大学物理实验数据处理

1、1大学物理实验数据处理基础知识教师：高明向教师：高明向2021年年10月月21日星期四日星期四时间：2011.9.7， 2011.9.8 ，18:30 - 21:30地点：5 - 401班级：航海1001 - 1007，物联网1001-10022测量测量就是以确定被测量对象的量值为目就是以确定被测量对象的量值为目的的所有操作。的的所有操作。同时记录同时记录测量结果的大小和单位测量结果的大小和单位，二者，二者缺一不可。缺一不可。3直接测量与间接直接测量与间接测量测量直尺直尺直径直径直接读取直接读取直接测量直接测量直尺直尺体积体积先测量直径，再利用先测量直径，再利用函数进行运算函数进行运算间接测量

2、间接测量烧杯烧杯体积体积直接读取直接读取直接测量直接测量烧杯烧杯直径直径先测量体积，再利用先测量体积，再利用函数进行运算函数进行运算间接测量间接测量316vd4测量值、平均值（最佳估计值）测量值、平均值（最佳估计值）测量值：测量值：通过测量所获得的被测物理量的值通过测量所获得的被测物理量的值。平均值平均值（最佳（最佳值）值）：在相同条件下，在相同条件下，对某物理量进行对某物理量进行n次测量，这次测量，这n个测量结个测量结果果x1, x2, x3xn, 称为一个称为一个测量列测量列，取这，取这n次独立测量值的算术平均值，记为次独立测量值的算术平均值，记为 。即。即 x11niixxn5真值与测量

3、误差真值与测量误差真值：真值：被测量物理量所具有的客观、真实的量被测量物理量所具有的客观、真实的量值，用值，用x0表示，它不能通过测量得到表示，它不能通过测量得到。 在处理测量数据时在处理测量数据时常用物理量的平均值代替其真值常用物理量的平均值代替其真值( (称为称为约约定真值定真值) )。 ( (绝对绝对) )误差：误差：即测量值与真值之差，记为即测量值与真值之差，记为 = xi- -x0相对相对误差：误差：用用e表示，定义为表示，定义为 绝对误差绝对误差真值真值相对误差相对误差 = 100%6二二 测量不确定度的概念与计算测量不确定度的概念与计算 每次所得的测量值总是在真值每次所得的测量值

4、总是在真值 最佳值最佳值 附近附近一定的范围内，当把范围扩大时，测量值出一定的范围内，当把范围扩大时，测量值出现在次范围内的几率大，反之则小。现在次范围内的几率大，反之则小。 这种与一定的（测量值存在于真值这种与一定的（测量值存在于真值 最佳值最佳值 附近的）几率相联系的、真值附近的）几率相联系的、真值 最佳值最佳值 附近附近的一定范围，就是的一定范围，就是测量的不确定度测量的不确定度, ,用用u表示表示。相应的几率称为相应的几率称为置信率置信率，这个范围称为，这个范围称为置信置信区间区间。l 例如：在例如：在对某物体长度测量的实验后得到，对某物体长度测量的实验后得到， p=68%p=68%，

5、 表明该物体长度的测量值落在下列区间的几率为表明该物体长度的测量值落在下列区间的几率为68%68%： 5.84xcm0.03ucm5.81,5.84xuxucm，7扩展不确定度扩展不确定度 umu 一般来说，被测量的测量值落在一般来说，被测量的测量值落在 区间的概率大约只有区间的概率大约只有68%，为了提高置信率，为了提高置信率，常将不确定度常将不确定度u乘以一个扩展因子乘以一个扩展因子m，即得，即得扩展不确定度，用扩展不确定度，用u表示。表示。 在物理实验课程中，在物理实验课程中，扩展因子扩展因子m = 2，即，即 2uu此时置信率约为此时置信率约为95%。 xuxu，8正确理解不确定度正确

