜率刻画，发现它就是倾斜角的正切就是倾斜角的正切直线的点斜式直线的点斜式。 示例示例2727：三角函数：三角函数 （1 1）三角

54、函数的认知基础）三角函数的认知基础 三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三角函数的上位概念；角函数的上位概念； 教学要以函数思想为指导，以锐角三角函数概教学要以函数思想为指导，以锐角三角函数概念为认知起点，突破用直角三角形定义三角函念为认知起点，突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，以坐标系和单位圆为定义工具，数的思维局限，以坐标系和单位圆为定义工具，促进任意角三角函数定义的有效生成。促进任意角三角函数定义的有效生成。 （2 2）三角函数的本质特征）三角函数的本质特征 根据相似性说明根据相似性说明比值的不变性比值的不变性特征；特征； 角的边上的任一点到另一边的距离、在另一边角的边上的任一点到另一边的距离、在另一边的投影，以及该点到角的顶点的距离，三者中的投影，以及该点到角的顶点的距离，三者中任两者的比保持不变。揭示这一本质，既可在任两者的比保持不变。揭示这一本质，既可在直角三角形中，也可在坐标系中，后者可体现直角三角形中，也可在坐标系中，后者可体现三角函数的周期性特点三角函数的周期性特点（核心是对应关系）（核心是对应关系）。 引入锐角三角函数，目的是为了研究三角形中引入锐角三角函数，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义的边角关系，定义侧重几何的角度侧重几何的角度；引入任意；引入任意角三角函数，目的是为了研究周期变化现象，角三角