6、理解不确定度 不确定度可以根据实验、资料、经验等进不确定度可以根据实验、资料、经验等进行评定，从而行评定，从而可以定量确定可以定量确定。 表示合理赋予的测量列的分散性。表示合理赋予的测量列的分散性。u越大，越大，表示测量列的分散性越大表示测量列的分散性越大. .反之，越小。如：反之，越小。如：测量一物体的长度，得到两个测量列：测量一物体的长度，得到两个测量列： 3.013.01，3.023.02，3.003.00，2.992.99，2.982.98( (分散性小分散性小) ) 3.05 3.05，2.952.95，2.982.98，3.003.00，3.103.10( (分散性大分散性大) )

7、 与误差的区别。与误差的区别。测量不确定度的大小可以测量不确定度的大小可以定量确定，而误差是个确定的值，但是无定量确定，而误差是个确定的值，但是无法计算出来（因无法知道被测量的真值）。法计算出来（因无法知道被测量的真值）。9直接测量量的直接测量量的a类和类和b类不确定度类不确定度 按不确定度的数值评定方式，可分为两类：按不确定度的数值评定方式，可分为两类： a类类不确定度不确定度：用统计方法确定的量：用统计方法确定的量 b类类不确定度不确定度：用其他方法确定的量：用其他方法确定的量21()( )(1)niiaxxuxn n使用此式时使用此式时, 测量次数测量次数n应充分多应充分多, 要求要求n

8、6。1. 根据经验确定。根据经验确定。2. 如果已知被测量的测量值如果已知被测量的测量值xi分散区间的半宽分散区间的半宽为为a，且落在且落在 区间的概率为区间的概率为100%，通过对，通过对其分布规律的估计可得出其分布规律的估计可得出b类不确定度为：类不确定度为：( )bauxkk是是包含因子包含因子，取决于测量值，取决于测量值的分布规律的分布规律.,xa xa10b类不确定度的计算类不确定度的计算 3k 物理实验中物理实验中没有特别说明时，没有特别说明时，使用矩形分布使用矩形分布(平均平均分布分布)计算计算b类不确定度，此时类不确定度，此时 。 包含因子包含因子k的确定的确定 分散区间半宽度

9、的确定分散区间半宽度的确定 1. 如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确如果检定证书、说明书等资料明确给出了不确定度定度u(x)及包含因子及包含因子k时，则时，则a=u(x)，b类不确类不确定度为定度为( )( )au xu xkk例题例题 校准证书上给出标称值为校准证书上给出标称值为1kg的砝码质量的砝码质量m=1000.00032g，包含因子，包含因子k=3，不确定度为，不确定度为u =0.24 mg，由此可确定砝码的，由此可确定砝码的b类不确定度类不确定度 ( )( )/0.24/30.080u mu mkmg112. 在缺乏任何信息的情况下，一般使用均匀分在缺乏任何信息的情况下，一般

10、使用均匀分布，布， ，而，而a则取仪器的则取仪器的最大允许误差最大允许误差(误差限误差限)(x) ，所以，所以b类不确定度为类不确定度为 3k ( )( )3axu xk例题例题 知道某游标卡尺的仪器最大允许误差为知道某游标卡尺的仪器最大允许误差为 =0.05mm=0.05mm，使用矩形分布计算不确定度。，使用矩形分布计算不确定度。 0.050.029 mm3ukb类不确定度的计算类不确定度的计算121 仪器的示值误差限通常可以仪器的示值误差限通常可以在仪器说明书或技术在仪器说明书或技术标准中查标准中查到，讲义中第到，讲义中第13页列出了几种常用仪器页列出了几种常用仪器的示值误差限，需要时可查

11、阅。的示值误差限，需要时可查阅。2 电测量指示仪表电测量指示仪表的最大允许误差与仪表的准确度的最大允许误差与仪表的准确度级别有关。电测量仪表的准确度级别分为七级：级别有关。电测量仪表的准确度级别分为七级：0.1，0.2,0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。由仪表的准确。由仪表的准确度级别与所用量程可以推算出仪表的示值误差限：度级别与所用量程可以推算出仪表的示值误差限： =量程量程准确度等级准确度等级/100 电学仪表的准确度等级通常都刻写在度盘上，使电学仪表的准确度等级通常都刻写在度盘上，使用时应记下其准确度等级，以便计算。用时应记下其准确度等级，以便计算。仪器最大允许误差（误差限）的确定

12、方法仪器最大允许误差（误差限）的确定方法132.5级=52.5/100=0.125v14 3. 数字显示仪表数字显示仪表在缺乏说明的情况下，取其在缺乏说明的情况下，取其最小分度值作为其仪器的示值误差限。最小分度值作为其仪器的示值误差限。0.01ma15 4.未加说明的仪器未加说明的仪器， 如果无法得知其误差如果无法得知其误差限，一般取仪器最小分度的一半作为其仪限，一般取仪器最小分度的一半作为其仪器误差限。器误差限。 =0.5mm16 a类和类和b类不确定度的合成不确定度类不确定度的合成不确定度uc(x)： 22( )( )( )cabu xuxux( )0aux ( )( )cbuxuxl 说

13、明：当进行的说明：当进行的测量只有测量只有1次次时，取时，取 则则 如果一个测量量的如果一个测量量的b b类不确定度有多个部类不确定度有多个部分构成，则分构成，则b b类不确定度的合成不确定度类不确定度的合成不确定度为为2212( )( )( ).bbbuxuxux17例题例题 用螺旋测微计测某一钢丝的直径，用螺旋测微计测某一钢丝的直径，6次测量值次测量值 分别为：分别为：0.249, 0.250, 0.247, 0.251, 0.253, 0.250; 单单位位mm，已知螺旋测微计的仪器误差为，已知螺旋测微计的仪器误差为仪仪=0.004 mm，请给出测量的合成不确定度。，请给出测量的合成不确

14、定度。解：解：测量最佳估计值测量最佳估计值 1(0.2490.2500.2470.2510.2530.250)0.2506ymma类标准不确定度类标准不确定度 21()0.00082mm(1)niiayyun nb b类标准不确定度类标准不确定度 0.0040.002333bumm仪合成不确定度合成不确定度 22( )0.0024mmcabuyuu18间接测量量间接测量量 ， 其中其中 为直接测量量为直接测量量12(,)nyf xxx12,nxxx y的估计值的估计值y 的不确定度，要由的不确定度，要由x1, x2, x3, xn的不确定度适当合成求得，称的不确定度适当合成求得，称为估计值为估

15、计值y 的的合成不确定度合成不确定度, 记为记为uc(y)。19间接测量量的不确定度计算（续）间接测量量的不确定度计算（续）12123(,)nyf xxxaxbxcx对于形如对于形如的函数形式（的函数形式（和差关系和差关系）, , 合成标准不确定度合成标准不确定度的计算方法为的计算方法为: : 222123123( )()()().cfffuyu xu xu xxxx【例题【例题】某实验的测量式为某实验的测量式为y=4x1+3x2，x1, x2为直接测量量，其中为直接测量量，其中u(x1)=0.03g, u(x2)=0.05g ,则间接测量量的合成不确定度为则间接测量量的合成不确定度为 22(

16、 )(4 0.03)(3 0.05)0.19cuygg20间接测量量的不确定度计算（续）间接测量量的不确定度计算（续）对于形如对于形如 的函数形式（的函数形式（积商关系积商关系），则先求其），则先求其相对相对合成不合成不确定度：确定度： npnppnxxcxxxxfy212121),(222312123123( )()()()( ).creluyu xu xu xuypppyxxx说明：说明：对于被测量对于被测量y y的平均值的平均值 ，按如下方式计算：，按如下方式计算： y12( ,)yf x x合成不确定度合成不确定度 ( )( )creluyy uy21间接测量量的不确定度计算（续）间接

17、测量量的不确定度计算（续）【例题【例题】圆柱体的体积公式为圆柱体的体积公式为 。设已经测。设已经测得得 ， ，写出体积的相对合成，写出体积的相对合成不确定度表达式。不确定度表达式。214vd h)(duddc)(huhhc 解：此体积公式形如解：此体积公式形如 其中其中 ， ， ， 。 1xd2xh12p 21p 121212(,)npppnnyf xxxcxxx体积的相对合成不确定度表达式为体积的相对合成不确定度表达式为22( )21( )( )( )crelccu vuvu du hvdh222312123123( )()( )()( ).creluyu xu xu xuypppyxxx根

18、据根据22物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果物理实验中，用扩展不确定度报告测量结果 单位单位 单位单位 ( )yyu y( )yyu y( )( )y y u yy y u y -单位单位单位单位23 仪器的读数规则仪器的读数规则 首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下首先读出能够从仪器上直接读出的准确数字，对余下部分再进行估计读数。即将读数过程分为直读和估读。部分再进行估计读数。即将读数过程分为直读和估读。 0 1 2 3 4 5 6 7 直读直读准确数字准确数字7.4cm可靠数字可靠数字 估读估读余下部分约为余下部分约为0.03cm存疑数字存疑数字物体的长度即为物体的长度即为7

19、.43cm l 有效数字：有效数字：物理实验中的有效数字是针对测量中的数据物理实验中的有效数字是针对测量中的数据 定义的概念定义的概念, ,是一个有单位的数据是一个有单位的数据, ,由若干位由若干位可靠数字可靠数字及及 末尾一位末尾一位存疑数字存疑数字组成。组成。7 724正确理解和使用有效数字正确理解和使用有效数字1.实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如 数学的数学的 8.35=8.350=8.3500 实验的实验的 8.358.3508.3500 2.有效数字的位数与被测量的大小及仪器的精密度有关。有效数字的位数与被测量的大小及仪器的精密度有关。

20、 3.第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字第一个非零数字前的零不是有效数字，第一个非零数字 开始的所有数字都是有效数字。如开始的所有数字都是有效数字。如 2.327kg有有4位有效数字位有效数字,其中其中7是存疑数字是存疑数字; 220v有有3位有效数字位有效数字,其中其中0是存疑数字是存疑数字; 0.002cm有有1位有效数字位有效数字,其中其中2是存疑数字是存疑数字; 0.00mm有有1位有效数字位有效数字,其中末位其中末位0是存疑数字是存疑数字.254.单位的变换不能改变有效数字的位数。如单位的变换不能改变有效数字的位数。如 2.327kg=2.32710-3t=2327g=

21、 2.327106mg5.实验中要求尽量使用科学计数法（小数点前仅写出一位实验中要求尽量使用科学计数法（小数点前仅写出一位 非零数字）表示数据。非零数字）表示数据。 数学上数学上 改变了有效数字的位数改变了有效数字的位数 科学计数法科学计数法 不改变有效数字的位数不改变有效数字的位数 100.210020100200mcmmm2141.002 101.002 101.002 10mkmcm261.采用四舍五入法对有效数字进行取舍采用四舍五入法对有效数字进行取舍.2.加减法加减法: 结果的可疑位与参与运算数据中结果的可疑位与参与运算数据中存疑位数量级存疑位数量级最高最高的对齐的对齐. 例如例如:

22、 2.327+10.8=13.127 2.327+10.8=13.13.乘除法乘除法: 结果的有效数字的位数与参与运算数据中有效结果的有效数字的位数与参与运算数据中有效数字数字位数最少位数最少的相同的相同. 例如：例如：2327108=251316 2327108=2.511054.、g等或者在公式中出现的等或者在公式中出现的常数常数可视为无穷多位，使可视为无穷多位，使用时所取的位数不少于参与运算数据中位数最少的。用时所取的位数不少于参与运算数据中位数最少的。 例如：例如：s =d2/4 =3.142 2.32724 或者或者 =3.14162.3272427直接测量量有效数字的确定直接测量量

23、有效数字的确定 如如:1/50mm:1/50mm的游标卡尺的游标分度值的游标卡尺的游标分度值0.02mm,0.02mm,因此因此, ,记录测量结果时记录测量结果时, , 最后一位有效数字应记录到最后一位有效数字应记录到1/100mm1/100mm位位. .1游标类游标类量具，有效数字量具，有效数字最后一位与游标分度值对齐最后一位与游标分度值对齐.282数显仪表数显仪表及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、及有十进步式标度盘的仪表（电阻箱、电桥、电位差计、数字电压表等）一般应电桥、电位差计、数字电压表等）一般应直接读直接读取仪表的示值取仪表的示值。293. 米尺、指针式仪表这类的米尺、指针式仪表这类

24、的刻度式仪器刻度式仪器，估读估读到最小分度值的到最小分度值的1/10（不能估读到（不能估读到0.1分度以分度以下，即不能估读到下，即不能估读到0.01分度）分度）.5.737mm304. 如下图，尺子如下图，尺子只标出整刻度和半刻度线只标出整刻度和半刻度线时时, 则则认为半刻度线没有认为半刻度线没有标出，仍然按照标出，仍然按照3中的方中的方式估读。因为图中的最小分度值为式估读。因为图中的最小分度值为1，红色部，红色部分的长度估读为分的长度估读为1.1或或1.2都可以。都可以。 1 2 331测量结果有效数字的取舍测量结果有效数字的取舍 对于测量结果（对于测量结果（ 单位）的有效单位）的有效数字

25、，要数字，要先确定先确定不确定度的有效数字，不确定度的有效数字，再确再确定定最佳估计值的有效数字。最佳估计值的有效数字。 按国家技术规范按国家技术规范, 测量不确定度的有效数字最多测量不确定度的有效数字最多不超过不超过2位。在学生实验中，由于测量次数有限位。在学生实验中，由于测量次数有限及其它因素，结果的准确性有限，故可以只及其它因素，结果的准确性有限，故可以只取取1位有效数字位有效数字，多余数字按照，多余数字按照1/3 (3舍舍4入入)法则法则进进行取舍。行取舍。 如：扩展不确定度如：扩展不确定度u为为0.324mm， 保留两位有效数字，保留两位有效数字，u = 0.33 mm； 保留一位有

26、效数字，保留一位有效数字，u = 0.3 mm1.1.不确定度的有效数字不确定度的有效数字( )yyu y322.最佳估计值的有效数字最佳估计值的有效数字最佳估计值的最后一位必须和不确定度的末最佳估计值的最后一位必须和不确定度的末位对齐。多余的数字，按位对齐。多余的数字，按4舍舍5入入规则进行取规则进行取舍。如：舍。如： v=5836.340l mm3，u = 4.2 mm3 则最后结果的表达式应为则最后结果的表达式应为 5836.34.2vmm3. 作为作为中间计算结果中间计算结果时时，直接测量量的不确定，直接测量量的不确定度，可以取度，可以取不少于不少于3位有效数字或者全部保留位有效数字或

27、者全部保留,以避以避免积累舍入误差。免积累舍入误差。33五 综合举例【例题【例题】用单摆测重力加速度的公式为用单摆测重力加速度的公式为 。现用。现用最小读数为最小读数为1/100s1/100s的电子秒表测量周期的电子秒表测量周期t t五次，其周期的测五次，其周期的测量值为量值为2.0012.001，2.0042.004，1.9971.997，1.9981.998，2.0002.000（单位：（单位：s s）；）；用用级钢卷尺测摆长级钢卷尺测摆长l l一次，一次，l l = 100.00 cm = 100.00 cm 。试求重力。试求重力加速度加速度g g及合成不确定度及合成不确定度 ，并写出结

28、果表达式。，并写出结果表达式。注：每次周期值是通过测量注：每次周期值是通过测量100100个周期获得，每测个周期获得，每测100100个周个周期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成的最大误差是期要按两次表，由于按表时超前或滞后造成的最大误差是0.5s0.5s；级钢卷尺测量长度级钢卷尺测量长度l l的示值误差为的示值误差为 （l l是以米为单位得到的数值），由于卷尺很难与摆的两端是以米为单位得到的数值），由于卷尺很难与摆的两端正好对齐，在单次测量时引入的误差极限为正好对齐，在单次测量时引入的误差极限为2 mm2 mm。224tlg)(guc(0.3 0.2)l mm341.1.计算直接测量量的最

29、佳估计值计算直接测量量的最佳估计值t t的估计值：的估计值： 5112.0012.004 1.9971.9982.0002.00055iittsl l的估计值：的估计值：1.0000lm2.2.计算间接测量量计算间接测量量g g 的最佳估计值的最佳估计值2222244 3.14161.00009.86972.000lgm st353.3.计算直接测量量的不确定度计算直接测量量的不确定度（1 1）计算摆长）计算摆长l l的测量不确定度的测量不确定度1( )0.5( )0.2933lu lmm仪相应的不确定度为相应的不确定度为( )2lmm对不准 测量时卷尺不能对准测量时卷尺不能对准l l两端造成

30、的仪器误差两端造成的仪器误差2( )2( )1.233lulmm对不准相应的不确定度为相应的不确定度为222212( )( )( )0.31.21.2cu lululmml l的合成不确定度为的合成不确定度为 ( )0.30.2 10.5lmm 仪仪器的示值误差仪器的示值误差l l的相对不确定度的相对不确定度rel1.2( )0.00121000cu (l)ull摆长只测了一次，只考虑摆长只测了一次，只考虑b b类不确定度类不确定度, , 有两个分量。有两个分量。36521()( )0.00125 (5 1)iiattuts（2 2）计算周期）计算周期t t的测量不确定度的测量不确定度 t t

31、的的a a类不确定度类不确定度(t)仪(t)按t的的b类不确定度有两个分量，一个与仪器误差类不确定度有两个分量，一个与仪器误差对应，一个与按表超前或滞后造成的误差对应，一个与按表超前或滞后造成的误差对应对应)(1tu)(2tu22222( )( )( )0.00120.00290.0031cau tututs因因比比小得多，可略去，故合成不确定度为小得多，可略去，故合成不确定度为rel( )0.0031( )0.00162.000cu tuttt的相对不确定度的相对不确定度11000.01 100( )0.00005833u ts仪21000.5 100( )0.002933u ts按分别是分

32、别是372( )2 0.0340.068cumu gm s扩展不确定度为扩展不确定度为4. 4. 计算间接测量量计算间接测量量g g的不确定度的不确定度由于由于 是积商关系，根据相对合成不确定公式是积商关系，根据相对合成不确定公式224gl t222312123123( )()()()( ).creluyu xu xu xuypppyxxx22rel( )( )( )( )2cccugu lu tuglgt22(0.0012)(2 0.0016)0.0034有有2rel( )( )9.8697 0.00340.034cu ggugm sg g的不确定度为的不确定度为5.5.写出结果表达式写出结

33、果表达式 29.8700.068gm s或或 29.870.07gm s38六六 记录实验数据的基本要求记录实验数据的基本要求 使用使用表格表格记录实验数据记录实验数据列表法列表法 要在表的上方注明表的名称；要在表的上方注明表的名称； 结构要尽量简单，表格线条要清晰，便于记录结构要尽量简单，表格线条要清晰，便于记录运算和检查；运算和检查； 要注明各物理量的符号和单位；要注明各物理量的符号和单位； 数据的有效数字要能正确反映测量的误差。数据的有效数字要能正确反映测量的误差。 数据表格一般需要自己设计。数据表格一般需要自己设计。 序号 12345678910u/ v 0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0i/ma0.02.04.06.17.99.711.813.816.017.9表一表一 电阻伏安特性数据表电阻伏安特性数据表39七 处理实验数据的几种方法 作图法作图法 伏安曲线伏安曲线 要求：要求：1.1.正确标注数据点正确标注数据点 一般同一条曲线上的数据点一般同一条曲线上的数据点 用同一种符号标注，不同曲用同一种符号标注，不同曲 线上的坐标点选用不同的符线上的坐标点选用不同的符 号，如号，如“、+”+”等。等。2.2.要有图名和说明要有图名和说明 应在图纸上标出图的名称，应在图纸上标出图的名称， 有关符